1、線性代數(shù)輔導東南大學數(shù)學系20XX年11月目 錄第一部分 行列式第二部分 矩陣的運算第三部分 矩陣的初等變換和矩陣的秩第四部分 向量組的線性相關性和向量組的秩第五部分 線性方程組第六部分 相似矩陣和矩陣的特征值、特征向量第七部分 實對稱矩陣和二次型第八部分 空間解析幾何第一部分 行列式定義1定義 設，則是項代數(shù)和；不同行，不同列；正、負號。是不是4階行列式中展開式中的項，正、負號是什么？不是中的系數(shù)。2注：（1）. 對角線法則一般地不再成立。舉例。 （2）. 記住上、下三角陣的行列式。性質(zhì)性質(zhì)行列式的基本性質(zhì)；按行（列）展開；乘法定理。需記住的結(jié)果：Vandermonde行列式；分塊上、下三角

2、陣的行列式。例：已知，求?！纠?】已知。求。注：矩陣的加法、數(shù)乘之后的行列式；容易出現(xiàn)的錯誤：；;分塊矩陣的行列式.計算典型方法：化成低階行列式；化成三角形行列式。注：很少直接用定義計算；應先化簡，后計算。例【例5】 ；【例6】 ； 【例7】 ，均不為零；【例8】 ；【例9】；【例10】；第二部分 矩陣的運算矩陣的乘法運算規(guī)律【例1】，?！纠?】假設是維非零列向量，。證明：是對稱矩陣，且。應當注意的問題矩陣記號與行列式記號的差別；單位矩陣（用或表示）的每個元素都等于1嗎？ 不是矩陣乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立；【例3】 ?！纠?】 滿足滿足什么條件時，由就能推出？ 矩陣乘法不可交換

3、，因而一些代數(shù)恒等式不再成立?！纠?】平方差公式?！纠?】二項式定理?！纠?】設，求?！纠?】與對角陣可交換的矩陣是否一定是對角陣？不一定，任意方陣與單位陣都是可交換的?？赡婢仃嚳赡娴臈l件行列式不為零；秩等于階數(shù)；存在另一矩陣使它們的乘積是單位陣；特征值全不為零。逆矩陣的計算利用伴隨矩陣：一般只對低階矩陣，如二階矩陣用這種方法。但要注意二階矩陣的伴隨矩陣是如何定義的。利用初等變換：要注意避免過繁的運算?！纠?】求矩陣的逆矩陣 重要性質(zhì)，如可逆矩陣肯定不是零因子；對于方陣，若存在矩陣使得，則是可逆的，且；?！纠?0】已知，證明是可逆的，并求其逆?！纠?1】已知。證明：可逆，并求；可逆，并求其逆；

4、【問題】：假設階矩陣滿足。證明矩陣及均可逆，并分別求及；證明：若，矩陣肯定不可逆。伴隨矩陣定義；如求矩陣的伴隨矩陣；若可逆，則?！纠?2】已知，求?！纠?3】假設，證明。矩陣方程 各種類型的矩陣方程，正確化簡成標準形式，正確求解。 標準形式的矩陣方程的求解可以先求逆矩陣，再求乘積得解，或直接有初等變換求解?？梢赃M行驗算！ 【例14】設矩陣，矩陣滿足，求。 矩陣的分塊運算分塊矩陣的乘法規(guī)則的成立是有條件的：小矩陣間的運算要有意義，或左邊的因子的列的分法與右邊的因子的行的分法一致；【例15】求?！纠?6】已知矩陣，其中是可逆矩陣，求。 注意：不能濫用分塊。如：行列式；伴隨矩陣等。第三部分 矩陣的初

