1、 第4章 被控過程的數(shù)學(xué)模型第1頁，共56頁。本章要點(diǎn)1）掌握被控過程機(jī)理建模的方法與步驟； 2）熟悉被控過程的自衡和非自衡特性； 3）熟悉單容過程和多容過程的階躍響應(yīng)曲線及解析表達(dá)式； 4）重點(diǎn)掌握被控過程基于階躍響應(yīng)的建模步驟、作圖方法和數(shù)據(jù)處理； 5）熟悉被控過程的一次完成最小二乘建模方法，學(xué)會(huì)用MATLAB語言編寫算法程序。 6）熟悉被控過程的遞推最小二乘建模方法，學(xué)會(huì)用MATLAB語言編寫算法程序。 第2頁，共56頁。第一節(jié)過程建模的基本概念一、 被控過程的數(shù)學(xué)模型及其作用 被控過程的數(shù)學(xué)模型是指過程的輸入變量與輸出變量之間定量關(guān)系的描述其中：過程的輸入變量至輸出變量的信號(hào)聯(lián)系稱為通

2、道控制作用至輸出變量的信號(hào)聯(lián)系稱為控制通道干擾作用至輸出變量的信號(hào)聯(lián)系稱為干擾通道過程的輸出為控制通道與干擾通道的輸出之和 第3頁，共56頁。過程的數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型 過程輸出實(shí)際上是多個(gè)輸入的函數(shù)，每個(gè)輸入對被控量的影響都是不一樣的，通常選用一個(gè)可控性良好的輸入作為控制量，而其他輸入被統(tǒng)稱為外部擾動(dòng)。第4頁，共56頁。二、被控過程的特性依據(jù)過程特性的不同分為自衡特性與無自衡特性、單容特性與多容特性、振蕩與非振蕩特性等 1有自衡特性和無自衡特性 當(dāng)原來處于平衡狀態(tài)的過程出現(xiàn)干擾時(shí)，其輸出量在無人或無控制裝置的干預(yù)下，能夠自動(dòng)恢復(fù)到原來或新的平衡狀態(tài)，則稱該過程具有自衡特性，否則，

3、該過程則被認(rèn)為無自衡特性。 第5頁，共56頁。無自衡過程及其階躍響應(yīng)曲線 自平衡特性其傳遞函數(shù)的典型形式有：一階慣性環(huán)節(jié) 二階慣性環(huán)節(jié) 二階慣性+純滯后環(huán)節(jié) 一階慣性+純滯后環(huán)節(jié) 具有自衡特性的過程及其響應(yīng)曲線 無平衡特性其傳遞函數(shù)的典型形式有：一階環(huán)節(jié) 二階環(huán)節(jié) 二階+純滯后環(huán)節(jié) 一階+純滯后環(huán)節(jié) 第6頁，共56頁。3振蕩與非振蕩過程的特性在階躍輸入作用下，輸出會(huì)出現(xiàn)多種形式。圖中，a)、b)和c)為振蕩過程，d)和e)為非振蕩過程。 4具有反向特性的過程 對過程施加一階躍輸入信號(hào)，若在開始一段時(shí)間內(nèi)，過程的輸出先降后升或先升后降，即出現(xiàn)相反的變化方向，則稱其為具有反向特性的被控過程。第7頁

4、，共56頁。4具有反向特性的過程鍋爐汽包水位的變化過程即為典型的具有反向特性的過程。 冷水量 蒸發(fā)率水位進(jìn)水量大 汽泡潰滅 水位第8頁，共56頁。三、過程建模方法1機(jī)理演繹法 （解析法） 根據(jù)被控過程的內(nèi)部機(jī)理，運(yùn)用已知的靜態(tài)或動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系，用數(shù)學(xué)解析的方法求取被控過程的數(shù)學(xué)模型。2試驗(yàn)辨識(shí)法 先給被控過程人為地施加一個(gè)輸入作用，然后記錄過程的輸出變化量，得到一系列試驗(yàn)數(shù)據(jù)或曲線，最后再根據(jù)輸入輸出試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定其模型的結(jié)構(gòu)（包括模型形式、階次與純滯后時(shí)間等）與模型的參數(shù)。 3. 混合法 機(jī)理演繹法與試驗(yàn)辯識(shí)法的相互交替使用的一種方法第9頁，共56頁。第二節(jié) 解析法建立過程的數(shù)學(xué)模型一、解析法建

