1、第六章 空間與圖形6.3圖形的相似中考數(shù)學(xué) (浙江專用)第1頁(yè)，共101頁(yè)。1.(2017杭州,3,3分)如圖,在ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,DEBC.若BD=2AD,則()A.=B.=C.=D.= 考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì)A組 2014-2018年浙江中考題組五年中考答案B利用平行線分線段成比例可得=,此題選B.第2頁(yè)，共101頁(yè)。2.(2016杭州,2,3分)如圖,已知直線abc,直線m分別交直線a,b,c于點(diǎn)A,B,C;直線n分別交直線a,b,c于點(diǎn)D,E,F.若=,則=()A.B.C.D.1答案Babc,=,又=,=,故選B.關(guān)鍵提示本題考查平行線分線段成比例,關(guān)鍵是找

2、準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.第3頁(yè)，共101頁(yè)。3.(2015嘉興、舟山,5,3分)如圖,直線l1l2l3,直線AC分別交l1,l2,l3于點(diǎn)A,B,C;直線DF分別交l1,l2,l3于點(diǎn)D,E,F.AC與DF相交于點(diǎn)G,且AG=2,GB=1,BC=5,則的值為()A.B.2C.D. 答案D=,故選D.第4頁(yè)，共101頁(yè)。4.(2014寧波,8,4分)如圖,梯形ABCD中,ADBC,B=ACD=90,AB=2,DC=3,則ABC與DCA的面積比為()A.23B.25C.49D. 答案CADBC,ACB=DAC.又B=ACD=90,CBAACD,=.又AB=2,DC=3,=.故選C.評(píng)析本題主要考查了三角形相似

3、的判定及性質(zhì).第5頁(yè)，共101頁(yè)。5.(2015金華,14,4分)如圖,直線l1,l2,l6是一組等距離的平行線,過直線l1上的點(diǎn)A作兩條射線,分別與直線l3,l6相交于點(diǎn)B,E,C,F.若BC=2,則EF的長(zhǎng)是. 答案5解析直線l1,l2,l6是一組等距離的平行線,=,即=.又l3l6,ABCAEF.=.BC=2,=EF=5.第6頁(yè)，共101頁(yè)。6.(2015杭州,22,12分)如圖,在ABC中(BCAC),ACB=90,點(diǎn)D在AB邊上,DEAC于點(diǎn)E.(1)若=,AE=2,求EC的長(zhǎng);(2)設(shè)點(diǎn)F在線段EC上,點(diǎn)G在射線CB上,以F,C,G為頂點(diǎn)的三角形與EDC有一個(gè)銳角相等,FG交CD于

4、點(diǎn)P.問:線段CP可能是CFG的高還是中線?或兩者都有可能?請(qǐng)說(shuō)明理由. 第7頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)因?yàn)锳CB=90,DEAC,所以DEBC,所以=.因?yàn)?,AE=2,所以=,解得EC=6.(2)如圖,若CFG1=ECD,則線段CP1為RtCFG1的FG1邊上的中線.證明:因?yàn)镃FG1=ECD,所以CFG1=FCP1,又因?yàn)镃FG1+CG1F=90,FCP1+P1CG1=90,所以CG1F=P1CG1.所以CP1=G1P1.又因?yàn)镃FG1=FCP1,所以CP1=FP1,第8頁(yè)，共101頁(yè)。所以CP1=FP1=G1P1,所以線段CP1為RtCFG1的FG1邊上的中線.若CFG2=EDC,則線

5、段CP2為RtCFG2的FG2邊上的高.證明:因?yàn)镈EAC,所以DEC=90,所以EDC+ECD=90,因?yàn)镃FG2=EDC,第9頁(yè)，共101頁(yè)。所以ECD+CFG2=ECD+EDC=90,所以CP2FG2,即CP2為RtCFG2的FG2邊上的高.當(dāng)CD為ACB的平分線時(shí),CP既是CFG的FG邊上的高又是中線 .評(píng)析本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)、直角三角形兩銳角的關(guān)系、等腰三角形的判定、分類討論思想的應(yīng)用,有一定的難度.分類討論時(shí)比較容易遺漏某種情況.第10頁(yè)，共101頁(yè)。1.(2017杭州,15,4分)如圖,在RtABC中,BAC=90,AB=15,AC=20,點(diǎn)D在邊AC上,AD

