1、第1講 平行與垂直一選擇題（共11小題） 1對于任意的直線與平面，在平面內(nèi)必有直線，使與A平行B垂直C相交D互為異面直線【解答】解：對于任意的直線與平面，分兩種情況在平面內(nèi)，與共面直線，則存在直線或；不在平面內(nèi)，且，則平面內(nèi)任意一條直線都垂直于； 若于不垂直，則它的射影在平面內(nèi)為一條直線，在平面內(nèi)必有直線垂直于它的射影，則與垂直；若，則存在直線故選：2對于平面和共面的直線、，下列命題中正確的是A若，則B若，則C若，則D若、與所成的角相等，則【解答】解：由于直線、共面，對于若，則或，故錯；對于若，則，相交或平行，故錯；對于若，由于、共面，則，故對；對于若、與所成的角相等，則，相交或平行，故錯故選

2、：3已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是A若，則B若，則C若，則D若，則【解答】解：對于，若，可得或，故錯誤；對于，若，可得或，或與相交，故錯誤；對于，若，可得或，故錯誤；對于，若，由線面平行的性質(zhì)定理可得過的平面與的交線與平行，又，可得，則，故正確故選：4設，是兩條不同的直線，是兩個不同的平面A若，則B若，則C若，則D若，則【解答】解：對于，若，則與可能平行；故錯誤；對于，若，則與可能平行；故 錯誤；對于，若，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與線面垂直的判定定理得到；故正確；對于，若，則與可能平行環(huán)形斜交；故錯誤；故選：5設，是異面直線，則以下四個命題：存在分別經(jīng)過直線和的兩個互相垂直的平面

3、；存在分別經(jīng)過直線和的兩個平行平面；經(jīng)過直線有且只有一個平面垂直于直線；經(jīng)過直線有且只有一個平面平行于直線其中正確的個數(shù)有A1B2C3D4【解答】解：對于：可以在兩個互相垂直的平面中，分別畫一條直線，當這兩條直線異面時，可判斷正確對于：可在兩個平行平面中，分別畫一條直線，當這兩條直線異面時，可判斷正確對于：當這兩條直線不是異面垂直時，不存在這樣的平面滿足題意，可判斷錯誤對于：假設過直線有兩個平面、與直線平行，則面、相交于直線，過直線做一平面與面、相交于兩條直線、，則直線、相交于一點，且都與直線平行，這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，所以假設不成立，所以正確故選：6已知，表

4、示不同平面，則的充分條件是A存在直線，且，B存在直線，且，C存在平面，D存在直線，【解答】解：對于，只有當與相交才滿足條件，故錯誤；對于，當時，不一定得到，故錯誤；對于，存在平面，不一定有，與也可能相交，故錯誤；對于，若存在直線，則一定有，故正確故選：7在正方體中，為棱的中點，則ABCD【解答】解：法一：連，由題意得，平面，且平面，平面，平面，故選：法二：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設正方體中棱長為2，則，0，1，2，0，2，0，2，1，2，0，2，故選：8如圖，在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是ABCD【解答】

5、解：對于選項，由于，結(jié)合線面平行判定定理可知與平面平行；對于選項，如圖，為底面對角線的交點，可得，又平面，所以直線與平面不平行對于選項，由題意，可得，結(jié)合線面平行判定定理可知與平面平行；對于選項，由于，結(jié)合線面平行判定定理可知與平面平行；故選：9如圖，點，為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是ABCD【解答】解：對于，作出完整的截面，由正方體的性質(zhì)可得，可得直線平面，能滿足；對于，作出完整的截面，由正方體的性質(zhì)可得，可得直線平面，能滿足；對于，作出完整的截面，由正方體的性質(zhì)可得，可得直線平面，能滿足；對于，作出完整的截面，如下圖，可得在平面內(nèi)，不能得出平行，不能滿足故選

6、：10如圖是正方體的平面展開圖關于這個正方體，有以下判斷：與所成的角為平面平面平面其中正確判斷的序號是ABCD【解答】解：把正方體的平面展開圖還原成正方體，在中，是與所成角（或所成角的補角），是等邊三角形，與所成的角為，故正確；在中，平面，平面，平面，故正確；在中，與相交，與不平行，故錯誤；在中，、平面，、平面，平面平面，故正確故選：11如圖所示，正方體的棱長為，分別為和上的點，則與平面的位置關系是A相交B平行C垂直D不能確定【解答】解：正方體棱長為，又是平面的法向量，且，平面故選：二填空題（共7小題）12下列命題：如果一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這兩個平面平行；如果

