1、第七節(jié) 空間曲線及其方程一、空間曲線的一般式方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影1空間曲線的一般式方程空間曲線C可看作特點(diǎn)：一、空間曲線的一般式方程曲線上的點(diǎn)都滿足方程,滿足方程的點(diǎn)都在曲線上,不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.空間兩曲面的交線.2例1 方程組 表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓C3例2 方程組 表示怎樣的曲線？解上半球面（如圖）圓柱面（如圖）交線為藍(lán)色部分（如圖）4空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的就得到曲線上的一個(gè)點(diǎn)全部點(diǎn).5動點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā),螺旋線的參數(shù)方程.取時(shí)間t為參數(shù),解經(jīng)過t時(shí)間,運(yùn)動到M點(diǎn).例3

2、那末點(diǎn)M 構(gòu)成的圖形稱為螺旋線.試建立其參數(shù)方程.M在xOy面的投影軸的正方向上升如果空間一點(diǎn)M 在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)又以線速度v沿平行于z6螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比. 即上升的高度螺距7定義 投影柱面 以空間曲線C為準(zhǔn)線，母線平行于z軸（即垂直于xOy面）的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面。三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影投 影 投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy面上的投影曲線，簡稱投影。8補(bǔ)充: 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.空間立體曲面9消去變量z后得：曲線關(guān)于xOy的設(shè)空間曲線C的一般方程：投影柱面的特征： 此

3、柱面必包含曲線C,以曲線C為準(zhǔn)線、 C投影柱面.母線垂直于所投影的坐標(biāo)面.10類似地:可定義空間曲線在其它坐標(biāo)面上的投影. yOz面上的投影曲線 xOz面上的投影曲線空間曲線在xOy 面上的投影曲線(或稱投影)(即為曲線關(guān)于xOy面的投影柱面)(即為xOy 面) C(即為投影柱面與xOy 面的交線)11例4 求曲線 在坐標(biāo)面上的投影.解(1) 消去變量z后得在 xOy面上的投影為(2) 因?yàn)榍€在平面 xOy面的投影柱面上，所以在 xOz面上的投影為線段.12求曲線 在坐標(biāo)面上的投影.(3) 同理在yOz面上的投影 也為線段. 13截線方程為解如圖,1415例6解半球面和錐面的交線為16一個(gè)圓

4、,17思考題118解答交線方程為在 面上的投影為19思考題2方程表示怎樣的曲線？解答表示雙曲線.20由參數(shù)方程表示的空間曲線在坐標(biāo)面上在yOz平面上的投影為在xOy平面上的投影為:想一想 在xOz平面上的投影呢?注例 螺旋線即即的投影亦易求出.211.曲線 在xOy面上的投影柱面方程是( ).A練習(xí)：22 2. 球面 與 交線在xOy面上投影曲線方程是()D23表示( ).(A) 雙曲柱面與平面x = 2交線;(B) 雙曲柱面;(C) 雙葉雙曲面; (D) 單葉雙曲面.A3.24 填空題1.母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程是 2.雙曲拋物面(馬鞍面) 與xOy面的交線是相交于原點(diǎn)的兩條直線.

5、25空間曲線的一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影四、小結(jié)空間曲線的參數(shù)方程26第八章 多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用27第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念預(yù)備知識多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性小結(jié) 思考題 作業(yè) function of many variables第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用28多元函數(shù)的基本概念 從一元函數(shù)到二元函數(shù),在內(nèi)容上都會出現(xiàn)一些實(shí)質(zhì)性的差別,而多元函數(shù)之間差異不大.因此研究多元函數(shù)時(shí),將以二元函數(shù)為主.29一、預(yù)備知識1. 平面點(diǎn)集 n 維空間回憶一元函數(shù)平面點(diǎn)集 n 維空間實(shí)數(shù)組(x, y)的全體,即建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)