6、=5,DEBC于點(diǎn)E,連接AE,則ABE的面積等于. 考點(diǎn)二 相似圖形的判定答案78第11頁(yè)，共101頁(yè)。解析DEBC,BAC=DEC,又C=C,ABCEDC,=,在RtBAC中,AC=20,AB=15,BC=25,又AD=5,CD=15,EC=12,BE=13,SABE=SABC=1520=78.思路分析ABC的面積是很容易求出來(lái)的,只要知道BE與BC的比值即可解決問題,又BC容易求得,故將問題轉(zhuǎn)化為求BE的長(zhǎng)度,由ABCEDC可得=,從而求出EC,由此即可得出BE.第12頁(yè)，共101頁(yè)。2.(2016嘉興,15,5分)如圖,已知ABC和DEC的面積相等,點(diǎn)E在BC邊上,DEAB交AC于點(diǎn)F

7、,AB=12,EF=9,則DF的長(zhǎng)是. 答案7第13頁(yè)，共101頁(yè)。解析作AGBC于點(diǎn)G,DHBC于點(diǎn)H,DEAB,ABCFEC,=,即=,又SABC=SDEC,即BCAG=ECDH,=,=,ABDE,B=DEH,AGBC,DHBC,AGB=DHE=90,ABGDEH,=,=,即DE=16,FD=DE-FE=16-9=7.思路分析作兩三角形的高,利用面積相等及平行的條件列式求出DE長(zhǎng),進(jìn)而可得DF的長(zhǎng).第14頁(yè)，共101頁(yè)。3.(2018杭州,19,8分)如圖,在ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DEAB于點(diǎn)E.(1)求證:BDECAD;(2)若AB=13,BC=10,求線段DE的長(zhǎng)

8、. 第15頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:AB=AC,B=C,又AD為BC邊上的中線,ADBC,DEAB,DEB=ADC=90,BDECAD.(2)易知BD=BC=5,在RtADB中,AD=12,由(1)易得=,=,DE=.思路分析(1)由等腰三角形的性質(zhì),得B=C,ADBC,因?yàn)镈EAB,所以DEB=ADC,根據(jù)相似三角形的判定定理,即可解決問題.(2)利用勾股定理求出AD,再利用(1)的結(jié)論列式求解.解題關(guān)鍵本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)并靈活應(yīng)用.第16頁(yè)，共101頁(yè)。4.(2017杭州,19,8分)如圖,在銳角三角形ABC中,點(diǎn)

9、D,E分別在邊AC,AB上,AGBC于點(diǎn)G,AFDE于點(diǎn)F,EAF=GAC.(1)求證:ADEABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值. 第17頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:因?yàn)锳FDE,AGBC,所以AFE=90,AGC=90,所以AEF=90-EAF,C=90-GAC,又因?yàn)镋AF=GAC,所以AEF=C,又因?yàn)镈AE=BAC,所以ADEABC.(2)因?yàn)锳DEABC,所以ADE=B,又因?yàn)锳FD=AGB=90,所以AFDAGB,所以=,又因?yàn)锳D=3,AB=5,所以=.第18頁(yè)，共101頁(yè)。5.(2015麗水,23,10分)如圖,在矩形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),F為BE上的一點(diǎn),連

10、接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,MNCM交射線AD于點(diǎn)N.(1)當(dāng)F為BE中點(diǎn)時(shí),求證:AM=CE;(2)若=2,求的值;(3)若=n,當(dāng)n為何值時(shí),MNBE? 第19頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:F為BE中點(diǎn),BF=EF.ABCD,MBF=CEF,BMF=ECF.BMFECF(AAS).MB=CE.AB=CD,CE=DE,MB=AM.AM=CE.(2)設(shè)MB=a,ABCD,BMFECF.=2,=2.CE=2a.AB=CD=2CE=4a,AM=AB-MB=3a.=2,BC=AD=2a.MNMC,A=ABC=90,AMNBCM. =,即=.AN=a,ND=2a-a=a.=aa=3.(3)解法一:=n

11、,設(shè)MB=a,與(2)同理可得CE=na,AM=(2n-1)a,BC=2a,由AMNBCM,得AN=(2n-1)a,DN=,第20頁(yè)，共101頁(yè)。DHAM,=,DH=(2n-5)a,HE=(5-n)a.當(dāng)MNBE時(shí),四邊形MBEH是平行四邊形,(5-n)a=a,n=4.當(dāng)n=4時(shí),MNBE.解法二:=n,設(shè)MB=a,與(2)同理可得CE=na,BC=2a,當(dāng)MNBE時(shí),CMBE,可證MBCBCE,=.=,n=4.當(dāng)n=4時(shí),MNBE.思路分析(1)所證結(jié)論是相等關(guān)系,考慮證三角形全等.(2)設(shè)MB=a,利用相似三角形將AN,ND用含a的式子表示出來(lái),進(jìn)而得比值.(3)類比(2)求解.第21頁(yè)，

