1、第六章 不等式、推理與證明深研高考備考導(dǎo)航五年考情為教師備課、授課提供豐富教學(xué)資源考點(diǎn)2021 年2021 年2021 年2021 年2021 年不等關(guān)系與/、等式全國卷I T8一一一一不等式的證明全國卷I T21全國卷n T21全國卷m T21一全國卷I T21全國卷n T17一一根本不等式一一全國卷I T24全國卷n T24全國卷n T17一一Tt 二次不等式及其解法全國卷I T1全國卷m T1一全國卷I T1全國卷n T1全國卷I T1全國卷n T1一簡單線性規(guī)劃全國卷I T16全國卷m T13全國卷I T15全國卷 H T14全國卷I T9全國卷n T9全國卷n T9全國卷T14合情推

2、理與演繹推理一一全國卷I T14全國卷I T12一直接證明與間接證明全國卷I T18全國卷I T20全國卷n T19全國卷n T21全國卷I T18全國卷 H T20全國卷n T18全國卷I T18 全國卷n T18 全全國卷T19全國卷m T17全國卷m T19全國卷m T21國卷R T21數(shù)學(xué)歸納法一一一一一重點(diǎn)關(guān)注.從近五年全國卷高考試題來看，涉及本章知識的既有客觀題，又有解答題.客觀題主要考察不等關(guān)系與不等式，一元二次不等式的解法，簡單線性規(guī)劃， 合情推理與演繹推理，解答題主要考察不等式的證明、根本不等式與直接證明.不等式具有很強(qiáng)的工具性，應(yīng)用十分廣泛，推理與證明貫穿于每一個章 節(jié)，因

3、此，不等式往往與集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、數(shù)列交匯考察，對于證明， 主要表達(dá)在不等式證明和不等式包成立證明以及幾何證明.從能力上，突出對函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想的考 察.導(dǎo)學(xué)心語.加強(qiáng)不等式根底知識的復(fù)習(xí). 不等式的根底知識是進(jìn)展推理和解不等式 的理論依據(jù)，要弄清不等式性質(zhì)的條件與結(jié)論；一元二次不等式、根本不等式是 解決問題的根本工具；如利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，常常歸結(jié)為解一元二次不等 式問題.強(qiáng)化推理證明和不等式的應(yīng)用意識. 從近年命題看，試題多與數(shù)列、函 數(shù)、解析幾何交匯滲透，對不等式知識、方法技能要求較高.抓好推理論證，強(qiáng) 化不等式的應(yīng)用訓(xùn)練是提高解綜合問題的關(guān)鍵.重視數(shù)

4、學(xué)思想方法的復(fù)習(xí).明確不等式的求解和推理證明就是一個把條 件向結(jié)論轉(zhuǎn)化的過程；加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練，不等式、函 數(shù)與方程三者密不可分，相互轉(zhuǎn)化.第一節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式考綱 1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式 （組）的實 際背景2會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型 .3.通過函數(shù)圖像了解一元 二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的算法框圖.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)I雙感自主測利知識梳理.實數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系ab? a-b0;(2)a=b? ab = 0；(3)ab? abb?

5、bb, bc? ac；(單向性)可加性：ab? a+cb+c；(雙向性)ab, cd? a+ cb+d；(單向性)可乘性：ab, c0? acbc；ab, c0? acb0, cd0? acbd ；(單向性)(5)乘方法那么：ab0? anbn(n2, nCN);(單向性)(6)開方法那么：ab0? n/anb(n2, nC N)；(單向性)1 1 一，倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab0,那么a1.(雙向性) a b3. 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式A= b2 4ac20A= 0&0二次函數(shù)y=ax2 + bx+ c (a0)的圖像y一J0一二次方程ax2+ bx+ c=0 (a0

