1、哥德?tīng)柖ɡ砑捌湔軐W(xué)義蘊(yùn)1.哥德?tīng)柶淙思僭O(shè)讓人們列舉出20世紀(jì)影響人類思想的十大偉人，恐怕愛(ài)因斯坦alberteinstein、圖靈alantturing、哥德?tīng)杒urtgdel和凱恩斯jhnkeynes應(yīng)榜上有名，事實(shí)上，這四位也恰是2002年美國(guó)?時(shí)代周刊?上列出的“20世紀(jì)震撼人類思想界的四大偉人，足見(jiàn)這四位大家思想之重要而深遠(yuǎn)。然而，對(duì)于物理學(xué)家愛(ài)因斯坦、理論計(jì)算機(jī)之父圖靈，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯的工作，一般人總還略知一二，但大多數(shù)人對(duì)作為數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家的哥德?tīng)柕乃枷刖椭幌?，更知之不確了。庫(kù)爾特哥德?tīng)?906年出生在摩拉維亞的布爾諾城，是一個(gè)生活條件屬中產(chǎn)階級(jí)的奧地利日爾曼裔家庭的第二

2、個(gè)兒子，父親是一家紡織廠的合伙經(jīng)營(yíng)人，母親是受過(guò)良好教育的家庭婦女。1924年哥德?tīng)柸刖S也納大學(xué)學(xué)習(xí)，最初主修物理和數(shù)學(xué)，后來(lái)在維也納小組的鼓勵(lì)下開(kāi)始學(xué)習(xí)邏輯。1930年獲哲學(xué)博士學(xué)位，1933年獲維也納大學(xué)執(zhí)教資格。1940年遷居美國(guó)任普林斯頓研究院研究員，1948年參加美國(guó)國(guó)籍，1976年退休，1978年由于精神紊亂死于回絕進(jìn)食造成的營(yíng)養(yǎng)枯竭。哥德?tīng)柕囊簧梢哉f(shuō)是傾力獻(xiàn)身根底理論研究的一生，他的學(xué)術(shù)奉獻(xiàn)根本上是在數(shù)學(xué)、邏輯和哲學(xué)領(lǐng)域。1929-1938年間哥德?tīng)栕鞒鰯?shù)理邏輯領(lǐng)域三大奉獻(xiàn)：證明一階謂詞演算的完全性；證明算術(shù)形式系統(tǒng)的不完全性；證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和集合論公理的相對(duì)一致性，這些結(jié)果不

3、僅使邏輯學(xué)發(fā)生了革命，而且對(duì)數(shù)學(xué)、哲學(xué)、計(jì)算機(jī)和認(rèn)知科學(xué)都有非常重大的影響。特別是電子計(jì)算機(jī)誕生之后，哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ淼纳罨愿邮艿綄W(xué)界的關(guān)注。只是稍稍出乎人們意料的是，作出這幾個(gè)劃時(shí)代結(jié)果后，自1940年以后，哥德?tīng)柍死^續(xù)考慮一些集合論問(wèn)題，有5年時(shí)間熱中相對(duì)論并得到一個(gè)受愛(ài)因斯坦贊賞的結(jié)果外，大部分時(shí)間傾注了哲學(xué)問(wèn)題的研究。他一生著述很少，極少公開(kāi)演講，只出版過(guò)一部著作，發(fā)表文字不及300頁(yè)，從未構(gòu)造過(guò)任何完好的理論體系，甚至沒(méi)有一個(gè)真正意義上自己的學(xué)生，他的大部分思想記錄在手稿、私人通信和談話記錄中。哥德?tīng)栐辉S多人看作帶有神秘色彩的人物，一方面是因?yàn)樗牟煌耆远ɡ淼倪壿嬐庖率?/p>

4、大多數(shù)人難覓其思想的內(nèi)在義蘊(yùn)，另一方面也因?yàn)閷?duì)于他的個(gè)性和精神狀況流傳著一些坊間神話。但是可以肯定的，哥德?tīng)柌粌H以精湛?jī)?yōu)雅的工作作出了令世人矚目的科學(xué)奉獻(xiàn)，還以卓然深化的思想為世人留下一筆豐厚的哲學(xué)遺產(chǎn)。哥德?tīng)栆簧亓ⅹ?dú)行，始終如一地將一流的人格品質(zhì)、高遠(yuǎn)的科學(xué)鑒賞力、超凡的創(chuàng)造性和至為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)融為一體，傾其全力獻(xiàn)身根底理論研究工作，在這個(gè)充滿競(jìng)爭(zhēng)的世界上，他完全采取了一種“超然于競(jìng)爭(zhēng)之上的生活態(tài)度。王浩曾將哥德?tīng)柵c愛(ài)因斯坦相提并論，稱他們是哲人科學(xué)家中的“稀有品種。到目前為止，由一流數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家組成的編委會(huì)負(fù)責(zé)編輯出版的?哥德?tīng)栁募?已經(jīng)于1986、1990、1995年出版了前三卷，其

