1、考試時(shí)間 12月13（周日） 晚上 19：00 21：00考試地點(diǎn) 南教 209 答疑時(shí)間 12月12日上、下午、13日上午 上午8：3011：30；下午 2：30 5：30 答疑地點(diǎn) 西環(huán)205隔壁（教師答疑室）。 注意：帶上證件、計(jì)算器。 考試安排一、基本概念總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量、點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn) 二、一些結(jié)論定理1 設(shè) 為總體 X 的一樣本， ， ，則結(jié)論1 設(shè) ,則 。結(jié)論2 設(shè) 為總體 X 的一樣本，且EXk 存在, 則第五章內(nèi)容總結(jié)三、三大分布構(gòu)造性定義、圖形特點(diǎn)、常見性質(zhì)、概率計(jì)算 結(jié)論 設(shè) 為總體 的樣本， 分別是樣本均值和樣本方差，則相互獨(dú)立；雙正態(tài)總體下 令 解出

2、即可。四、點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)、最大似然估計(jì) 1.矩估計(jì)量的求法 （一）若待估計(jì)參數(shù)只有一個(gè) 計(jì)算總體期望 （二）若待估計(jì)參數(shù)有兩個(gè) 計(jì)算總體期望 令 方差 解出 即可。2. 最大似然估計(jì)求法1 寫出樣本的似然函數(shù)2 取對(duì)數(shù)，得對(duì)數(shù)似然函數(shù) 求最大似然估計(jì)的方法除上述解似然方程外, 常用的 還有觀察法.五、評(píng)選估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無偏性、有效性、(相容性). 1) 已知時(shí)，求 的區(qū)間估計(jì) 2) 未知時(shí)，求 的區(qū)間估計(jì)3)（總體均值未知時(shí)） 的區(qū)間估計(jì)六. 單個(gè)正態(tài)總體時(shí)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。七、假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域由查表得 。 1) 已知時(shí)，2. 單個(gè)正態(tài)總體時(shí)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)1. 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念理論依據(jù)：實(shí)

3、際推斷原理。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：概率意義上的反證法。 假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤：1）棄真；2）取偽。 3) 未知時(shí)，H0：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域查表得由 2) 未知時(shí)，H0：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域由查表得 。1. 設(shè) 是來自總體 的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量 的分布為（ ）。解 應(yīng)選 B)。 A) B ) C) D) 12年考研題補(bǔ) 充 例 題2. 在總體 中抽取容量為 n 的樣本，如果要求樣本均值落在（5.6，9.6 ）內(nèi)的概率不小于 0.95，則 n 至少為多少？即解 樣本均值依題意，有即故 n 至少為 4.記 試求 EY。3. 設(shè)總體 從中抽取容量為 2n (n2) 的簡單隨機(jī)樣本 其樣本均值為解 記則易知

4、獨(dú)立同分布，且因?yàn)樗越滩腜135第28題4. 若隨機(jī)變量 XF(n, n), 證明 P(X1) = 0.5.而解 注意到從而則故即 Y 與 X 同分布，5. 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 是來自 X 的樣本， 分別是樣本均值和樣本方差。 又設(shè) 與 X 同分布，且與 相互獨(dú)立， 試求如下統(tǒng)計(jì)量的分布:解 由條件故又于是且與獨(dú)立，即解得的矩估計(jì)量為從而的矩估計(jì)值為6. 設(shè)總體 X 具有分布列其中(0 1)為未知參數(shù)，已知取得了樣本值，試求的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。解得的極大似然估計(jì)值為6. 設(shè)總體 X 具有分布列其中(0 1,96, 故拒絕 H0，即認(rèn)為廠家的說法不成立。計(jì)算一. 概率論部分復(fù)習(xí)要

5、點(diǎn)1. 隨機(jī)事件及其運(yùn)算、概率的基本性質(zhì)、條件概率、 兩個(gè)基本公式；2. 分布函數(shù)（分布律、分布密度）的性質(zhì)、利用分布求概 率、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布；3. 邊緣分布、獨(dú)立性判別、多維隨機(jī)變量函數(shù)分布；4. 六個(gè)常見分布的定義、性質(zhì)及概率計(jì)算，5. 期望方差的性質(zhì)與計(jì)算、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算；6 . 切比雪夫不等式、二項(xiàng)分布的正態(tài)逼近；二. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分復(fù)習(xí)要點(diǎn)1. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念；2. 常見的統(tǒng)計(jì)量，三個(gè)常用的分布的構(gòu)造性定義、性質(zhì)；3. 關(guān)于統(tǒng)計(jì)量分布的一些結(jié)論； 4. 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)：矩估計(jì)、最大似然估計(jì)；5. 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)：無偏性、有效性; 6. 單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)；7. 單個(gè)

6、正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（僅限于雙邊檢驗(yàn)）。例1 填空題1）設(shè) A，B是兩個(gè)事件，當(dāng) A，B 相互獨(dú)立時(shí)， 。2）如果 X 是只取 0, 1兩個(gè)值的隨機(jī)變量，又 X 取 1 的概 率為它取 0 的概率的兩倍，則 X 的分布函數(shù)為 F(x)= 。補(bǔ) 充 例 題0.53）隨機(jī)變量 X ,Y 獨(dú)立，且 記 Z = 2X-Y+3，則 Z 。4）設(shè)隨機(jī)變量 由切比雪夫不等式知 。5）設(shè)來自總體 X 的一組樣本觀察值為 0.2,0.4,0.5,0.8,0.6, 且 X 服從均勻分布 U0,，則未知參數(shù)的最大似然 估計(jì)值為 ，矩估計(jì)值為 。0.816）設(shè)正態(tài)總體 X 的方差 根據(jù)來自 X 的容量為 100 的