12、共101頁(yè)。評(píng)析本題是探究型問題,考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).6.(2014麗水、衢州,23,10分)提出問題:(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H分別在BC,AB上,若AEDH于點(diǎn)O,求證:AE=DH;類比探究:(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)H,E,G,F分別在AB,BC,CD,DA上,若EFHG于點(diǎn)O,探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;綜合運(yùn)用:(3)在第(2)問條件下,HFGE,如圖3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積. 第22頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:四邊形ABCD是正方形,AB=DA,ABE=DA

13、H=90.HAO+OAD=90.AEDH,ADO+OAD=90.HAO=ADO.ABEDAH(ASA),AE=DH.(2)EF=GH.理由如下:將FE平移到AM處,則AMEF,AM=EF.將GH平移到DN處,則DNGH,DN=GH.第23頁(yè)，共101頁(yè)。EFGH,AMDN,根據(jù)(1)的結(jié)論得AM=DN,所以EF=GH.(3)四邊形ABCD是正方形,ABCD,AHO=CGO,FHEG,FHO=EGO,AHF=CGE,又HAF=GCE=90,AHFCGE,又FHEG,=,EC=2,AF=1,過F作FPBC于點(diǎn)P,第24頁(yè)，共101頁(yè)。BP=AF=1,PF=BC=4,PE=BE-BP=1,則有EF=

14、,FHEG,=,=,根據(jù)(2)知EF=GH,FO=HO.SFOH=FO2=,第25頁(yè)，共101頁(yè)。SEOG=EO2=,陰影部分面積為SFOH+SEOG=.評(píng)析本題考查了三角形的綜合知識(shí).用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等,綜合性較強(qiáng),難度較大.第26頁(yè)，共101頁(yè)。1.(2018杭州,10,3分)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,DEBC,與邊AC交于點(diǎn)E,連接BE.記ADE,BCE的面積分別為S1,S2()A.若2ADAB,則3S12S2B.若2ADAB,則3S12S2C.若2AD2S2D.若2ADAB,則3S13S1.當(dāng)2ADAB時(shí),AE3S1;當(dāng)2ADAB時(shí),

15、AECE,S1變大,S2變小,不能確定2S2與3S1的大小關(guān)系,故選D.第28頁(yè)，共101頁(yè)。2.(2016湖州,10,3分)如圖1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如圖2,在底邊BC上取一點(diǎn)D,連接AD,使得DAC=ACD.如圖3,將ACD沿著AD折疊,使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,連接BE,得到四邊形ABED.則BE的長(zhǎng)是()A.4B.C.3D.2 第29頁(yè)，共101頁(yè)。答案B如圖,設(shè)AE與BC交于點(diǎn)O,C=.AB=AC,ABC=C=,由已知條件及折疊的性質(zhì)得1=2=3=C=,AE=AC=AB=4,CDACAB,AC2=CDCB,CD=,BD=.ADO=ADB,2=ABD,ADOBD

16、A,AD2=DODB,又AD=CD,DO=.CO=DO+CD=,BO=BC-CO=.BAE=180-4,由AE=AB得ABE=AEB,AEB=2,EAC=2,AEB=EAC,ACBE,ACOEBO,=,BE=,故選B.第30頁(yè)，共101頁(yè)。3.(2015衢州,9,3分)如圖,已知“人字梯”的5個(gè)踩檔把梯子等分成6份,從上往下的第二個(gè)踩檔與第三個(gè)踩檔的正中間處有一條60 cm長(zhǎng)的綁繩EF,tan =,則“人字梯”的頂端離地面的高度AD是()A.144 cmB.180 cmC.240 cmD.360 cm關(guān)鍵提示本題考查了等腰三角形的性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是多次運(yùn)用

17、相似求出相關(guān)線段的長(zhǎng).第31頁(yè)，共101頁(yè)。答案B如圖:根據(jù)題意可知:AFOACD,OF=EF=30 cm,=,=,CD=72 cm.tan =,=,AD=72=180(cm).故選B.思路分析在RtADC中已知tan =,根據(jù)正切函數(shù)的定義,要求AD,只需求出DC,這可由相似三角形獲得.第32頁(yè)，共101頁(yè)。4.(2018寧波,25,12分)若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形.(1)已知ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的AC的長(zhǎng);(2)如圖1,在四邊形ABCD中,ADBC,對(duì)角線BD平分ABC,BAC=ADC.求證:ABC