5、他各卷還將陸續(xù)出版，借助?哥德?tīng)栁募?，我們必將逐步走進(jìn)哥德?tīng)柕木袷澜纾M(jìn)一步理解其思想的博大精深。2.哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ砀绲聽(tīng)査枷胱钌罨乇磉_(dá)在為世人稱道的不完全性定理之中。為了理解這一定理的深化內(nèi)涵，我們首先理解一下一階謂詞邏輯的完全性問(wèn)題。我們知道，自然語(yǔ)言中包含著各種隱喻的成分和模糊之處，在使用中常常需要依賴于使用語(yǔ)言的語(yǔ)境，用自然語(yǔ)言進(jìn)展推理往往會(huì)產(chǎn)生歧義，帶來(lái)意義的不確定性，因此在萊布尼茲時(shí)代，邏輯學(xué)家們就希望引進(jìn)一套意義單一明確的人工符號(hào)，構(gòu)造一套形式語(yǔ)言來(lái)嚴(yán)格、明晰地整理日常推理和數(shù)學(xué)推理。為此目的，1879年弗雷格g.frege提出第一個(gè)初等邏輯的形式系統(tǒng)未完全形式化，1

6、910年羅素b.russell在?數(shù)學(xué)原理?中給出了一階謂詞邏輯的形式系統(tǒng)p，1928年希爾伯特d.hilbert和阿克曼.akeran又引進(jìn)了形式系統(tǒng)ha，根本特征都是引進(jìn)了一套人工語(yǔ)言代替自然語(yǔ)言。一般來(lái)講，在一個(gè)形式系統(tǒng)中，各種陳述都表示成有窮長(zhǎng)度的符號(hào)串，系統(tǒng)的形成規(guī)那么指明什么樣的符號(hào)串是合法的公式，一些符號(hào)串被當(dāng)作公理。系統(tǒng)中還包括一系列推理規(guī)那么，指明什么是系統(tǒng)中定理的證明。一個(gè)證明就是從公理出發(fā)對(duì)公式變形而形成的有窮長(zhǎng)的公式序列，序列中的每一個(gè)公式，或者是公理，或者是由在前的公式按照推理規(guī)那么形成的公式，而且系統(tǒng)中每一個(gè)定理都是這樣經(jīng)過(guò)有窮步驟得到的結(jié)果。到了20世紀(jì)20年代，

7、這三個(gè)系統(tǒng)已經(jīng)為邏輯學(xué)家們所普遍承受。問(wèn)題是，這樣的形式系統(tǒng)是否能囊括所有的邏輯真理？于是，希爾伯特1928年明確提出問(wèn)題，證明一階謂詞邏輯系統(tǒng)具有完全性。一年以后，哥德?tīng)栐谒?929年完成的博士論文中證明，包括弗雷格、羅素和希爾伯特-阿克曼的一階謂詞邏輯的形式系統(tǒng)，都具有一種語(yǔ)義完全性，即所有普遍有效式都可在一階謂詞邏輯系統(tǒng)中作為定理得到證明，所謂普遍有效式，就是在一切論域中都真的公式。這一結(jié)果說(shuō)明，一階謂詞邏輯系統(tǒng)在刻畫(huà)那些邏輯真理方面是足夠充分的。既然一階謂詞邏輯具有如此強(qiáng)大的才能，邏輯學(xué)家們期望借助它構(gòu)造整個(gè)數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)，從而用形式化手段證明所有的數(shù)學(xué)真理。事實(shí)上，1900年巴黎數(shù)學(xué)

8、家會(huì)議上，希爾伯特遵從“世界上沒(méi)有不可知，“人類理性提出的問(wèn)題人類理性一定可以答復(fù)的哲學(xué)信念，提出23個(gè)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中的第二個(gè)問(wèn)題就是建立整個(gè)數(shù)學(xué)的一致性即無(wú)矛盾性或稱協(xié)調(diào)性，20年代希爾伯特本人曾提出了一個(gè)使用有窮方法建立實(shí)數(shù)和分析的一致性的方案，稱為希爾伯特元數(shù)學(xué)方案。所謂有窮方法，粗略地說(shuō)就是一套可操作的形式化程序，按照這樣的程序可以一步一步地在有窮步驟內(nèi)得到確切結(jié)果。1930年獲得博士學(xué)位之后，為了獲得大學(xué)授課資格，哥德?tīng)栭_(kāi)始沿著希爾伯特方案的道路著手解決希爾伯特第二問(wèn)題。而不完全性定理正是解決第二問(wèn)題所得的結(jié)果。哥德?tīng)栕畛跏窍雽ご朔桨甘紫冉⑺阈g(shù)理論的一致性，然后再建立相對(duì)于算術(shù)