7、一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；平行于同一平面內(nèi)的兩個不同平面相互平行；垂直于同一直線的兩個不同平面相互平行其中的真命題是（把正確的命題序號全部填在橫線上）【解答】解：對于，相應的兩個平面可能相交，因此不正確；對于，其中的兩條直線可能是兩條平行直線，此時相應的兩個平面不一定平行，因此不正確；對于平行于同一平面內(nèi)的兩個不同平面相互平行，因此正確；對于，垂直于同一直線的兩個不同平面相互平行，因此正確故答案為：13空間四邊形中，、分別是、的中點若，則四邊形是菱形【解答】解：作出如圖的空間四邊形，連接，可得一個三棱錐，將四個中點連接，得到一個四邊形，由中位線的性質(zhì)知，故四

8、邊形是平行四邊形又，故有故四邊形是菱形故答案為菱形14棱長為1的正方體中，過，做正方體的截面，則截面的面積是1【解答】解：棱長為1的正方體中，過，做正方體的截面，得到的截面是邊長為1的正方形，截面的面積是故答案為：115在長方體中，經(jīng)過其對角線的平面分別與棱、相交于，兩點，則四邊形的形狀為平行四邊形【解答】解：因為在長方體中，平面與平面平行，而經(jīng)過對角線的平面分別與這兩個相交于與，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，故，同理可證，所以四邊形的形狀為平行四邊形，故答案為平行四邊形16如圖所示是一個正方體的展開圖，在原來的正方體中，有下列命題：與所在的直線平行；與所在的直線異面；與所在的直線成角；與所在的直線

9、互相垂直其中正確的命題是【解答】解：由展開圖可知，各點在正方體中的位置如下：由圖可知，且異面，不正確；與異面，正確；，不正確；，正確故正確的命題是：，故答案為：17在正方體的8個頂點，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中心共27個點中，共線的三點組的個數(shù)是49【解答】解：根據(jù)題意，在所給的正方體的27個點中，三點共線的情況有3種：、三點都在正方體的棱上，正方體有12條棱，即有12種情況；、以6個面的中心為中點，正方體有6個面，每個面有4種情況，共有種情況，、以正方體的中心為中點，共有種情況，則共有種，即共線的三點組的個數(shù)是49；故答案為：4918設有下列四個命題：兩兩相交且不過同一點的三條

10、直線必在同一平面內(nèi)：過空間中任意三點有且僅有一個平面：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行：若直線平面，直線平面，則則下述命題中所有真命題的序號是【解答】解：設有下列四個命題：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)根據(jù)平面的確定定理可得此命題為真命題，：過空間中任意三點有且僅有一個平面若三點在一條直線上則有無數(shù)平面，此命題為假命題，：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行，也有可能異面的情況，此命題為假命題，：若直線平面，直線平面，則由線面垂直的定義可知，此命題為真命題；由復合命題的真假可判斷為真命題，為假命題，為真命題，為真命題，故真命題的序號是：，故答案為：，三解答題（共7小題）1

11、9如圖，已知為平行四邊形所在平面外一點，為的中點，求證：平面【解答】證明：連接、交點為，連接，則為的中位線，平面，平面，平面20如圖所示，兩個全等的正方形和所在平面相交于，且，求證：平面【解答】證明：法一、如圖一，作，、為垂足，連接，則，又，又，得故四邊形為平行四邊形平面，平面，平面；法二：如圖二，過作于，則，連接，由，得，又，平面，平面，平面平面，平面，平面21如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，是的中點，作交于點（1）證明：平面；（2）證明：平面【解答】解：（1）證明：連接，交于連接底面是正方形，點是的中點在中，是中位線，平面，且平面，平面（2）證明：底面，且底面，底面是正方形，平面

12、平面，又，是的中點，平面平面，又，且，平面22如圖，為正三角形，平面，是的中點，求證：（1）；（2）平面平面；（3）平面平面【解答】證明：（1）如圖，取中點，連接平面，得平面，則四邊形是矩形，又，所以（2）取中點，連接、，是的中點，由，且平面，可得四邊形是矩形，于是，是的中點，又，平面，而平面，則平面平面（3）平面，平面，平面平面23如圖所示，在三棱柱中，四邊形為矩形，平面平面，點，分別是側(cè)面，對角線的交點（1）求證：平面；（2）【解答】（本題滿分為14分）證明：（1）三棱柱，四邊形，四邊形均為平行四邊形，分別是側(cè)面，對角線的交點，分別是，的中點，（4分）平面，平面，平面（8分）（2）四邊形為矩形，平面平面，平面，平面平面，平面，（12分）平面，（14分）24如圖，正三棱柱的高為，其底面邊長為2已知點，分別是棱，的中點，點是棱上靠近的三等分點求證：（1）平面；（2）平面【解答】證明：（1）連結(jié)，正三棱柱中，且，則四邊形是平行四邊形，因為點、分別是棱，的中點，所以且，又正三棱柱中且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）