18、是比例三角形;(3)如圖2,在(2)的條件下,當(dāng)ADC=90時(shí),求的值. 第33頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)或或.(2)證明:ADBC,ACB=CAD,又BAC=ADC,ABCDCA, =,即CA2=BCAD.ADBC,ADB=CBD,BD平分ABC,ABD=CBD,ADB=ABD,AB=AD,第34頁(yè)，共101頁(yè)。CA2=BCAB,ABC是比例三角形.(3)如圖,過點(diǎn)A作AHBD于點(diǎn)H.AB=AD,BH=BD.ADBC,ADC=90,BCD=90,BHA=BCD=90.又ABH=DBC,第35頁(yè)，共101頁(yè)。ABHDBC,=,ABBC=DBBH,ABBC=BD2.又ABBC=AC2,BD2=A

19、C2,=.第36頁(yè)，共101頁(yè)。5.(2018湖州,23,10分)已知在RtABC中,BAC=90,ABAC,D,E分別為AC,BC邊上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),且=m,連接AE,過點(diǎn)D作DMAE,垂足為點(diǎn)M,延長(zhǎng)DM交AB于點(diǎn)F.(1)如圖1,過點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H,連接DH.求證:四邊形DHEC是平行四邊形;若m=,求證:AE=DF;(2)如圖2,若m=,求的值. 第37頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:EHAB,BAC=90,EHCA,BHEBAC,=,=,=,=,HE=DC,四邊形DHEC是平行四邊形.=,BAC=90,AC=AB,=,HE=DC,=,又BHE=90,BH=HE.第38頁(yè)，共1

20、01頁(yè)。HE=DC,BH=CD,AH=AD.DMAE,EHAB,EHA=AMF=90,HAE+HEA=HAE+AFM=90,HEA=AFD,EHA=FAD=90,HEAAFD,AE=DF.(2)過點(diǎn)E作EGAB于G,CAAB,EGCA,第39頁(yè)，共101頁(yè)。EGA=AMF=90,GEA+EAG=EAG+AFM,AFM=AEG,FAD=EGA=90,FADEGA,=.EGBCAB,=,=,=,EG=CD.設(shè)EG=CD=3x,AC=3y,由題意得BE=5x,BC=5y,BG=4x, AB=4y,第40頁(yè)，共101頁(yè)。小穎解得此題的答案為48 mm.小穎善于反思,她又提出了如下的問題:(1)如果原題

21、中所要加工的零件是一個(gè)矩形,且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成,如圖1,此時(shí),這個(gè)矩形零件的兩鄰邊長(zhǎng)又分別為多少mm?請(qǐng)你計(jì)算;6.(2014紹興,20,8分)課本中有一道作業(yè)題:第41頁(yè)，共101頁(yè)。 圖1 圖2(2)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形,如圖2,這樣,此矩形零件的兩條鄰邊長(zhǎng)就不能確定,但這個(gè)矩形面積有最大值,求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩鄰邊長(zhǎng).第42頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)設(shè)PQ=x mm,APNABC,=,=,解得x=,PN=2x=.這個(gè)矩形零件的兩鄰邊長(zhǎng)分別為 mm, mm.(2)設(shè)PQ=x mm,APNABC,=,=,解得PN=120-x,S矩形=x=-x2+

22、120 x=-(x-40)2+2 400,當(dāng)x=40,即PQ=40 mm,PN=60 mm時(shí),矩形面積最大.第43頁(yè)，共101頁(yè)。1.(2017四川成都,8,3分)如圖,四邊形ABCD和ABCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,若OAOA=23,則四邊形ABCD與四邊形ABCD的面積比為()A.49B.25C.23D. B組 2014-2018年全國(guó)中考題組考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì)答案A由位似圖形的性質(zhì)知=,所以=.故選A.第44頁(yè)，共101頁(yè)。2.(2015山東聊城,7,3分)下列命題中的真命題是()A.兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等B.相似三角形的面積比等于相似比C.正方形不是中心對(duì)稱

23、圖形D.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)答案DA項(xiàng),在兩邊和一角中,當(dāng)角為兩邊中一邊的對(duì)角時(shí),這兩個(gè)三角形不一定全等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B項(xiàng),相似三角形面積比等于相似比的平方,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C項(xiàng),正方形是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D項(xiàng),圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),故本選項(xiàng)正確.故選D.第45頁(yè)，共101頁(yè)。3.(2015甘肅蘭州,17,4分)如果=k(b+d+f0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=.答案3解析由題意可得=k,則a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故k=3.第46頁(yè)，共101頁(yè)。4.(2014湖北武漢,24,8分)如圖,RtABC中,ACB=90,AC=6 cm,BC=8 c