9、而言實(shí)數(shù)理論的一致性，但出乎意外的是，他得到了與希爾伯特預(yù)期完全相反的結(jié)果，最終證明了形式算術(shù)系統(tǒng)的一致性不能用有窮手段證明。哥德?tīng)柺紫扔靡浑A謂詞邏輯的形式語(yǔ)言陳述皮亞諾算術(shù)的五條公理，同時(shí)將所形成的算術(shù)形式系統(tǒng)記為pa，在發(fā)表于1931年的論文?論?數(shù)學(xué)原理?及有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可斷定命題中，證明了如下兩個(gè)重要結(jié)果：哥德?tīng)柕谝徊煌耆远ɡ恚杭僭O(shè)pa是一致的，那么存在pa命題p，p在pa中不可證；假設(shè)pa是一致的，那么p的否認(rèn)p在pa中不可證1936年羅塞爾j.b.rsser證明可以將條件“一致改為“一致，即系統(tǒng)pa是不完全的，這樣的p稱為不可斷定命題即命題和命題的否認(rèn)都不是系統(tǒng)的定理。哥德?tīng)?/p>

10、第二不完全性定理：假設(shè)算術(shù)形式系統(tǒng)pa是一致的，那么不可能在系統(tǒng)pa內(nèi)部證明其一致性。哥德?tīng)柕膬蓚€(gè)不完全性定理可以更一般地表述為：哥德?tīng)柕谝徊煌耆远ɡ恚喝魏巫阋哉归_(kāi)初等數(shù)論的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，假設(shè)是一致的，就是不完全的，即其中必定存在不可斷定命題；哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ恚喝魏巫阋哉归_(kāi)初等數(shù)論的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，假設(shè)是一致的，其一致性在系統(tǒng)內(nèi)不可證。第二不完全性定理的另一種形式：任何足夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，假設(shè)是一致的，那么它不能證明表達(dá)它自身一致性的命題是定理。哥德?tīng)栕C明第一不完全性定理的思路是，先在形式系統(tǒng)中構(gòu)造一個(gè)命題p，這個(gè)命題形如“p在系統(tǒng)中不可證，進(jìn)而指出，這個(gè)命題p和它的否認(rèn)p都不是系統(tǒng)

11、的定理，即這個(gè)命題在系統(tǒng)中是不可斷定的。按照經(jīng)典邏輯，任何一個(gè)命題，或者為真，或者為假，二者必居其一，二者只居其一，即命題和命題的否認(rèn)必有一真，因此，系統(tǒng)中存在不可斷定命題，就意味著系統(tǒng)中存在真的但不可證的命題。事實(shí)上，哥德?tīng)枠?gòu)造的命題p身就是一個(gè)真的但在系統(tǒng)中不可證的命題。哥德?tīng)栕C明第二不完全性定理的思路是，既然有事實(shí)，假設(shè)系統(tǒng)pa是一致的，那么p在系統(tǒng)pa中不可證，那么表達(dá)這個(gè)事實(shí)的論證可以在系統(tǒng)pa中形式化。例如，“系統(tǒng)pa是一致的可以表示為npa，同時(shí)把“p在系統(tǒng)pa中不可證就用p表示，相應(yīng)論證就表示成：npap根據(jù)前述，假設(shè)npa可證，那么有p即p在系統(tǒng)pa中可證。這顯然與第一不完全

12、性定律相矛盾。哥德?tīng)柖ɡ淼谝淮蜗蚴廊顺吻辶恕罢媾c“可證概念的本質(zhì)區(qū)別。由于一個(gè)命題在一個(gè)形式系統(tǒng)中可證，就意味著遵循推理規(guī)那么，可以一步接著一步地在有窮步驟內(nèi)完成證明過(guò)程。但哥德?tīng)栔赋觯词瓜拗圃谄喼Z算術(shù)這樣狹小的數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，要想用形式化的有窮手段證明它的無(wú)矛盾性這一真理都是不可能的。換句話說(shuō)，任何豐富到足以展開(kāi)初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，至少會(huì)遺漏一個(gè)數(shù)學(xué)真理，數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)不能囊括所有的數(shù)學(xué)真理。那么，能不能添加更強(qiáng)的公理擴(kuò)大原有的系統(tǒng)窮盡所有的數(shù)學(xué)真理呢？哥德?tīng)栒f(shuō)，不行！因?yàn)?，?duì)于新擴(kuò)大的系統(tǒng)還會(huì)有新的數(shù)學(xué)真命題在其中不可證，繼續(xù)擴(kuò)大，情形仍然如此。實(shí)際上，除非你把這種擴(kuò)張過(guò)程持續(xù)到超窮，否那么

