1、第2章 Laplace變換2.4 Laplace變換的應(yīng)用2.3 Laplace逆變換2.2 Laplace變換的性質(zhì)2.1 Laplace變換的概念1 Fourier變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用,但是在通常意義下，F(xiàn)ourier變換存在的條件需要實(shí)函數(shù)f (t)在(-,+)上絕對(duì)可積. 很多常見(jiàn)的初等函數(shù)(例如，常數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、正弦與余弦函數(shù)等)都不滿足這個(gè)要求. 另外，很多以時(shí)間t 為為自變量的函數(shù)，當(dāng)t0時(shí)，往往沒(méi)有定義，或者不需要知道t0的情況. 因此, Fourier變換在實(shí)際應(yīng)用中受到一些限制. 2 當(dāng)函數(shù)f (t)在t0時(shí)沒(méi)有定義或者不需要知道時(shí), 可以認(rèn)為當(dāng)t0時(shí)收斂

2、, 而且有9例2 求指數(shù)函數(shù) f (t)=e kt 的拉氏變換(k為實(shí)數(shù)).這個(gè)積分在Re(s)k時(shí)收斂, 而且有其實(shí)k為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立, 只是收斂區(qū)間為 Re(s)Re(k)根據(jù)拉氏變換的定義, 有10練習(xí): 求單位斜坡函數(shù) 的拉氏變換 。解112.拉氏變換的存在定理 若函數(shù)f (t)滿足:(1) 在t 0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù);(2) 當(dāng)t時(shí), f (t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù), 即存在常數(shù) M 0及c 0, 使得|f (t)| M e ct, 0 t c上一定存在, 并且在Re(s) c的半平面內(nèi), F(s)為解析函數(shù).12MMectf (t)tO13說(shuō)明：由條件2可知, 對(duì)于

3、任何t值(0t0 (即b c+e = c1c), 則 | f (t)e-st| Me-et.所以注1:大部分常用函數(shù)的Laplace變換都存在(常義下);注2:存在定理的條件是充分但非必要條件. 14例3 求 f (t)=sinkt (k為實(shí)數(shù)) 的拉氏變換同理可得15例4 求的Laplace變換. 解 如果n是正整數(shù), 則有方法, 可求出當(dāng)不是正整數(shù)時(shí), 利用復(fù)變函數(shù)論的其中是G函數(shù).16設(shè)是以T 為周期的函數(shù), 即 且在一個(gè)周期內(nèi)分段連續(xù)，則 周期函數(shù)和d 函數(shù)的Laplace變換這就是周期函數(shù)的Laplace變換公式. 17例5 求全波整流函數(shù)的Laplace變換. 所以由的周期tf (

4、t)o18包含單位脈沖函數(shù)積分理解為廣義函數(shù)下如果滿足Laplace變換存在條件的函數(shù)在處有界時(shí)，積分 的下限取或不影響其結(jié)果. 如果在處的積分時(shí)，取 與是不同的. 因?yàn)?191.如果在附近有界或在通常意義下2.如果在處包含了單位脈沖函數(shù)時(shí), 則即 因此把上定義的函數(shù)延拓到上, 即 可積時(shí)，并且把Laplace變換定義為 20例6求單位脈沖函數(shù)的Laplace變換. 解因?yàn)?所以21例8.求 的Laplace變換(其中為單位階躍函數(shù)). 由Laplace變換的定義，當(dāng)時(shí)， 22常用函數(shù)的 Laplace變換 232 Laplace變換的性質(zhì)與計(jì)算 假定在這些性質(zhì)中, 凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿

5、足拉氏變換存在定理中的條件, 并且把這些函數(shù)的增長(zhǎng)指數(shù)都統(tǒng)一地取為c。在證明性質(zhì)時(shí)不再重述這些條件。242.微分性質(zhì): 此性質(zhì)可以使我們有可能將f (t)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程.特別當(dāng) 時(shí)，有25例2 求 的拉氏變換（m為正整數(shù)）。26練習(xí)： 求的Laplace變換. 解因?yàn)樗允褂猛瑯臃椒?，可?參見(jiàn)上節(jié)例3, 與這里方法不同 根據(jù) 和線性性質(zhì) 27練習(xí)：求的Laplace變換. 解根據(jù)線性性質(zhì)可得28象函數(shù)的微分性質(zhì):例： 求 (k為實(shí)數(shù)) 的拉氏變換.29例3：求的Laplace變換. 使用同樣方法，可得 根據(jù)像函數(shù)的微分性質(zhì) 303. 積分性質(zhì):例: 求 的拉氏變換.31象

6、函數(shù)積分性質(zhì): 則32例4 求函數(shù)的拉氏變換.33函數(shù)f (t-t)與f (t)相比, f (t)從t = 0開(kāi)始有非零數(shù)值.而 f (t-t)是從t =t 開(kāi)始才有非零數(shù)值. 即延遲了一個(gè)時(shí)間t. 從它的圖象講, f (t-t)是由f (t)沿 t 軸向右平移t 而得, 其拉氏變換也多一個(gè)因子e-st.Ottf(t)f(t-t)34例: 求函數(shù)的拉氏變換.1u(t-t)ttO35例: 求 的拉氏變換.36例: 求 的拉氏變換.37練習(xí)：求 和 故根據(jù)位移性質(zhì) 使用同樣方法，可得 因?yàn)?383 Laplace逆變換 前面主要討論了由已知函數(shù)f (t)求它的象數(shù)F(s), 但在實(shí)際應(yīng)用中常會(huì)碰到

7、與此相反的問(wèn)題,即已知象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù) f (t). 本節(jié)就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題. 由拉氏變換的概念可知, 函數(shù) f (t)的拉氏變換, 實(shí)際上就是 f (t)u(t)e-bt 的傅氏變換. 39因此, 按傅氏積分公式, 在f (t)的連續(xù)點(diǎn)就有等式兩邊同乘以ebt, 則40 積分路線中的實(shí)部 b 有一些隨意, 但必須滿足的條件就是e-btf (t)u(t)的0到正無(wú)窮的積分必須收斂. 計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難, 但是可以用留數(shù)方法計(jì)算.右端的積分稱為拉氏反演積分.41RO實(shí)軸虛軸LCRb+jRb-jR為奇點(diǎn)b解析4243444 卷積 1. 卷積的概念：兩個(gè)函數(shù)的卷積是指如果f1(

8、t)與f2(t)都滿足條件: 當(dāng)t0時(shí), f1(t)=f2(t)=0, 則上式可以寫(xiě)成：4546卷積定理：注：卷積公式可用來(lái)計(jì)算逆變換或卷積.47例2 48例3495 Laplace變換的應(yīng)用 對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究, 首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 也就是要建立該系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式. 所謂線性系統(tǒng), 在許多場(chǎng)合, 它的數(shù)學(xué)模型可以用一個(gè)線性微分方程來(lái)描述, 或者說(shuō)是滿足疊加原理的一類(lèi)系統(tǒng). 這一類(lèi)系統(tǒng)無(wú)論是在電路理論還是在自動(dòng)控制理論的研究中, 都占有很重要的地位. 本節(jié)將應(yīng)用拉氏變換來(lái)解線性微分方程.50微分方程的拉氏變換解法首先取拉氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程, 解代數(shù)方程求出象函數(shù), 再取逆變換得最后的解. 如下圖所示.象原函數(shù)(微分方程的解)象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程取拉氏逆變換取拉氏變換解代數(shù)方程51例1 求解 。5253例2