24、m,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0t2),連接PQ.(1)若BPQ與ABC相似,求t的值;(2)連接AQ、CP,若AQCP,求t的值;(3)試證明:PQ的中點(diǎn)在ABC的一條中位線上. 第47頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)由題意知,BP=5t cm,CQ=4t cm,BQ=(8-4t)cm.在RtABC中,AB=10 cm.當(dāng)PBQABC時(shí),有=,即=,解得t=1.當(dāng)QBPABC時(shí),有=,即=,解得t=.PBQ與ABC相似時(shí),t=1或.(2)如圖,過點(diǎn)P作PDBC于D.依題意,得B

25、P=5t cm,CQ=4t cm.則PD=PBsin B=3t cm,BD=4t cm,CD=(8-4t)cm.AQCP,ACB=90,tanCAQ=tanDCP.=.=,t=.第48頁(yè)，共101頁(yè)。(3)證明:如圖,過點(diǎn)P作PDAC于D,連接DQ、BD,BD交PQ于M,則PD=APcosAPD=APcosABC=(10-5t)=(8-4t)cm.而BQ=(8-4t)cm,PD=BQ,又PDBQ,四邊形PDQB是平行四邊形.點(diǎn)M是PQ和BD的中點(diǎn).過點(diǎn)M作EFAC交BC,BA于E,F兩點(diǎn).則=1,即E為BC的中點(diǎn).同理,F為BA的中點(diǎn).PQ的中點(diǎn)M在ABC的中位線EF上. 第49頁(yè)，共101頁(yè)

26、。1.(2015四川綿陽(yáng),12,3分)如圖,D是等邊ABC邊AB上的一點(diǎn),且ADDB=12,現(xiàn)將ABC折疊,使點(diǎn)C與D重合,折痕為EF,點(diǎn)E、F分別在AC和BC上,則CECF=()A.B.C.D. 考點(diǎn)二 相似圖形的判定第50頁(yè)，共101頁(yè)。答案B設(shè)等邊ABC的邊長(zhǎng)為3,則AD=1,BD=2,由折疊的性質(zhì)可知C=EDF=60,EDA+FDB=120,在AED中,A=60,AED+ADE=120,AED=BDF,又A=B,AEDBDF,=,又CE=DE,CF=DF,=,=,可得2CE=3CF-CECF,CF=3CE-CECF,2CE-3CF=CF-3CE,=.故選B.第51頁(yè)，共101頁(yè)。2.(

27、2014貴州貴陽(yáng),7,3分)如圖,在方格紙中,ABC和EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,要使ABCEPD,則點(diǎn) P所在的格點(diǎn)為()A.P1B.P2C.P3D.P4 答案C設(shè)方格紙中各小正方形的邊長(zhǎng)為1.由題圖可知,E=A=90,要使ABCEPD,則=2,所以EP=2AB=6,點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為P3,故選C.評(píng)析本題考查相似三角形的判定,設(shè)計(jì)巧妙,屬容易題.第52頁(yè)，共101頁(yè)。3.(2015山東臨沂,18,3分)如圖,在ABC中,BD,CE分別是邊AC,AB上的中線,BD與CE相交于點(diǎn)O,則=. 答案2解析連接DE,BD,CE是AC,AB邊上的中線,DE為ABC的中位線,DE=BC,DEBC,OBCODE

28、,=2.第53頁(yè)，共101頁(yè)。(2014北京,10,4分)在某一時(shí)刻,測(cè)得一根高為1.8 m的竹竿的影長(zhǎng)為3 m,同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影長(zhǎng)為25 m,那么這根旗桿的高度為m.考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用答案15解析設(shè)旗桿的高度為x m,則=,解得x=15.即旗桿的高度為15 m.第54頁(yè)，共101頁(yè)。1.(2015甘肅蘭州,5,4分)如圖,線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(1,2)、D(2,0),以原點(diǎn)為位似中心,將線段CD放大得到線段AB,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6)C組 教師專用題組考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì)答案B設(shè)點(diǎn)A的

29、坐標(biāo)為(x,y),由位似圖形的性質(zhì)知,=,得x=2.5,y=5,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2.5,5).故選B.第55頁(yè)，共101頁(yè)。2.(2014湖北武漢,6,3分)如圖,線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,6)、B(8,2),以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來(lái)的后得到線段CD,則端點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(4,1)答案A線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,6)、B(8,2),以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來(lái)的后得到線段CD,端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3).故選A.評(píng)析本題主要考查位似圖形的性質(zhì),屬容易題.第56頁(yè)，共101頁(yè)。3.