13、這種系統(tǒng)連最簡(jiǎn)單的算術(shù)真理都不能窮荊哥德?tīng)柋救苏劶岸ɡ碜C明過(guò)程時(shí)曾說(shuō)過(guò)，“我在數(shù)論形式系統(tǒng)中構(gòu)造不可斷定命題的啟發(fā)性原那么是將可證性和相對(duì)應(yīng)的高度超窮的客觀數(shù)學(xué)真理概念相區(qū)分?？磥?lái)，可證數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)真理之間永遠(yuǎn)隔著一個(gè)超窮間隔 ，僅僅使用有窮方法甚至沒(méi)有希望逼近它。正如哥德?tīng)査f(shuō)，“數(shù)學(xué)不僅是不完全的，還是不可完全的，這一點(diǎn)也恰是哥德?tīng)柖ɡ碜钌罨恼軐W(xué)義蘊(yùn)。3.哥德?tīng)柖ɡ碓诓煌Z(yǔ)境下的版本顯然，哥德?tīng)柖ɡ砼c數(shù)學(xué)家的最初期望相去甚遠(yuǎn)，因?yàn)?，一方面人們期望?shù)學(xué)形式系統(tǒng)囊括所有數(shù)學(xué)真理，一方面又清楚知道總有數(shù)學(xué)真理不可證；一方面經(jīng)歷和直覺(jué)告訴人們數(shù)學(xué)是一致的不含矛盾的，理性又教導(dǎo)人們數(shù)學(xué)不能證明它

14、自身的一致性。因此，定理發(fā)現(xiàn)之后，人們不得不重新調(diào)整自己的思維方式。著名數(shù)學(xué)家外爾h.eyl當(dāng)時(shí)曾就此感慨到，“上帝是存在的，因?yàn)閿?shù)學(xué)無(wú)疑是一致的；魔鬼也是存在的，因?yàn)槲覀儾荒茏C明這種一致性。這段話形象地道出了當(dāng)時(shí)處于兩難境遇的數(shù)學(xué)家的困惑。甚至有人把哥德?tīng)柖ɡ淼囊饬x進(jìn)一步引申：宇宙給了我們一種選擇，就人類認(rèn)知而言，我們要么擁有一本正確的但卻是極不完好的小書(shū)，要么擁有一本完好的但缺乏內(nèi)在和諧的大書(shū)，我們可以選擇完好也可以選擇和諧，但魚(yú)和熊掌不可得兼。在我們看來(lái)，這些說(shuō)法不過(guò)是哥德?tīng)柖ɡ韼Ыo人們的某些啟示，事實(shí)上，哥德?tīng)柖ɡ碜詧D靈機(jī)概念誕生之后更加凸現(xiàn)其深化和意義深遠(yuǎn)。1930年代，哥德?tīng)枴⑶鹌?/p>

15、a.hurh、克林尼g.j.kleene、圖靈等一批數(shù)學(xué)家開(kāi)始對(duì)直觀的“算法可計(jì)算概念的數(shù)學(xué)刻畫(huà)進(jìn)展探究，相繼提出了-可定義、遞歸函數(shù)和圖靈機(jī)概念，并給出了影響廣遠(yuǎn)的丘奇-圖靈論題：一切算法可計(jì)算函數(shù)都是遞歸函數(shù)，一切算法可計(jì)算函數(shù)都是通用圖靈機(jī)可計(jì)算的函數(shù)，或者說(shuō)，每個(gè)算法都可在一臺(tái)通用圖靈機(jī)上程序化。雖然幾種數(shù)學(xué)刻畫(huà)是等價(jià)的，但是哥德?tīng)栕顬橘澷p圖靈機(jī)概念，這其中最為重要的是，圖靈機(jī)概念第一次澄清了形式系統(tǒng)的真正內(nèi)涵形式系統(tǒng)不過(guò)是一種產(chǎn)生定理的機(jī)械程序，或者說(shuō)圖靈機(jī)的工作程序就是數(shù)學(xué)家在形式系統(tǒng)中進(jìn)展工作的程序。有了圖靈機(jī)概念以后人們開(kāi)始期望造出能證明所有數(shù)學(xué)定理的機(jī)器，但是，既然圖靈機(jī)就等