5、等變換和矩陣的秩概念討論什么問題可以用初等行、列變換。有時只能用行變換，不能用列變換；求相抵標準型要同時用初等行、列變換。解方程組，求逆矩陣，求極大無關組都只能用初等行變換，不能用列變換。行向量組等價的矩陣一定是等價的。等價的矩陣的行向量組等價嗎？等價的矩陣的行向量組不一定等價，因為等價的矩陣可能做了初等列變換。討論矩陣的秩初等變換與矩陣乘法 初等變換與初等矩陣的乘積；【例2】已知可逆，交換其第一、三兩行的得矩陣，求。 矩陣的等價標準形； 若，則一定存在可逆矩陣，使得。證明矩陣的滿秩分解定理，分解成秩為1的矩陣的和。用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣，解矩陣方程。矩陣的運算與秩（1）（2）（3）（4

6、）若，則 【例4】假設滿足，證明：。 【例5】假設是矩陣，且。若，則必有。 【例6】假設，是矩陣。證明。 第四部分 向量組的線性相關性和向量組的秩什么叫線性相關、線性無關？什么叫向量組的極大無關組，秩？重要結(jié)論。定義；簡單性質(zhì)：含零向量的向量組一定線性相關等；兩個向量線性相關當且僅當其分量成比例；問題：如果三個向量中的任意兩個向量的分量都不成比例，是否線性無關？不一定，可能有某一行可以由其他兩行線性表示。向量組的秩與矩陣的秩的關系；定理：時，線性相關存在某個使得可以由其余 個向量線性表示。定理：若線性無關，線性相關，則可以由線性表示。定理：若可以由線性表示，且，則線性相關。定理：線性無關。定理

7、：假設向量組線性無關，并且， 記。則線性無關可逆；如何判別？線性表示， 線性相關性 【例1】 設向量，. 問：當參數(shù)滿足什么條件時1能用線性表示？2不能用線性表示？ 【例2】已知向量組，之間有關系： ， 證明：肯定線性相關.【例3】求，使得向量組線性相關?！纠?】設是齊次線性方程組的線性無關的解向量，不是其解向量。證明：也線性無關.設線性無關， ，。問：滿足什么條件時線性無關？極大無關組和秩定理：如果可以由線性表示，則定理：如果，則中任意個線性無關的向量都是其一極大無關組。若向量組，則當參數(shù)取什么值時，線性相關；這時求這個向量組的一個極大無關組。求給定向量組的極大無關組 （3）注意辨別對錯【例

8、7】若線性相關，則可由線性表示？錯，不一定 【例8】若有全為零的數(shù)使得，則線性無關。錯，不一定 向量空間 第五部分 線性方程組解的存在性、唯一性 （1）有解；（2）若，則有唯一解；（3）若，則的通解中含有個自由未知量。 解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組 有非零解的充分必要條件是。解的結(jié)構(gòu)若，則的基礎解系中含個解向量；若，則的任意個線性無關的解向量都是基礎解系非齊次線性方程組 的解的結(jié)構(gòu)Cramer法則，Gauss消元法與通解的表達注：Cramer法則只適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同的情形；用Gauss消元法求解只能對增廣矩陣作初等行變換, 不能作列變換； 通解有兩種形式：用自由未知量表示；用向量形式表示

9、。例求齊次線性方程組的基礎解系 將系數(shù)矩陣化成行簡化階梯形矩陣，求通解，寫出基礎解系。討論解的情況并求基礎解系 問：當參數(shù)去什么值時，齊次線性方程組有非零解，有非零解時求通解 討論解的情況并求解 設是齊次線性方程組的基礎解系，線性方程組的特解。表示任意常數(shù)。則的通解是已知是齊次線性方程組的基礎解系， 問：當取何值時，也是的基礎解系。假設，是的解，且，。求的通解。第六部分 相似矩陣和矩陣的特征值、特征向量中心問題是矩陣的相似對角化問題。矩陣的特征值、特征向量的概念和簡單性質(zhì)計算：先求特征多項式，再求根，再解齊次線性方程組的非零解求矩陣的特征值和特征向量。特征多項式和跡假設。則是次多項式，首一的，