30、(2014遼寧沈陽(yáng),8,3分)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2AD,DEBC交AC于點(diǎn)E,若線段DE=5,則線段BC的長(zhǎng)為()A.7.5B.10C.15D.20答案C由題意可得ADEABC,相似比為,所以BC=3DE=15,故選C.評(píng)析本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),屬容易題.第57頁(yè)，共101頁(yè)。4.(2015遼寧沈陽(yáng),14,4分)如圖,ABC與DEF位似,位似中心為點(diǎn)O,且ABC的面積等于DEF面積的,則ABDE=. 答案23解析ABC與DEF位似,ABCDEF,=.SABC=SDEF,=.=,=(舍負(fù)),即ABDE=23.第58頁(yè)，共101頁(yè)。5.(2015天津,16,3分)如

31、圖,在ABC中,DEBC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,則DE的長(zhǎng)為. 答案 解析DEBC,=,=,=,DE=.評(píng)析本題考查平行線分線段成比例定理.由DEBC可得=,從而可計(jì)算出DE的長(zhǎng).第59頁(yè)，共101頁(yè)。1.(2014河北,13,3分)在研究相似問題時(shí),甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下:對(duì)于兩人的觀點(diǎn),下列說(shuō)法正確的是()A.兩人都對(duì) B.兩人都不對(duì)C.甲對(duì),乙不對(duì)D.甲不對(duì),乙對(duì)考點(diǎn)二 相似圖形的判定答案A由題意知新三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)角相等,所以兩個(gè)三角形相似,甲的觀點(diǎn)正確;新矩形與原矩形的對(duì)應(yīng)角相等,但對(duì)應(yīng)邊的比并不相等,所以新矩形與原矩形不相似,乙的觀點(diǎn)也正確

32、,故選A.第60頁(yè)，共101頁(yè)。2.(2016陜西,17,5分)如圖,已知ABC,BAC=90.請(qǐng)用尺規(guī)過點(diǎn)A作一條直線,使其將ABC分成兩個(gè)相似的三角形.(保留作圖痕跡,不寫作法) 解析如圖,直線AD即為所作.(5分) 第61頁(yè)，共101頁(yè)。1.(2015江蘇連云港,25,10分)如圖,在ABC中,ABC=90,BC=3,D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AC=3CD.過點(diǎn)D作DHAB,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.(1)求BDcosHBD的值;(2)若CBD=A,求AB的長(zhǎng). 考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用第62頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)DHAB,BHD=ABC=90,又ACB=DCH,ABCDHC,=.AC=3CD

33、,BC=3,CH=1.BH=BC+CH=4.在RtBHD中,cosHBD=,BDcosHBD=BH=4.(4分)(2)解法一:A=CBD,ABC=BHD,ABCBHD.(6分)=.ABCDHC,=,AB=3DH.=,DH=2,AB=6.(10分)第63頁(yè)，共101頁(yè)。解法二:CBD=A,BDC=ADB,CDBBDA.=,BD2=CDAD,BD2=CD4CD=4CD2.BD=2CD.(6分)CDBBDA,=,=,AB=6.(10分)第64頁(yè)，共101頁(yè)。2.(2015江蘇南京,20,8分)如圖,ABC中,CD是邊AB上的高,且=.(1)求證:ACDCBD;(2)求ACB的大小. 第65頁(yè)，共10

34、1頁(yè)。解析(1)證明:CD是邊AB上的高,ADC=CDB=90.又=,ACDCBD.(4分)(2)ACDCBD,A=BCD.在ACD中,ADC=90,A+ACD=90,BCD+ACD=90,即ACB=90.(8分)第66頁(yè)，共101頁(yè)。(2016杭州濱江二模,8)有兩個(gè)相似三角形,它們的周長(zhǎng)分別是36和12,周長(zhǎng)較大的三角形的最大邊長(zhǎng)為15,周長(zhǎng)較小的三角形的最小邊長(zhǎng)為3,則周長(zhǎng)較大的三角形的面積是()A.52B.54C.56D.58考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì)三年模擬A組 20162018年模擬基礎(chǔ)題組答案B兩相似三角形的周長(zhǎng)分別是36和12,相似比為31.周長(zhǎng)較大的三角形的最大邊長(zhǎng)為15,

35、周長(zhǎng)較小的三角形的最小邊長(zhǎng)為3,周長(zhǎng)較大的三角形的最小邊長(zhǎng)為9,周長(zhǎng)較小的三角形的最大邊長(zhǎng)為5,周長(zhǎng)較大的三角形的第三條邊長(zhǎng)為12,92+122=152,兩個(gè)三角形均為直角三角形,周長(zhǎng)較大的三角形的面積=912=54,故選B.第67頁(yè)，共101頁(yè)。1.(2016寧波北侖一模,16)在ABC中,D,E分別在邊AB、AC上,AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,要使ADE與ABC相似,則線段AE的長(zhǎng)為cm.考點(diǎn)二 相似圖形的判定答案4或 第68頁(yè)，共101頁(yè)。解析分兩種情況討論:當(dāng)ADEABC時(shí),如圖,有=.AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,AE= cm.當(dāng)ADEACB時(shí),