16、價(jià)于形式系統(tǒng)，那么形式系統(tǒng)的局限就是圖靈機(jī)的局限。于是，哥德?tīng)柕牡谝徊煌耆远ɡ碓诮o出圖靈機(jī)概念之后就有了如下幾種等價(jià)說(shuō)法：1沒(méi)有數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)既是一致的又是完全的。2沒(méi)有定理證明機(jī)器或機(jī)器程序可以證明所有的數(shù)學(xué)真理。3數(shù)學(xué)是算法不可完全的。4數(shù)學(xué)是機(jī)器程序不可窮盡的。5停機(jī)定理沒(méi)有任何圖靈機(jī)程序能斷定，任給一個(gè)程序p和一套輸入i，按照這套輸入i運(yùn)行程序p時(shí)，機(jī)器是否能停機(jī)。即停機(jī)問(wèn)題是圖靈機(jī)算法不可解的。由于任何數(shù)字計(jì)算機(jī)都是通用圖靈機(jī)的特例，因此，停機(jī)定理說(shuō)明，本質(zhì)上，計(jì)算機(jī)的才能是有限的。1985年，切廷g.j.haitin在?算法信息論?一書(shū)中，給出了算法信息論中的哥德?tīng)柺讲豢蓴喽}，

17、并且給出哥德?tīng)柖ɡ淼乃惴ㄐ畔⒄摪姹荆?對(duì)形式算術(shù)系統(tǒng)t而言，可以找到一個(gè)數(shù)t，它是公理系統(tǒng)t的信息熵，即描繪或處理這些公理所需要的最小信息量，假設(shè)k是字為的科爾莫葛洛夫a.n.klgrv復(fù)雜性，那么t中一切滿足kt的命題在t中不可證。施瓦茨sharz曾就這些結(jié)果總結(jié)過(guò)頗具啟發(fā)的三句話：“希爾伯特認(rèn)為，一切事物都是算法可知的；哥德?tīng)栒J(rèn)為有些事物不是算法可知的；切廷認(rèn)為只有少部分事物是算法可知的?？梢?jiàn)，哥德?tīng)柖ɡ泶_實(shí)深化地變革了我們對(duì)于一致性、完全性、真理、可證性和可計(jì)算性之間關(guān)系的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。曾有人問(wèn)哥德?tīng)枺芊癜阉亩ɡ硗茝V到數(shù)學(xué)以外。哥德?tīng)枃L試給出了一個(gè)自己認(rèn)為合理的表述：“一個(gè)完全不自由的社

18、會(huì)即處處按統(tǒng)一法那么行事的社會(huì)，就其行為而言，或者是不一致的，或者是不完全的，即無(wú)力解決某些可能是極端重要的問(wèn)題，而當(dāng)社會(huì)面臨困境時(shí)，這種不一致或者不完全都會(huì)危機(jī)整個(gè)社會(huì)的生存。4.哥德?tīng)柋救苏劜煌耆远ɡ淼恼軐W(xué)義蘊(yùn)既然任何一致的形式系統(tǒng)和圖靈機(jī)程序不能囊括所有的數(shù)學(xué)真理，而我們?nèi)诵目梢钥闯鏊鼈兊恼胬硇?，那么哥德?tīng)柖ɡ硭坪跽f(shuō)明，在機(jī)器模擬人的智能方面必定存在著某種不能超越的邏輯極限，或者說(shuō)計(jì)算機(jī)永遠(yuǎn)不能做人所能做的一切。于是，一批具有數(shù)理背景的科學(xué)家和哲學(xué)家很難抵御一種誘惑，用哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碚撟C“人心將永遠(yuǎn)勝過(guò)計(jì)算機(jī)的結(jié)論。果真可以作如此論證嗎？我們可以考察一下哥德?tīng)柋救藢?duì)他的定理的哲學(xué)義

19、蘊(yùn)的闡釋。從哥德?tīng)柕囊徊糠质指搴?970年代與數(shù)學(xué)家王浩的談話記錄中，我們得知，他在不同場(chǎng)合曾屢次談及不完全性定理的哲學(xué)義蘊(yùn)，甚至1951年的“第25屆吉布斯演講的題目就是“有關(guān)數(shù)學(xué)根底的根本定理及其哲學(xué)義蘊(yùn)，特別是集中于心-腦-計(jì)算機(jī)-哥德?tīng)柖ɡ淼年P(guān)系問(wèn)題他曾有過(guò)許多闡述。哥德?tīng)柺紫葒?yán)格區(qū)分了心ind、腦brain、計(jì)算機(jī)的功能后明確斷言，人類大腦的功能不過(guò)像一臺(tái)計(jì)算機(jī)，心與腦同一的觀點(diǎn)卻是我們時(shí)代的偏見(jiàn)，但不完全性定理不能作為“人心勝過(guò)計(jì)算機(jī)論斷的直接證據(jù)，要推出如此強(qiáng)硬論斷還需要其他假定。事實(shí)上，在嚴(yán)格區(qū)分了心、腦、計(jì)算機(jī)的功能后，“人心是否勝過(guò)計(jì)算機(jī)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為幾個(gè)子問(wèn)題：1是否大