5、模的一般步驟1）明確過程的輸出變量、輸入變量和其他中間變量；2）以物料或能量平衡方程為基本依據(jù),列寫基本平衡方程；3）以基本平衡方程減去起始平衡點(diǎn)的平衡方程（初始 條件），得到增量方程；4） 整理得到以增量為變量的微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式。二、單容過程的解析法建模例1：某單容液位過程，如右圖。貯罐中液位高度h為被控參數(shù),流入貯罐的體積流量q1為過程的輸入量并可通過閥門1的開度來改變；流出貯罐的體積流量q2為過程的干擾，其大小可以通過閥門2的開度來改變。試確定q1與h之間的數(shù)學(xué)關(guān)系?第10頁，共56頁。解 根據(jù)動(dòng)態(tài)物料平衡關(guān)系，即在單位時(shí)間內(nèi)貯罐的液體流入量與單位時(shí)間內(nèi)貯罐的液體流出量之差應(yīng)等于貯罐中液

6、體貯存量的變化率則有：寫為增量形式為其中分別為偏離某平衡狀態(tài)的增量。A為貯罐的截面積假定近似成正比而與閥門2的液阻成反比與則有 ,帶入增量式中可得單容液位過程的微分方程增量式 進(jìn)行拉普拉斯變換，并寫成傳遞函數(shù)形式 其中：為被控過程的時(shí)間常數(shù) 為被控過程的放大系數(shù) 為被控過程的容量系數(shù)，或稱 過程容量，這里第11頁，共56頁。一階對象的特性參數(shù)都具有明顯的物理意義：ttx0y( )yx放大倍數(shù)K的物理意義K表明了穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出對輸入的放大倍數(shù) 。求法： K = y( ) / x0K 越大，表示對象的輸入對輸出的影響越大。階躍響應(yīng)函數(shù)：第12頁，共56頁。時(shí)間常數(shù)T的物理意義對象受到階躍輸入后，輸出

7、達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2所需的時(shí)間，就是時(shí)間常數(shù)T?；?qū)ο笫艿诫A躍輸入后，輸出若保持初始速度變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間就是時(shí)間常數(shù)。tT0.632y)求法：第13頁，共56頁。在相同的階躍輸入作用下，對象的時(shí)間常數(shù)不同時(shí)，被控變量的響應(yīng)曲線如圖所示 。 T反映了對象輸出對輸入的響應(yīng)速度T越大，響應(yīng)越慢。如水槽對象中 T=AR ，說明水槽面積越大，水位變化越慢。第14頁，共56頁。T也反映了過渡過程時(shí)間被控變量變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間理論上需要無限長。當(dāng)t時(shí)，才有yKx0 ，但是當(dāng)t =3T 時(shí)，便有： 即：經(jīng)過3T時(shí)間，輸出已經(jīng)變化了滿幅值的95。這時(shí)，可以近似地認(rèn)為動(dòng)態(tài)過程基本結(jié)束。tTy

8、)3T第15頁，共56頁。例2積分時(shí)間常數(shù)恒量泵第16頁，共56頁。輸入輸出特性： 我們把這種平衡被打破沒有能力自動(dòng)達(dá)到新平衡位置的系統(tǒng)稱為： “無自衡能力過程”。第17頁，共56頁。例3 求T1 和Q1的關(guān)系R熱阻； C熱容第18頁，共56頁。第19頁，共56頁。例4第20頁，共56頁。單容過程模型總結(jié) 總結(jié)以上幾個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)每個(gè)被控過程中都有一個(gè)儲(chǔ)存“能量”的環(huán)節(jié)。液容 液位控制系統(tǒng)中水箱的儲(chǔ)水量 系數(shù)為水箱截面積A熱容 溫度控制系統(tǒng)中熱水所含的熱量 系數(shù)為熱水質(zhì)量與比熱的乘積Gcp電容 電壓控制系統(tǒng)系統(tǒng)中的電容 系數(shù)為電容量C 所謂單容過程指的是只有一個(gè)儲(chǔ)能環(huán)節(jié)的過程。 有自衡特性的單