10、且稱為的跡，記為。特征值的性質(zhì)如的特征值是，則， 可逆特征值均不為零。如果可逆，是的特征值，則是的特征值；假設多項式，是的特征值，則是的特征值；設是的化零多項式，則的特征值均是的根?！纠?】假設是3階方陣，均不可逆，求?！纠?】假設，證明：的特征值只能是0和1。 注：錯誤做法：因為，則或。若，則0是的特征值，若，則1是的特征值。相似矩陣及矩陣相似的必要條件定義：矩陣的相似。定理：若矩陣與相似，則，且與有相同的特征值、跡、秩、行列式。 【例4】已知矩陣與相似，求。解：A，B相似，則|A|=|B|=0?；喛傻脇A|=(a-b)2=0,所以a=b。另外，A，B相似，A的特征值也為0，1，2。當=1

11、時，|I-A|=-2ab=0。所以a=b=0。注：1.逆命題不成立 2.課程中沒有介紹“充分條件”，除非對矩陣加了特定的條件（如實對稱等）。 【例5】 若與之一可逆，證明：與一定相似。 【例6】 若與相似，與相似，證明：與相似。矩陣可相似對角化問題注：并非每個矩陣都相似于對角陣。如定理：矩陣相似于對角陣有個線性無關的特征向量。定理：矩陣的屬于不同特征值的特征向量線性無關。【例7】如：肯定相似與對角陣。如：有重特征值，但相似于對角陣。 定理：如果是矩陣的互不相同的特征值，是的屬于的特征向量，則線性無關。 【例8】假設是上三角矩陣。證明如果互異，則一定相似于對角陣；(此時，A有個不同的特征值，所以

12、有個線性無關的特征向量。)如果全相等，而不是對角陣，則肯定不相似于對角陣。（此時，A的個特征值相同，且）定理：矩陣相似于對角陣對于的重特征值，有個線性無關的特征向量。假設相似于對角陣，2是一個二重特征值。求及可逆矩陣，使得是對角陣。已知矩陣的特征方程有一個二重根。求參數(shù)的值，并討論是否可相似對角化。注：。因此，若2是兩重根，則，此時，特征值為2，2，6?？梢宰C明，這時，可以相似對角化。若2不是兩重根，則為完全平方，從而可以解得?？梢宰C明，這時不可以相似對角化。設矩陣滿足。證明：（1）相似于；（2）。四同時對角化問題、矩陣相似對角化的應用設矩陣有個互不相同的特征值，且。證明：存在可逆陣使得，均是

13、對角陣。設。求。第七部分 實對稱矩陣和二次型應當注意，討論二次型與討論實對稱矩陣本質(zhì)上是同一回事。內(nèi)積、Schmidt正交化方法和正交矩陣內(nèi)積和正交性 定義：維向量的內(nèi)積（可以用矩陣的乘積表示）正交長度，單位向量，單位化正交向量組 定理：正交向量組是線性無關的。已知向量組線性無關，非零向量與中每個向量正交。證明：，線性無關。Schmidt正交化方法如果線性無關，則經(jīng)過正交化、單位化可以得到一個與之等價的標準正交向量組。 正交化、單位化的公式。正交矩陣定義：正交矩陣定理：階實矩陣是正交矩陣的行（列）向量組是標準正交向量組。若上三角實矩陣是正交矩陣，則是對角陣，且主對角元是。若階實矩陣是正交矩陣。

14、則（1）當時，且是奇數(shù)時，1是的特征值；當，-1是的特征值；若也是階正交矩陣，且，則。實對稱矩陣1實對稱矩陣的基本性質(zhì)（三條）：假設是實對稱矩陣，則實對稱矩陣的特征值是實數(shù)；實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交；存在正交矩陣，使得是對角陣。正交矩陣及對角陣的計算。要注意與相似對角化的區(qū)別。 【例4】假設。求正交矩陣，使得是對角陣?！纠?】設三階實對稱矩陣的特征值為3，1，1，是的相應于特征值3的特征向量。求。 法一. 求正交陣； 法二. 用相似對角化方法?！纠?】假設是實對稱矩陣。證明：存在實對稱矩陣，使得?！纠?】假設是實對稱矩陣。證明：若存在使得，則。二次型的矩陣 二次型的矩陣都是