20、腦和心的功能等同？2是否大腦的運(yùn)作等同于計(jì)算機(jī)的運(yùn)作？3是否心的本質(zhì)是可計(jì)算的？這三個(gè)問(wèn)題實(shí)際上就是“心腦功能同一論、“大腦的可計(jì)算主義和“心的可計(jì)算主義是否成立的問(wèn)題。心腦同一論是20世紀(jì)50年代末以來(lái)西方占據(jù)主流的一種哲學(xué)理論，也是人工智能的理論基矗但哥德?tīng)栒J(rèn)為，心腦同一論是人們普遍承受的時(shí)代偏見(jiàn)，而心的可計(jì)算主義是應(yīng)當(dāng)?shù)玫脚械?。首先，哥德?tīng)栐趯掖紊昝?，他本人并不反?duì)用不完全性定理作為證明“人心勝過(guò)計(jì)算機(jī)這一結(jié)論的部分證據(jù)，因?yàn)樵谒磥?lái)，不完全性定理并未給出人類理性的極限，而只提醒了數(shù)學(xué)形式主義的內(nèi)在局限，但是，僅僅使用他的定理缺乏以作出如此強(qiáng)硬論斷。哥德?tīng)栔赋?，圖靈曾給出的“心的過(guò)程

21、不能超越機(jī)械過(guò)程的論證在附加以下兩個(gè)假定之后才有可能：a沒(méi)有與物質(zhì)相別離的心。b大腦的功能根本上像一臺(tái)數(shù)字計(jì)算機(jī)。他認(rèn)為b的概然性很高；但無(wú)論如何a是將要被科學(xué)所否證的時(shí)代偏見(jiàn)。實(shí)際上，早在1951年的吉布斯演講稿1995年發(fā)表中，哥德?tīng)柧椭赋觯郊恿讼柌刂鲝埖摹叭祟惱硇蕴岢龅膯?wèn)題人類理性一定可以解答這樣一個(gè)哲學(xué)假定，有可能從不完全性定理推出“人心勝過(guò)計(jì)算機(jī)的結(jié)論，當(dāng)然，哥德?tīng)柋救艘矁A向于這一假定成立，但同時(shí)他也意識(shí)到，這種對(duì)于“心腦同一論和“心的可計(jì)算主義的批判未必會(huì)令人信服，因?yàn)樗吘故且环N推論式的。值得注意的一點(diǎn)是，哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ淼囊环N形式是說(shuō)，任何恰當(dāng)?shù)亩ɡ碜C明機(jī)器，或者定

22、理證明程序，假設(shè)它是一致的，那么它不能證明表達(dá)它自身一致性的命題是定理。哥德?tīng)栒J(rèn)為，人心有洞察具有超窮性質(zhì)的數(shù)學(xué)真理的直覺(jué)才能，特別是可以洞察數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)的一致性。但是由于形式系統(tǒng)的局限性，一方面，人心不能將他的全部數(shù)學(xué)直覺(jué)形式化，假設(shè)人心把他的某些數(shù)學(xué)直覺(jué)形式化了，這件事本身便要產(chǎn)生新的直覺(jué)知識(shí)如這個(gè)形式系統(tǒng)的一致性知識(shí)；另一方面，不排除存在一臺(tái)定理證明機(jī)器確實(shí)等價(jià)于數(shù)學(xué)直覺(jué)這種可能。但重要的在于，假定有這樣的機(jī)器，由第二不完全性定理，我們不可能證明確實(shí)如此?？磥?lái)，當(dāng)人們應(yīng)用哥德?tīng)柖ɡ碓噲D嚴(yán)格地作出“人心勝過(guò)計(jì)算機(jī)的論證時(shí)，其中包含著一個(gè)令人難以覺(jué)察的破綻：?jiǎn)栴}的核心并不在于是否存在能捕獲人

23、類直覺(jué)的定理證明機(jī)器，而恰恰在于，即使存在這樣一臺(tái)機(jī)器，也不能證明它確實(shí)做到了這一步。恰如哥德?tīng)査f(shuō)：“不完全性定理并不排除存在事實(shí)上等價(jià)于數(shù)學(xué)直覺(jué)的定理證明機(jī)器。但是定理蘊(yùn)涵著，我們或者不能確切知道這臺(tái)機(jī)器的詳情，或者不能確切知道它是否會(huì)準(zhǔn)確無(wú)誤地工作。在紀(jì)念現(xiàn)代計(jì)算機(jī)先驅(qū)馮諾意曼j.vnneuann誕辰60周年大會(huì)上，哥德?tīng)栐鴨?wèn)過(guò)一個(gè)問(wèn)題，“一臺(tái)機(jī)器知道自己程序的可能性有多大？這個(gè)問(wèn)題頗似那個(gè)幽默的悖論：上帝能否造一塊他自己舉不起來(lái)的石頭？事實(shí)上，指出這類內(nèi)涵悖論的自指性的本質(zhì)恰好是哥德?tīng)柖ɡ碜钌罨牧x蘊(yùn)之一。今天，許多人認(rèn)為計(jì)算機(jī)不能超過(guò)人類心智，就是認(rèn)為大腦是一個(gè)具有高容錯(cuò)機(jī)制的系統(tǒng)，