9、容過程是一階慣性環(huán)節(jié)，無自衡特性的是一個(gè)積分環(huán)節(jié)。第21頁，共56頁。三、多容過程的解析法建模以自衡特性的雙容過程為例，如圖設(shè)q1為過程輸入量，第二個(gè)液位槽的液位h2為過程輸出量，若不計(jì)第一個(gè)與第二個(gè)液位槽之間液體輸送管道所形成的時(shí)間延遲，試求q1與h2之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。 解根據(jù)動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系，列出以下增量方程 進(jìn)行拉普拉斯變換，整理得到傳遞函數(shù)、數(shù)學(xué)模型 為槽1的時(shí)間常數(shù)為槽2的時(shí)間常數(shù) 其中第22頁，共56頁。四、多容過程的解析法建模二階自平衡能力過程 與自平衡單容過程的階躍響應(yīng)（如曲線1）相比，雙容過程的階躍響應(yīng)（如曲線2）一開始變化較慢，其原因是槽與槽之間存在液體流通阻力而延緩了被控量的變

10、化。顯然，若串接容器越多，則過程容量越大，時(shí)間延緩越長。 第23頁，共56頁。二階無自平衡能力過程第24頁，共56頁。例6輸入變量輸出變量第25頁，共56頁。思路：提高階次并消除中間變量公式一相加得：將第26頁，共56頁。公式一公式二第27頁，共56頁。令：第28頁，共56頁。如果過程為多個(gè)容器依次連接則傳遞函數(shù)為：第29頁，共56頁。過程模型中的純滯后第30頁，共56頁。第三節(jié) 實(shí)驗(yàn)法建立過程的數(shù)學(xué)模型試驗(yàn)辨識(shí)法可分為經(jīng)典辨識(shí)法與現(xiàn)代辨識(shí)法兩大類。在經(jīng)典辨識(shí)法中，最常用的有基于響應(yīng)曲線的辨識(shí)方法；在現(xiàn)代辨識(shí)法中，又以最小二乘辨識(shí)法最為常用。 一、響應(yīng)曲線法 響應(yīng)曲線法是指通過操作調(diào)節(jié)閥，使被

11、控過程的控制輸入產(chǎn)生一階躍變化或方波變化，得到被控量隨時(shí)間變化的響應(yīng)曲線或輸出數(shù)據(jù)，再根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)，求取過程的輸入輸出之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。響應(yīng)曲線法又分為階躍響應(yīng)曲線法和方波響應(yīng)曲線法 第31頁，共56頁。1、階躍響應(yīng)曲線法1）試驗(yàn)測試前，被控過程應(yīng)處于相對穩(wěn)定的工作狀態(tài); 一、注意事項(xiàng)2）在相同條件下應(yīng)重復(fù)多做幾次試驗(yàn) ，減少隨機(jī)干擾的影響;3）對正、反方向的階躍輸入信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)，以衡量過程的非線性程度;4）一次試驗(yàn)后，應(yīng)將被控過程恢復(fù)到原來的工況并穩(wěn)定一段時(shí)間 再做第二次試驗(yàn); 5）輸入的階躍幅度不能過大，以免對生產(chǎn)的正常進(jìn)行產(chǎn)生不利影響, 但也不能過小，以防其它干擾影響的比重相對較大而影

12、響試驗(yàn)結(jié)果。 一般取階躍變化在正常輸入信號(hào)最大幅值的5%10%之間，多取10%。 第32頁，共56頁?？刂破鞅豢剡^程測量變送+-ryuym調(diào)節(jié)閥信號(hào)發(fā)生器記錄儀實(shí)驗(yàn)信號(hào)的測取框圖第33頁，共56頁。二、模型結(jié)構(gòu)的確定在完成階躍響應(yīng)試驗(yàn)后，應(yīng)根據(jù)試驗(yàn)所得的響應(yīng)曲線確定模型的結(jié)構(gòu) 對于大多數(shù)過程，數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)分別為:一階慣性一階慣性+純滯后 二階慣性+純滯后 二階慣性 對于某些無自衡特性過程， 其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為：注意： 對于更高階或其它較復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)在保證辨識(shí)精度的前提下，數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)應(yīng)盡可能簡單 第34頁，共56頁。三、模型參數(shù)的確定（1）確定一階環(huán)節(jié)的參數(shù) 該響應(yīng)曲線可近似為無時(shí)延的