15、對稱矩陣，兩者一一對應?？赡婢€性變換與矩陣的合同關系兩者一一對應。 【例8】求二次型的矩陣。【例9】假設是矩陣（不一定是對稱的）。求二次型的矩陣。標準形、慣性定理與規(guī)范形標準形的計算配方法：【例10】二次型 注：應是可逆線性變換，故，變換前后變量個數(shù)相同。正交變換的辦法：完全化成矩陣問題【例11】已知實二次型在一正交變換下可以變成。求及一個合適的正交變換。慣性定理，正、負慣性指數(shù)定理：慣性定理定義：二次型的秩和正、負慣性指數(shù)命題：二次型的秩和正、負慣性指數(shù)可以由其矩陣的特征值確定?！纠?2】假設是實對稱矩陣，且，。求的秩和正、負慣性指數(shù)。分類每個實對稱矩陣均與合同，稱此矩陣為的規(guī)范形。于是，兩

16、個實對稱矩陣合同它們有相同的秩和正慣性指數(shù)。若將實對稱矩陣按合同關系分類，共可分成多少合同類？解：秩的取值為0，1，2，3，4，, n合同類的個數(shù)為1，2，3，4，5，,n+1共有(n+1)(n+2)/2.正定性定義：實對稱矩陣、二次型的正定性、負定性定理：假設是實對稱矩陣，則下述命題是等價的：1是正定的2的各個順序主子式大于零3的所有特征值均大于零存在實可逆矩陣，使得。設。求，使之為正定二次型。設都是正定矩陣。證明：都是正定的。問：是不是正定的？假設實對稱矩陣是正定的，是實矩陣。證明：正定。假設實對稱矩陣是正定的。證明：。第八部分 空間解析幾何矢量代數(shù)數(shù)量積幾何定義：是一數(shù)量，坐標表達：幾何

17、意義：正交，向量積幾何定義：是一向量，方向： 符合右手則；坐標表達：幾何意義：；一般地，是平行四邊形面積混合積定 義：坐標表達：幾何意義：=平行六面體的體積；四面體的體積；共面。簡單性質(zhì)：輪回。平面、直線平面方程確定平面的基本方法：點+法向量三點確定平面兩相交直線確定平面兩平行直線確定平面截距式方程 特殊形式的方程（缺項）缺常數(shù)項表示過原點，缺項時表示與軸平行。缺時表示與平面平行。求過點且通過直線的平面直線方程確定直線的基本方法：點+方向向量對稱方程（標準方程）參數(shù)方程兩點確定一條直線。兩相交平面確定一條直線。求過點且與方向都正交的直線。直線的一般方程：視直線為兩平面的交線 一般方程與標準方程

18、的互換化一般方程為標準方程。位置關系：理解幾何含義夾角求直線與平面的夾角。距離點到直線的距離：利用平行四邊形的面積公式（底與高的積，向量積的模）。如：與間的距離。點到平面的距離：利用在法向上的投影的絕對值。異面直線間的距離：公垂線與兩直線的交點間的距離（公垂線的方向是很容易得到的）平面束求直線在平面上的投影直線方程。一般曲線、曲面：曲面是由一個方程給定的，曲線是由兩個方程給定的。由此也可看出，通常地，曲線被看成是兩個曲面的交線。必須弄清楚它們的定義（幾何上是如何確定的）；特定位置的曲面方程的特點；圖形特征（會畫簡單圖形的草圖）。球面：點和半徑柱面：準線（定曲線）+母線（的方向）【例13】 分別畫出，的草圖，指出它們的圖形特征。旋轉(zhuǎn)面：母線（給定曲線）+定直線（軸）【例14】 求在平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程。（答案：）錐面：頂點+準線（重點準線是二次曲線、頂點是坐標原