24、同時(shí)人的意識(shí)具有意向性、自指性和非定域性等特征，這些都是計(jì)算機(jī)所不能到達(dá)的。當(dāng)然，在哥德?tīng)柨磥?lái)，除了必要的哲學(xué)假定之外，答復(fù)“人心是否勝過(guò)計(jì)算機(jī)的問(wèn)題還依賴于我們能否消除內(nèi)涵悖論，還要取決于包括大腦科學(xué)在內(nèi)的整個(gè)科學(xué)的進(jìn)展。5.哥德?tīng)柖ɡ韺?duì)人工智能的啟示自不完全性定理誕生之時(shí)，定理內(nèi)在的哲學(xué)義蘊(yùn)就一直是學(xué)界爭(zhēng)論的話題，特別是在人工智能領(lǐng)域這一爭(zhēng)論持續(xù)了近半個(gè)世紀(jì)。1961年美國(guó)哲學(xué)家魯卡斯j.luas首先以劇烈言辭撰文?心、機(jī)器、哥德?tīng)?，試圖用哥德?tīng)柖ɡ碇苯幼C明“人心超過(guò)計(jì)算機(jī)的結(jié)論：“依我看，哥德?tīng)柖ɡ碜C明了機(jī)械論是錯(cuò)誤的，因?yàn)?，無(wú)論我們?cè)斐龆嗝磸?fù)雜的機(jī)器，只要它是機(jī)器，就將對(duì)應(yīng)于一個(gè)形式

25、系統(tǒng)，就能找到一個(gè)在該系統(tǒng)內(nèi)不可證的公式而使之受到哥德?tīng)枠?gòu)造不可斷定命題的程序的打擊，機(jī)器不能把這個(gè)公式作為定理推導(dǎo)出來(lái)，但是人心卻能看出它是真的。因此這臺(tái)機(jī)器不是心的一個(gè)恰當(dāng)模型。這就是著名的魯卡斯論證。隨后，另一位美國(guó)哲學(xué)家懷特利.h.hitely發(fā)表了強(qiáng)有力的批駁文章?心靈、機(jī)器、哥德?tīng)柣貞?yīng)魯卡斯?，遂引起許多人卷入并長(zhǎng)達(dá)幾十年的爭(zhēng)論。1979年獲普利策文學(xué)大獎(jiǎng)的美國(guó)暢銷書(shū)?哥德?tīng)枴?、巴赫一條永久的金帶?將艾舍爾義蘊(yùn)深化的版畫(huà)、巴赫膾炙人口的?音樂(lè)的奉獻(xiàn)?樂(lè)章與哥德?tīng)柖ɡ響騽⌒缘剡B接在一起，試圖從多個(gè)視角說(shuō)明如何用哥德?tīng)柖ɡ矸褡C強(qiáng)人工智能方案，譜寫(xiě)了一首心-腦-計(jì)算機(jī)的“隱喻賦格曲。

26、1963年，美國(guó)哲學(xué)家、認(rèn)知科學(xué)家德萊弗斯h.dreyfus出版了?計(jì)算機(jī)不能做什么？人工理性批判?，1982年和1986年又相繼出版了?胡塞爾、意向性和認(rèn)知科學(xué)?與?心靈優(yōu)于機(jī)器：人的直覺(jué)在計(jì)算機(jī)時(shí)代的力量?等，批判了強(qiáng)人工智能的觀點(diǎn)，反對(duì)把人僅僅看成一種抽象的推理機(jī)器。他認(rèn)為，與機(jī)器不同，人具有識(shí)別、綜合以及直覺(jué)洞察的才能，這些才能植根于一些與計(jì)算機(jī)程序的計(jì)算理性截然不同的過(guò)程中，直覺(jué)智能的力量使人可以理解、言說(shuō)以及巧妙地調(diào)整我們與外部環(huán)境的關(guān)系。1989年，英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家羅杰彭羅斯r.penrs在風(fēng)行全球的?皇帝新腦計(jì)算機(jī)、心智和物理定律?一書(shū)中，對(duì)魯卡斯論證又作了進(jìn)一步擴(kuò)展,指出

