1、- - -2006年中考“解直角三角形”熱點題型分類解析【專題考點剖析】本專題主要包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形兩部分內(nèi)容，2006年試題所反映出的考點主要有：1會計算特殊角的三角函數(shù)值以及與三角函數(shù)有關(guān)的代數(shù)求值問題2.能正確地運用sinA,cosA,tanA,cotA表示直角三角形（其中一個銳角為A?）中兩邊的比，并借助直角三角形邊、角之間的關(guān)系解證三角問題會比較兩個三角函數(shù)值的大小，?并會根據(jù)三角函數(shù)值大小確定相應(yīng)角的大小.會利用計算器求銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值求銳角問題.會運用勾股定理、?直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形中的有關(guān)知識來解決某

2、些簡單的實際問題，以考查學(xué)生應(yīng)用問題的能力.能從多種角度思考解答以三角函數(shù)為題設(shè)條件的三角型綜合題，?以考查綜合解決問題的能力.【解題方法技巧】勾股定理勾股定理的驗證方法很多，用面積驗比較簡捷，用面積法解題是一種重要的解題方法，在有距離或垂線段的條件的題目中運用面積法解題比較方便.銳角三角函數(shù)的概念銳角三角函數(shù)的概念應(yīng)通過畫圖幫助分析，通過畫圖找出直角三角形中邊角的關(guān)系，加深對概念的理解.特殊角的三角函數(shù)值對于特殊角的三角函數(shù)值，必須熟練準(zhǔn)確地記住，記憶時可借助三角板上的直角三角形.常聯(lián)系的知識點銳角三角函數(shù)常和三角形、四邊形、相似形、圓、坐標(biāo)系、一元二次方程結(jié)合命題.解直角三角形的應(yīng)用題對于

3、解直角三角形的應(yīng)用題，首先要認真反復(fù)讀題、弄清題意，特別是關(guān)鍵的字、詞,其次要準(zhǔn)確地畫出圖形.6.解斜三角形對于斜三角形要通過作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形.【熱點試題歸類】題型1三角函數(shù)(2006，大連)在RtABC中，/C=90,AB=5,AC=4，貝UsinA的值為.(2006,旅順口區(qū))在RtABC中，/C=90,BC=4,AC=3,貝UcosA的值為3.BC=5,AC=12，則cosA等于(551212A.B.C.D.1213513（2006，溫州）如圖1,在厶ABC中，/C=90(1)(2)4.（2006,成都）如圖2,在RtABC中,/ACB=90,CD丄AB于點D,已知AC=5

4、,?BC=2，那么sin/ABC=()5.2B.3（2006，攀枝花）如圖A.tan/AEDc.255D.3所示，AB是OO的直徑，弦B.cot/AEDC.sin/AEDCD“AC、BD相交于E，則AB等于D.cos/AED(2006,海淀區(qū))計算：卜|+(cos60-tan30)+.8.題型2解直角三角形1.（2006,煙臺）如圖4，在矩形ABCD3DE丄AC于E,設(shè)/ADE=a，且cosa=,5AB=4，貝UAD的長為(16A.3B.320C.16(5)（2006，煙臺）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)如圖5所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.？

5、若大正方形的面積是13,小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a,較短直角邊為b,則a+b的值為（）A.35B.43C.89D.97題型3解斜三角形（2006，鹽城）如圖6所示，已知：在ABC中，/A=60。，/B=45,AB=8,?求厶ABC的面積（結(jié)果可保留根號）.（2006,廣安市）如圖，海上有一燈塔P,在它周圍3海里處有暗礁，？一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行，行至A點處測得P在它的北偏東60的方向，繼續(xù)行駛20分鐘后，到達B處又測得燈塔P在它的北偏東45方向，問客輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危險？（2006,成都）如圖，某校九年級3班的一個學(xué)生小組進行測量小山高度的實踐

6、活動.部分同學(xué)在山腳點A測得山腰上一點D的仰角為30,并測得AD?的長度為180米；另一部分同學(xué)在山頂點B測得山腳點A的俯角為45,山腰點D的俯角為60.請你幫助他們計算出小山的高度BC（計算過程和結(jié)果都不取近似值）.（2006，天津）如圖，在觀測點E測得小山上鐵塔頂A的仰角為60,鐵塔底部B的仰角為45.已知塔高AB=20m,觀察點E到地面的距離EF=35m,求小山BD的高（精確到0.1m,31.732）.題型4應(yīng)用舉例（2006，浙江臺州）有人說，數(shù)學(xué)家就是不用爬樹或把樹砍倒就能夠知道樹高的人.小敏想知道校園內(nèi)一棵大樹的高（如圖1），她測得CB=10米，/ACB=50。，請你幫助她算出樹高