6、的集合,稱為平面點(diǎn)集,記作(1) 平面點(diǎn)集 二元有序多元函數(shù)的基本概念 30鄰域 (Neighborhood) 設(shè)P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一個(gè)點(diǎn),幾何表示：Oxy. P0多元函數(shù)的基本概念 令有時(shí)簡記為稱之為 將鄰域去掉中心, 也可將以P0為中心的某個(gè)矩形內(nèi)(不算周界)注稱之為的全體點(diǎn)稱之為點(diǎn)P0鄰域.去心鄰域.31 (1) 內(nèi)點(diǎn)顯然, E的內(nèi)點(diǎn)屬于E.多元函數(shù)的基本概念 (2) 外點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域則稱P為E的外點(diǎn).(3) 邊界點(diǎn) 如點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),稱P為E的邊界點(diǎn).任意一點(diǎn)與任意一點(diǎn)集之間必有以下三種關(guān)系中的一種:設(shè)E為一平面點(diǎn)集,若

7、存在稱P為E的內(nèi)點(diǎn).E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作使U(P) E = ,32聚點(diǎn)多元函數(shù)的基本概念 如果對于任意給定的點(diǎn)P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn)則稱P是E的聚點(diǎn).例如, 設(shè)點(diǎn)集(P本身可屬于E,也可不屬于E ),則P為E的內(nèi)點(diǎn);則P為E的邊界點(diǎn),也是E的聚點(diǎn).E的邊界為集合33（3）點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E例如,(0, 0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合（1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：（2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例如，(0, 0) 既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)34平面區(qū)域(重要)設(shè)D是開集. 連通的開集稱區(qū)域多元函數(shù)的基本概念 連通的.如對D內(nèi)任何兩點(diǎn),都可用折線連

8、且該折線上的點(diǎn)都屬于D,稱開集D是或開區(qū)域.如都是區(qū)域. 開集若E的任意一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),例稱E為開集.E1為開集.結(jié)起來,35 開區(qū)域連同其邊界,稱為有界區(qū)域否則稱為多元函數(shù)的基本概念 都是閉區(qū)域 .如總可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、適當(dāng)大的圓內(nèi)的區(qū)域,稱此區(qū)域?yàn)榘霃?(可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域 ).閉區(qū)域.有界區(qū)域.無界區(qū)域36OxyOxyOxy Oxy有界開區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界閉區(qū)域無界閉區(qū)域多元函數(shù)的基本概念 37實(shí)數(shù) x一一對應(yīng)數(shù)軸點(diǎn). 數(shù)組 (x, y)實(shí)數(shù)全體表示直線(一維空間)一一對應(yīng)平面點(diǎn)(x, y) 全體表示平面(二維空間)數(shù)組 (x, y, z)一一對應(yīng)空間點(diǎn)(x, y,

9、z) 全體表示空間(三維空間)推廣：n 維數(shù)組 (x1, x2, , xn)全體稱為 n 維空間，記為(2) n 維空間38 n 維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中 稱為該點(diǎn)的第k個(gè)坐標(biāo).n維空間中兩點(diǎn)的距離定義為n 維空間中點(diǎn)及的鄰域?yàn)槎嘣瘮?shù)的基本概念 即的一個(gè)點(diǎn), 區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義39二、多元函數(shù)的概念1. 二元函數(shù)的定義例 圓柱體的體積V與它的底圓半徑r、高h(yuǎn)之間(1) 定義多元函數(shù)的基本概念 有關(guān)系：40設(shè) 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每點(diǎn) 變量按照一定的法則總有確定的值 和它對應(yīng)，則稱 是變量 的二元(點(diǎn))函數(shù)，記為 （或記為 ）定義1 二元(點(diǎn))函數(shù)x, y 自變量,D 定義域, z 因變量, 值域.41二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為(2) 多元函數(shù)定義域定義域?yàn)榉蠈?shí)際意義的自變量取值的全體.記為 函數(shù) 在點(diǎn) 處的函數(shù)值多元函數(shù)的基本概念 或類似,可定義n元函數(shù).多元函