27、數(shù)學(xué)真理的概念不能包容于任何形式主義的框架之中，人心，特別是人的意識(shí)完全是非算法的，計(jì)算機(jī)不過(guò)是強(qiáng)人工智能專家所鐘愛(ài)的一副“皇帝新腦而已，被稱為“哥德?tīng)柖ɡ眢@人的強(qiáng)應(yīng)用，并由此引發(fā)了1990年?行為和大腦科學(xué)?雜志上許多人介入的一場(chǎng)爭(zhēng)論。1997年和1998年當(dāng)代語(yǔ)言哲學(xué)家，強(qiáng)人工智能的反對(duì)者塞爾j.r.searle相繼出版?意識(shí)之迷?與?心靈、語(yǔ)言和社會(huì)?等著作，斷言僅僅依靠單純的輸入輸出，計(jì)算機(jī)不可能完全模擬人的意識(shí)活動(dòng)。塞爾通過(guò)他的所謂“中文屋概念批駁了強(qiáng)人工智能專家所持有觀點(diǎn)。在塞爾看來(lái)，計(jì)算機(jī)與人類的心智相比，其理解力不僅是不完全的，而且可以說(shuō)完全是空白。他認(rèn)為，假設(shè)我們所說(shuō)的機(jī)器是

28、指一個(gè)具有某種功能的物理系統(tǒng)，或者只從計(jì)算的角度講，大腦就是一臺(tái)計(jì)算機(jī)，然而在他看來(lái)，心的本質(zhì)并非如此。因?yàn)橛?jì)算機(jī)程序純粹是按照語(yǔ)法規(guī)那么來(lái)定義的，而語(yǔ)法本身缺乏以擔(dān)保心的意向性和語(yǔ)義的呈現(xiàn)，程序的運(yùn)行只具有在機(jī)器運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生下一步形式化的才能，只有那些使用計(jì)算機(jī)并給計(jì)算機(jī)一定輸入同時(shí)還能解釋輸出的人才具有意向性。意向性是人心特有的功能，心的本質(zhì)絕不能被程序化，也就是說(shuō)，心的本質(zhì)不是算法的。我們看到，今天的計(jì)算機(jī)在數(shù)值計(jì)算、蠻力搜索等方面已大大超過(guò)人類，但是在模糊識(shí)別、感知和在復(fù)雜境域中進(jìn)展決策的才能卻無(wú)法與人相比，甚至最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)不能模擬一個(gè)3歲兒童的智能，那么，這其中真正的障礙終究在哪里？

29、人們最初是從希爾伯特元數(shù)學(xué)方案開(kāi)始考慮問(wèn)題的，是想用有窮手段，用能行的方法建立一個(gè)沒(méi)有內(nèi)在矛盾的形式系統(tǒng)囊括所有的數(shù)學(xué)真理，哥德?tīng)柛嬖V我們，這樣做不可能。但是，今天我們?nèi)匀辉谧非笠环N嚴(yán)格一致的算法來(lái)模擬人的智能，人工智能領(lǐng)域長(zhǎng)期以來(lái)一直是在圖靈的算法概念根底上產(chǎn)生的基于符號(hào)的“認(rèn)知可計(jì)算主義的綱領(lǐng)指導(dǎo)下工作，但是這種綱領(lǐng)已經(jīng)越來(lái)越顯示出它的局限，這一局限本質(zhì)上正是哥德?tīng)柖ɡ碓缇蛿嘌缘男问较到y(tǒng)的局限。那么計(jì)算機(jī)和人的智能的本質(zhì)區(qū)別終究何在？人類智能和認(rèn)知的本質(zhì)終究為何？是否像哥德?tīng)枖喽ǖ?，存在與物質(zhì)相別離的心能超越任何計(jì)算機(jī)去發(fā)現(xiàn)和證明某些數(shù)學(xué)定理，至少在發(fā)現(xiàn)具有超窮性質(zhì)的數(shù)學(xué)真理、提出數(shù)學(xué)公理

30、、構(gòu)造數(shù)學(xué)猜想方面是任何計(jì)算機(jī)都無(wú)法企及的？抑或像彭羅斯斷言的那樣，人心能超越任何計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)非算法的運(yùn)算，而且人心具有的某種特殊才能是建立在迄今未予發(fā)現(xiàn)的物理學(xué)規(guī)律的根底上？這些問(wèn)題至今并無(wú)定論。至少，目前我們無(wú)法確定“心不是計(jì)算機(jī)的結(jié)論為真。而且，人工智能是否存在某種不可逾越的邏輯極限？基于圖靈算法概念的計(jì)算概念可否超越？這些都是源自對(duì)哥德?tīng)柖ɡ淼陌l(fā)人深思的問(wèn)題，但問(wèn)題的最終解決還需要更深化的科學(xué)的進(jìn)展。1997年曾任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主席的斯梅爾s.sale效仿數(shù)學(xué)家希爾伯特向全世界數(shù)學(xué)家提出了21世紀(jì)需要解決的24個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中的第18個(gè)問(wèn)題是，“人類智能的極限和人工智能的極限是什么？并且指出，這個(gè)問(wèn)題與哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碛嘘P(guān)。值得指出的是，哥德?tīng)栐?jīng)說(shuō)過(guò)一句耐人尋味的話