7、AB約為米.（注：樹垂直于地面；供選用數(shù)據(jù)：sin500.77,cos500.64,tan501.2)（2006，成都）如圖2,小華為了測量所住樓房的高度，他請來同學(xué)幫忙，測量了同一時刻他自己的影長和樓房的影長分別是0.5米和15米，已知小華的身高為1.6米，那么分所住樓房的高度為米.（2006，煙臺）如圖3,兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點測得D?點的俯角為30，測得C點的俯角為60，則建筑物CD的高為米.（2006，鹽城）如圖，花叢中有一路燈桿AB.在燈光下，小明在D?點處的影長DE=3米，沿BD方向行走到達G點，DG=5米，這時小明的影長GH=5米.？如果小明的身高為1.7米

8、，求路燈桿AB的高度（精確到0.1米）.（2006，晉江）如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時,梯子的頂端在B點；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點已知/BAC=?65,/DAE=45。，點D到地面的垂直距離DE=3-、2m，求點B到地面的垂直距離BC（精確到0.1m)A（2006,南安）如圖，我市某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD?與地面成40夾角，且DB=5m,現(xiàn)要在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED,那么EB的高為多少米？（?結(jié)果保留三個有效數(shù)字）（2006,哈爾濱市）如圖，在電線桿上的C處引位線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60角，在離電線桿6米的

9、B處安置測角儀，在A處測得電線桿C處的仰角為30,已知測角儀AB高為1.5米，求拉線CE的長.（結(jié)果保留根號）&（2006，攀枝花）已知：如圖，在山腳的C處測得山頂A的仰角為45，沿著坡度為30的斜坡前進400米到D處（即/DCB=30,CD=400米），測得A的仰角為60,求山的高度AB9.（2006，蘇州）如圖，在一個坡角為15的斜坡上有一棵樹，高為AB.當(dāng)太陽光與水平線成50時，測得該樹在斜坡的樹影BC的長為7m,求樹高.（精確到0.1m）題型5綜合與創(chuàng)新（2006，綿陽）小明騎自行車以15千米/小時的速度在公路上向正北方向勻速行進，如圖1,出發(fā)時，在B點他觀察到倉庫A在他的北偏東30處

10、，騎行20分鐘后到達C點,發(fā)現(xiàn)此時這座倉庫正好在他的東南方向，則這座倉庫到公路的距離為千米.（參北(1)(2)(3)考數(shù)據(jù)：.31.732，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）（2006，煙臺）先將一矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系中，使點A?與坐標(biāo)系的原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖2），?再將此矩形在坐標(biāo)平面內(nèi)按逆時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)30（如圖3），若AB=4，BC=3，則圖（1）和圖（2）中點B的坐標(biāo)為點C的坐標(biāo)為.（2006,浙江臺州）數(shù)學(xué)活動課上，小敏、小穎分別畫了厶ABC和厶DEF,?數(shù)據(jù)如圖,如果把小敏畫的三角形面積記作SaABC，小穎畫的三角形面積記作Sadef，那么你認為A.SaA

11、BCSadefD.不能確定B.SaABC3.客輪不改變方向繼續(xù)前進無觸礁危險.3.解：如圖設(shè)BC=x,在RtADF中，AD=180,/DAF=30DF=90,AF=90.3./BAC=/ABC=45-AC=BC=x.BE=BC-EC=x-90.在RtBDE中，/BDE=60DE=3BE=3(x-90)FC=AC-AF=x-90,3./DE=FC,(x-90)=x-90.3.解得x=90-3+90.解：如圖，過C點作CE丄AD于C.在RtACE中，AC=3x,/AB=AC-BC,即20=3x-x解得x=10.3+10.BD=BC+CD=BC+EF=10、3+10+3545+10X1.73262.

12、3(m)所以小山BD的高為62.3m.題型41.1248點撥：設(shè)樓高xm，則0.5:1.6=15:x,.x=48m.203解：設(shè)AB=x米，BD=y米.由厶CDEABE得CP二RE即1_7=ABBEx3y由厶FGHABH得FGAB由，得y=7.5,x=5.956.0米.所以路燈桿AB的高度約為6.0米.2- -解：在RtADE中，DE=3、2，/DAE=45DE/sin/DAE=一AD又AD=AB,在RtABC中BC=ABAD=6.sin/BAC=-sin/BAC=6sin65BCAB，5.4答：點B到地面的垂直距離BC約為5.4米.解：在RtBCD中,/BDC=40,DB=5m,/BC/ta