6、)啟兩相異實根X1,啟兩相等實根X1b= x2=-2a沒有實數(shù)根的根學(xué)情自測 TOC o 1-5 h z .(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯誤的打x)ab? ac2bc2.()_ a bab0, cd0? 1/)(3)假設(shè)不等式ax2+bx+c0.()(4)假設(shè)方程ax2+bx+ c= 0(a*0)沒有實數(shù)根，那么不等式 ax2+bx+c0的解集為R.()答案(1)X ，X.(教材改編)以下四個結(jié)論，正確的選項是()ab, cb d；ab0, cdbd；ab0? 3/a3/b；ab0?亞，.A .B .C .D.D 利用不等式的同向可加性可知 正確；對于，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知一

7、 一 .一一 1 acb031 1可知a2b20,所以/b,那么以下不等式包成立的是（）【導(dǎo)學(xué)號:57962268】A. a2b2B. b1C. 2a2bD. lg（a b）0C 取 a= 1, b= 2,排除 A, B, D.應(yīng)選 C.（2021廣東高考）不等式x2 3x+ 40的解集為:（用 區(qū)間表示）（4,1）由一x23x+40 得 x2+3x 40,解得一4x0 的解集為（一4,1）.假設(shè)不等式mx2 + 2mx+ 10的解集為R,那么m的取值范圍是.【導(dǎo)學(xué)號:57962269】0,1）當(dāng)m=0時，10顯然成立；m0,當(dāng)mw0時，由條件知 2得0m1,A= 4m2 4m0,由知0&my

8、0,那么（）A. 01 ic. 1x- 2 y0D . In x+ In y0(2)函數(shù) f(x)=ax2+bx,且 1&f(一1戶2,2&f(1)&4,求 f( 2)的取值范圍.,1 x1 x 1 y 讖 1(1)C 函數(shù)y= 2在(0, +0)上為減函數(shù)，當(dāng)xy0時，2 2，即Q；y0? -1?-2xx y x yy0時，不能比擬sin x 與 sin y 的大小，故 B 錯誤；xy0? xy0? / ln(xy)0? / ln x+ln y 0,故 D 錯 誤.(2)由題意知 f(1)=a b, f(1)=a+b,f( 2)=4a 2b.設(shè) m(a+b)+n(ab) = 4a 2b,那么

9、m+ n = 4,m n = - 2,m= 1, 解得n = 3,10分12分a2b2f(2)= (a+b)+ 3(a- b) = f(1) + 3f( 1).v 1f(-1)2,2 f(1)4,.5f(-2) 10,即f(2)的取值范圍為5,10.規(guī)律方法1.對于不等式的常用性質(zhì)，要弄清其條件和結(jié)論，不等式性質(zhì) 包括“單向性和“雙向性兩個方面，單向性主要用于證明不等式，雙向性是 解不等式的依據(jù)，因為解不等式要求的是同解變形.判斷多個不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明.由af(x, y)b, cg(x, y)d求F(x, y)的取值范圍,要利用待定系數(shù)法 解決，即設(shè)F(x, y)

10、= mf(x, y)+ng(x, y),用恒等變形求得m, n,再利用不等式 的性質(zhì)求得F(x, y)的取值范圍.變式訓(xùn)練1 (1)(2021河南六市2月模擬)假設(shè)110,那么以下結(jié)論不正 a b確的選項是()Ab2a+b|a+ b|(2)1x+y4,2x y3，求 3x+ 2y 的取值范圍.(1)D 由題可知 ba0,所以 A, B, C 正確，而 |a| + |b|= a b=|a+b|, 故D錯誤，選D.(2)設(shè) 3x+ 2y = m(x+ y) + n(x y),m+n = 3,m n = 2,5 m=23分1n=2，51即 3x+2y= /+ y)+2(x-y),又一1x + y4,

11、2x-y3,5 513. 一 22(x+ y)10,12(x- y)2,.3 5 , x , 1 、坦一一22僅+ y)+2(xy)2 即一23x+ 2y0;(2)x2 (a+ 1)x+a0.解(1)原不等式化為x2-2x-30,即(x 3)(x+1)0,故所求不等式的解集為x| 1 & x0 3. 6分(2)原不等式可化為(x-a)(x-1)1時，原不等式的解集為(1, a);當(dāng)a=1時，原不等式的解集為？；當(dāng)a1時，原不等式的解集為(a,1).12分遷移探究將(2)中不等式改為ax2-(a+1)x+ 10,求不等式的解集.解假設(shè)a = 0,原不等式等價于x+ 11. TOC o 1-5 h