36、如圖,有=.AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,AE=4 cm.綜上,AE=4 cm或 cm.第69頁(yè)，共101頁(yè)。2.(2018杭州名校二模,19)如圖,在ABC中,AD是BAC的平分線,點(diǎn)E在邊AC上,且AD2=AEAB,連接DE.(1)求證:ABDADE;(2)若CD=3,CE=,求AC的長(zhǎng).第70頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:AD平分BAC,BAD=CAD.又AD2=AEAB,=,ABDADE.(2)ABDADE,ADB=AED.EDC=180-(ADB+ADE)=180-(AED+ADE)=DAC,且C=C,CEDCDA,=,CD2=ECCA,AC=4.第71頁(yè)，共10

37、1頁(yè)。1.(2018濱江二模,10)如圖,ABCDBE,延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)P.若DEB=45,AC=2,DE=,BE=1.5,則tanDPC=()A.B.2C.D. 考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用答案BABCDBE,=,ACB=DEB=45.又AC=2,DE=,BE=1.5,BC=3.過點(diǎn)A作AHBC于點(diǎn)H.第72頁(yè)，共101頁(yè)。ACH=45,AH=CH=ACsinACH=2=2,BH=BC-CH=3-2=1.ABCDBE,ABC=DBE,=,ABD=CBE.ABDCBE,BAD=BCE.又AOB=COP,DPC=ABC,tanDPC=tanABC=2.故選B.方法與策略1.要想到把DPC放在直角三角

38、形中解決,所以構(gòu)造直角三角形并將DPC轉(zhuǎn)化到RtABH中.2.由已知的相似推導(dǎo)出另一對(duì)三角形相似,從而把所求的角轉(zhuǎn)化到已知的直角三角形中,問題就解決了.第73頁(yè)，共101頁(yè)。2.(2018麗水二模)如圖,已知銳角ABC,AD、CE分別是BC、AB邊上的高.(1)求證:ABDCBE;(2)若ABC和BDE的面積分別是20和5,DE=2,求點(diǎn)B到直線AC的距離. 第74頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:ADBC于點(diǎn)D,CEAB于點(diǎn)E,CEB=ADB=90,B=B,ABDCBE.(2)由(1)知ABDCBE,=.B=B,BEDBCA,=.ABC和BDE的面積分別為20和5,DE=2,AC=4,點(diǎn)B到直

39、線AC的距離為=5.第75頁(yè)，共101頁(yè)。1.(2017杭州西湖一模,8)如圖,BD是ABC的角平分線,點(diǎn)E,F分別在BC,AB上,且DEAB,DEF=A,EF與BD交于點(diǎn)M,以下結(jié)論:BDE是等腰三角形;四邊形AFED是菱形;BE=AF;若AFBF=34,則DEM的面積BAD的面積=949,其中正確的是()A.B.C. D.B組20162018年模擬提升題組(時(shí)間:55分鐘分值:80分)一、選擇題（每小題3分，共12分）第76頁(yè)，共101頁(yè)。答案BDEAB,BD平分ABC,ABD=BDE=DBE,BDE是等腰三角形,正確.四邊形AFED是平行四邊形,不一定是菱形,錯(cuò)誤.BE=ED=AF,正確

40、.ABDEDM,=,正確.故選B.2.(2017溫州七校聯(lián)考,9)如圖,ABC中,D、E兩點(diǎn)分別在BC、AD上,且AD平分BAC,若ABE=C,ADED=31,則BDE與ADC的面積比為()A.1645B.29C.19D.13第77頁(yè)，共101頁(yè)。答案BADED=31,AEAD=23,ABE=C,BAE=CAD,ABEACD,SABESACD=49,SACD=SABE,AEED=21,SABESBED=21,SABE=2SBED,SACD=SABE=SBED,SBDE與SADC的比為29.第78頁(yè)，共101頁(yè)。3.(2016寧波慈溪一模,9)如圖,在ABC中,DEBC,且=,則S四邊形DBCE