13、n/BDC=DBBC=DBtan/BDC=5xtan404.195.EB=BC+CE=4.195+26.20.答：略.解：過點A作AH丄CD，垂足為H.由題意可知四邊形ABDH為矩形，/CAH=30,AB=DH=1.5,BD=AH=6.在RtACH中,tan/CAH=CHAHCH=AHtan/CAH=6tan30/DH=1.5,CD=2.3+1.5.在RtCDE中，/CED=60,sin/CED=CD,CECE=CDsin60231.5乜(米)- -答：拉線CE的長為（4+-.3）米.解：如圖，作DE丄AB于E,作DF丄BC于F,在RtCDF中/DCF=30,CD=400米,（米）.（米）.D

14、F=CDsin30=一X400=2002CF=CDcos30=X400=2002在RtADE中，/ADE=60。，設(shè)DE=x米,AE=tan60 x=3x（米）.在矩形DEBF中，BE=DF=200米，在RtACB中，/ACB=45,AB=BC,即3x+200=2003+x.x=200,AB=AE+BE=（200.3+200）米.解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線交于點D，貝UAD丄CD./ACD=50,在RtCDB中，CD=7Xcos15,BD=7Xsin15.在RtCDA中，AD=CDxtan50=7xcos15xtan50AB=AD-BD=(7xcos15xtan50-7xsin15

15、)=7(cos15xtan50-sin15)6.2(m).答：樹高約為6.2m.題型51.1.8點撥：設(shè)過點A作AD丄BC于D,設(shè)AD=x，貝UCD=x，BD=、3x.、-3x+x=5，解得x1.8.2.圖(1)中：B(4,0),圖(2)中：B(23,2);圖(1)中：C(4,3),圖(2)中：C(4力-3朋*4)223.C4.解:1)在RtABD中,AD12AB=15.sinB4BD=-；AB2-AD2=9.CD=BC-BD=14-9=5(2)TE是RtADC斜邊AC的中點,DE=EC，/EDC=/C.AD12tan/EDC=tan/C=一CD55.解：如圖，(1)作BE丄AD,E為垂足.F

16、BDGEA貝UBE=ABsin68=22sin6820.40=20.4(m).(2)作FG丄AD,G為垂足，連FA，貝UFG=BE.FG/AG=17.12,tan50AE=ABcos68=22cos688.24,BF=AG-AE=8.888.9(m).即BF至少是8.9m.6解：(1)設(shè)出發(fā)后x小時時兩船與港口P的距離相等.根據(jù)題意，得81-9x=18x,解這個方程，得x=3.出發(fā)后3小時兩船與港口P的距離相等.(2)如圖，設(shè)出發(fā)后x小時乙船在甲船的正東方向，此時甲、乙兩船的位置分別在點C、D處，連結(jié)CD過點P作PE丄CD，垂足為E.則點E在點P的正南方向.在RtCEP中，/CPE=45,PE

17、=PCcos45.在RtPED中，/EPD=60,PE=PDcos60.(81-9x)cos45=18xcos60.解這個方程，得x疋3.7.出發(fā)后約3.7小時乙船在甲船的正東方向.題型61解：（1）RtAOB中，/0=90，/a=60.:丄OAB=30。，又AB=4米，1,OB=AB=2（米）.2襄OA=ABsin60=4X=23（米）.2（2）設(shè)AC=2x,BD=3x,CD=4.根據(jù)勾股定理：oc2+od2=cd2.（2、3-2x）2+（2+3x）2=42.13x2+（12-8.3）x=0./x工0,.13x+12-8、3=0.8；3-12x=.1316-24AC=2x=1316掐_24即

18、梯子頂端A沿NO下滑了米.13（3廠點P和點P分別是RtAOB的斜邊AB與RtAOB的斜邊AB的中占I八、：PA=PO,PA=PO,/PAO=/AOP，/PA0=/AOP./PAO-/PAO=/POP=15./PAO=30,/PA0=45.A0=ABXcos45=4XAA=OA-A0=(2、.3-2、2)米.2.(3)10個，解題方法略.TOC o 1-5 h z225223.解：()=(-2m)-4(n-mn+m)=-(m-2n)0.4(m-2n)2w0,m-2n=0,=0.2252AM=AN一元二次方程x-2mx+n-mn+m=0有兩個相等實根，.4(2)/BAC=90,AD丄BC,/ADC=/ADB=90。，/DAC=/DBA,ADCbda.ADDC2,AD=BDBC.BDAD/CF丄BE，/FCB+/EBD=90./E+/EBD=90,/E=/FCB./NDC=/EDB=90,EDBD,BDDC=EDDN,CDDNAD2=EDDN.15AN=-DN9匚，-AD=DN+AN=332=9DE,DE=8.8如圖，由(1)知AM=AN，/AMN=/ANM,vZAMN+/ACN=90,/DNC+/NCD=90,vZBMF+ZFBM=90,ZAMC+ZACM=90,由（2）可知/E=/FCB,AB=AE.過點M作MG丄AN于點亠mMGAM由MG/BD得BDAB1S.AMNSab