7、簡單隨機(jī)樣本，測(cè)得樣本均值為 5，則 X 的數(shù)學(xué) 期望的置信度為 0.95 的置信區(qū)間為 。（4.804，5.196）2. 單項(xiàng)選擇題1）設(shè)隨機(jī)變量 X, Y 獨(dú)立同分布，共同的分布函數(shù)為 F(x)，則 Z=maxX, Y 的分布函數(shù)為（ ）。A）B）C）D）2）設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 1 的泊松分布，則 （ ）。A）B）C）D）3) 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 2，5上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì) X 進(jìn) 行三次獨(dú)立觀察，則至少有一次觀察值大于3的概率 為（ ）。A）B）C）D）5）設(shè)總體 其中未知， 分別為 樣本均值和樣本方差，為檢驗(yàn)假設(shè) 所 用的統(tǒng)計(jì)量是（ ）。A）B）C）D）4）設(shè)隨機(jī)變量 X, Y

8、 獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為 1 與參數(shù) 為 4 的指數(shù)分布，則 P(X 0, 試證證 2) 甲口袋有a只黑球、b只白球；乙口袋有n只黑球、m 只白球. 從甲口袋任取一球放入乙口袋，然后從乙口 袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是 黑球的概率. 答：概率為：解：對(duì)于所生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，引進(jìn)事件設(shè) A =“儀器需進(jìn)一步調(diào)試”，B =“儀器能出廠” 4. 假設(shè)一廠生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.70可以直接出廠， 以概率0.30需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠， 以概率0.20定為不合格品不能出廠，現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了 臺(tái)儀器(假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立)， 求（1）全部能出廠的概率, （2）其中恰好

9、有兩件不能出廠的概率, （3）其中至少有兩件不能出廠的概率.則 =“儀器能直接出廠”，AB =“儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠”由條件知：設(shè) X =“所生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)”于是求（1）全部能出廠的概率, （2）其中恰好有兩件不能出廠的概率, （3）其中至少有兩件不能出廠的概率.5. 假設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某零件的內(nèi)徑 X (mm) 服從 正態(tài)分布 N(11, 1)，內(nèi)徑小于10 或大于12 的為不合格 品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件 不合格品虧損，已知銷售利潤 L(單位元)與銷售零件的 內(nèi)徑 X 有如下關(guān)系：試求銷售一個(gè)零件的平均利潤是多少？解 利潤 L 的取值為:-1，20，-2

10、試求銷售一個(gè)零件的平均利潤是多少？類似得故平均利潤6. 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有嚴(yán)格單調(diào)上升的分布函數(shù) F(x), 求 Y=F(X) 的分布函數(shù)。 解 因?yàn)楣?Y 的分布函數(shù)為可見 Y 服從 0，1 上的均勻分布。7. 設(shè) (X, Y) 在矩形區(qū)域上服從均勻分布，試求邊長為 X 和Y 的矩形面積 S 的概率密度 f(s).解 由題知，X, Y 的聯(lián)合密度為先求 S 的分布函數(shù) F(s).易知：當(dāng) s2時(shí)，F(xiàn)(s)=1.當(dāng) 時(shí)，所以邊長為 X, Y 的矩形面積 S 的概率密度為7. 設(shè) (X, Y) 在矩形區(qū)域上服從均勻分布，試求邊長為 X 和Y 的矩形面積 S 的概率密度 f(s).解（1） 由歸

11、一性得 （1）試確定常數(shù)b； 2）求關(guān)于 X，Y 的邊緣密度函數(shù)， 并判別 X，Y 是否獨(dú)立（3）求概率故X, Y 獨(dú)立。由于 8 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)（3）9. 設(shè) 是來自 的樣本，問 n 多 大時(shí)才能使得 成立？解 1）用切比雪夫不等式估計(jì)故 n 至少為 97.2）用正態(tài)分布10. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為為取自X 的簡單隨機(jī)樣本， 求（1）當(dāng) 時(shí)，未知參數(shù) 的矩估計(jì)量；（2）當(dāng) 時(shí)，未知參數(shù) 的最大似然估計(jì)量；（3）當(dāng) 時(shí)，未知參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.教材P135第29題求（1）當(dāng) 時(shí)，未知參數(shù) 的矩估計(jì)量；解 （1） 時(shí)，X 的密度函數(shù)令解得解 （2） 時(shí)，（2）當(dāng) 時(shí)，未知參數(shù) 的最大似然估計(jì)量；似然函數(shù)（2）當(dāng) 時(shí)，未知參數(shù) 的最大似然估計(jì)量；取對(duì)數(shù)求導(dǎo)，并令之為 0，解得解 （3） 時(shí)，密度函數(shù)為似然函數(shù)（3）當(dāng) 時(shí)，未知參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.用觀察法得故11. 設(shè) 是來自正態(tài)總體 X 的簡單隨機(jī)樣本，記試確定 Z 的分布。解 又 且與 Y1-Y2