41、SABC=()A.14B.19C.34D.89答案DD、E分別是ABC的AB、AC邊上的點(diǎn),DEBC,ADEABC.AEEC=12,AEAC=13,SADESABC=19,=.故選D.第79頁(yè)，共101頁(yè)。4.(2016杭州蕭山一模,1)下列判斷不正確的是()A.所有等腰直角三角形都相似B.所有直角三角形都相似C.所有正六邊形都相似D.所有等邊三角形都相似答案B兩個(gè)直角三角形的銳角不一定對(duì)應(yīng)相等,所以兩個(gè)直角三角形不一定相似,故選項(xiàng)B不正確,故選B.第80頁(yè)，共101頁(yè)。5.(2018舟山二模,8分)如圖,在ABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上,DEF=B.(1)求證:

42、BDECEF;(2)若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),=,EF=6,求CF.二、解答題（共68分）第81頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:AB=AC,B=C.BDE=180-B-DEB,CEF=180-DEF-DEB,DEF=B,BDE=CEF,BDECEF.(2)BDECEF,=,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),BE=CE,=,DEF=B=C,DEFECF,第82頁(yè)，共101頁(yè)。=,EF=6,CF=4.6.(2018奉化一模,8)如圖,在ABC中,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),AB=AD=BD,過點(diǎn)D作DEAB交AC于點(diǎn)F,且CAE=60,連接AE交BC于點(diǎn)G.(1)求證:AEDCAD;(2)若AB=2,求DECD的值. 第83頁(yè)，

43、共101頁(yè)。解析(1)證明:AB=AD=BD,ABD是等邊三角形,BAD=ABD=ADB=60,ADC=BAD+ABD=120,DEAB,FDC=ABC=GDE=60,BAE=AED,BAD=CAE=60,BAE=BAD-EAD=EAF-EAD=DAF,ADE=ADB+BDE=60+60=120=ADC,又DAF=AED,AEDCAD.(2)由(1)得,AEDCAD,則=,即AD2=EDCD,AB=AD=2,DECD=AB2=(2)2=12.第84頁(yè)，共101頁(yè)。7.(2018金華二模)如圖,在RtABC中,BAC=90,D,E兩點(diǎn)分別在BC,AD上,AD平分BAC,ABE=C.(1)求證:A

44、BEACD;(2)若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),BC=5,求BDE的面積.第85頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:AD平分BAC,BAE=DAC,ABE=C,ABEACD.(2)由(1)得ABEACD,=,即AC=2AB,BAC=90,AB=,AC=2.ABC中,設(shè)BC邊上的高為h,則ABAC=BCh,解得h=2,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),在BDE中,BD邊上的高為h=1.如圖,過點(diǎn)D作DFAC于點(diǎn)F,設(shè)AF=x,BAC=90,AD平分BAC,第86頁(yè)，共101頁(yè)。DAC=45,DF=AF=x,CF=2-x,易得DFAB,=,即=,解得x=,=,=,BD=BC=,SBDE=BDh=1=.第87頁(yè)，共101頁(yè)。8.

45、(2017杭州上城一模,23)從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們就把這條線段叫做這個(gè)三角形的優(yōu)美線.(1)在ABC中,AD為角平分線,B=50,C=30,求證:AD為ABC的優(yōu)美線;(2)在ABC中,B=46,AD是ABC的優(yōu)美線,且ABD是以AB為腰的等腰三角形,求BAC的度數(shù);(3)在ABC中,AB=4,AC=2,AD是ABC的優(yōu)美線,且ABD是等腰三角形,求優(yōu)美線AD的長(zhǎng).第88頁(yè)，共101頁(yè)。解析(1)證明:如圖,B=50,C=30,BAC=180-B-C=10

46、0,AD平分BAC,BAD=DAC=50,B=BAD=50,DB=DA,ABD是等腰三角形,C=C,DAC=B=50,第89頁(yè)，共101頁(yè)。CADCBA,線段AD是ABC的優(yōu)美線.(2)由題意知CADCBA,且等腰ABD中,AB=AD或AB=BD.若AB=AD,則B=ADB=CAD,則ACBC,不符合題意,AB=BD,又B=46,BAD=BDA=67,CAD=B=46,BAC=67+46=113.(3)由題意知CADCBA.當(dāng)AD=BD時(shí),CADCBA,=,設(shè)BD=AD=x,CD=y,=,第90頁(yè)，共101頁(yè)。解得x=,y=,AD=.當(dāng)AB=BD=4時(shí),設(shè)AD=x,CD=y,由=,可得=,解得y=-2+2,x=4-4,AD=4-4.當(dāng)AB=AD時(shí),顯然不可能.綜上所述,AD=或4-4.第91頁(yè)，共101頁(yè)。9.(2017杭州拱墅二模,22)如圖,G,H分別為ABCD的邊AB,AD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn),GH分別交BC,CD