12、 z ， 一一一，一1假設(shè)a0,一 1 ,、八解彳#x1.3分a， 一一一，一1假設(shè)a0,原不等式等價于ax-a(x1)0.當(dāng) a=1 時，1=1, a x- 1(x1)1 時，11, a 解 x3 (x1)0 得x1 ； aaa當(dāng) 0a1,解 ax2(x 1)0 得 1x1.10 分a ，aa1 ,、綜上所述：當(dāng)a0時，解集為x x1 ；a當(dāng)a=0時，解集為x|x1；當(dāng)0a1時，解集為x 1x1時，解集為x 1x0的解集是x| 1x：,那么不等式x2bxa0的解集是()23A. x|2x31C. x| 3x2B. x|x31e 1D . x| x2 TOC o 1-5 h z B .不等式

13、ax2 bx 10 的解集是 x| x ：,231 一1 一ax2 bx 1= 0 的解是 x1 二 與和 x2= 萬，且 a0,解得x02或x3.I考向31?角度1形如f(x)0(xC R)求參數(shù)的范圍卜例ESI (2021甘肅白銀會寧一中月考)不等式(a 2)x2 + 2(a2)x 40對一切x C R包成立，那么實數(shù)a的取值范圍是.【導(dǎo)學(xué)號：57962270】(2,2當(dāng)a 2 = 0,即a=2時，不等式即為一40,對一切x R包成立,當(dāng)aw2時，那么有a-20,-4 a-2 2+ 16a 2 0,a2,-2a2,- 2a0(x a, b)求參數(shù)的范圍例6&設(shè)函數(shù) f(x)= mx2 mx

14、xC 1,3, f(x) m+5 恒成立，求 m 的取值 范圍.1 2 3.解 要使f(x)-m+5在xC 1,3上恒成立，即 mx- +m60時，g(x)在1,3上是增函數(shù),所以 g(x)max= g(3)? 7m-60,6;Vmo當(dāng)m= 0時，- 60恒成立；當(dāng)m0時，g(x)在1,3上是減函數(shù),所以 g(x)max= g(1)? m60,所以 m6,所以 m0.6 TOC o 1-5 h z 綜上所述：m的取值氾圍是 m m0,26.又因為 m(x -x+ 1)-60,所以 mx2_x+1.7分因為函數(shù)v= 丁_64 = 62在1,3上的最小值為6,所以只需m6即 x xi 1377x-

15、2 +4可.所以m的取值范圍是m m6 .12分?角度3 形如f(x)0(參數(shù)mC a, b)求x的范圍對任意的kC 1,1,函數(shù)f(x) = x2+ (k 4)x+ 4- 2k的值恒大于零,那么x的取值范圍是.x|x3x2+(k4)x+4 2k0 包成立,即 g(k) = (x2)k+(x2 4x+ 4)0,在k 1,1時恒成立.x2 5x+ 60, 只需 g(1)0 且 g(1)0,即 x2_3x+ 20解彳3x3.規(guī)律方法1.解決包成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地, 知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).2.對于一元二次不等式包成立問題，恒大于 0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像 在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的 區(qū)間上全部在x軸下方，另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用別離參數(shù)法求最 化名嬸微博,思想與方法.倒數(shù)性質(zhì)，假設(shè)ab0,那么ab? 10, 水0.a= b= 0.不等式ax2 + bx+ c0對任意實數(shù)x包成立？c0,不等式ax2+bx+ c0對任意實數(shù)x包成立？a= b= 0, c0,a0,k0. “三個二次的關(guān)系是解一元二次不等式的理論根底，一般可把a(bǔ)0時的情形.解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進(jìn)展分 類