13、一階環(huán)節(jié)則其輸入與輸出的關(guān)系為：為過程的放大系數(shù)，為時(shí)間常數(shù)。 其中上式中，當(dāng)以上式為斜率在t=0處作切線，切線方程為當(dāng)則有：和時(shí)第35頁，共56頁。由以上分析可知，圖解法：根據(jù)再在階躍響應(yīng)曲線的起點(diǎn)t=0處作切線，該切線與的交點(diǎn)所對應(yīng)的時(shí)間（上圖中階躍響應(yīng)曲線上的OB段）即為 先確定的確定還可以使用計(jì)算法：令t分別為時(shí)，則有以及在階躍響應(yīng)曲線上求得三個(gè)狀態(tài)下的時(shí)間t1、t2、t3，不難計(jì)算出一般求多個(gè)值的平均第36頁，共56頁。T第37頁，共56頁。（2）確定一階時(shí)延環(huán)節(jié)的參數(shù) 一階慣性+時(shí)延環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 需要確定轉(zhuǎn)化為標(biāo)幺值和的確定步驟是：先將階躍響應(yīng)即：相應(yīng)的階躍響應(yīng)表達(dá)式為 選取兩個(gè)

14、不同時(shí)刻t1，t2（兩點(diǎn)法），代入兩邊取自然對數(shù)，求解化簡可得：求出和第38頁，共56頁。補(bǔ)充例題1利用兩點(diǎn)法，取A(20,2.8)和B(50,5.9)兩點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算：解：第39頁，共56頁。補(bǔ)充例題1可知其參數(shù)為：第40頁，共56頁。（3）確定二階環(huán)節(jié)的參數(shù) 傳遞函數(shù)為：三個(gè)需要確定的參數(shù)的確定與一階環(huán)節(jié)確定方法相同 的確定采用兩點(diǎn)法。二階無時(shí)延環(huán)節(jié)的輸入、輸出關(guān)系為 含兩個(gè)未知數(shù)的函數(shù)只要任意求兩點(diǎn)就可以解出T1和T2，經(jīng)常取穩(wěn)態(tài)值的40%和80 % 兩點(diǎn)來計(jì)算。求解可得第41頁，共56頁。注意：用這種方法確定T1和T2時(shí)，應(yīng)滿足的條件 因?yàn)?，說明有一個(gè)時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)大于另一個(gè)，系統(tǒng)可以用一個(gè)一

15、階環(huán)節(jié)近似。其中其中時(shí)，應(yīng)為二階以上環(huán)節(jié)。 當(dāng)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)這時(shí)這個(gè)函數(shù)取得極大值的條件是：T1=T2 ，則用一個(gè)二階環(huán)節(jié)近似：第42頁，共56頁。對于n階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)可以按近似計(jì)算的大小由下表確定其中n可以根據(jù)n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75高階過程的n與的關(guān)系h ()Othn=1 n=2 n=3 n=4 n=5 容量個(gè)數(shù)越多（階數(shù)n越多），階躍響應(yīng)曲線上升越慢。第43頁，共56頁。2 非自衡對象高階非自衡對象的近似作圖法作圖求解第44頁，共56頁。第45頁，共56頁。（4）確定二階時(shí)延環(huán)節(jié)的參數(shù)

16、二階時(shí)延環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)曲線如右圖： 傳遞函數(shù)為：需確定參數(shù)4個(gè)通過拐點(diǎn)F作切線 得純滯后時(shí)間 ，容量滯后時(shí)間 以及、而總的純滯后時(shí)間 可以證明：與的關(guān)系為其中在的約束條件下，可以解得和這個(gè)方程為超越方程，求解比較復(fù)雜，通常采用圖解法 自學(xué)圖解法第46頁，共56頁。有些工藝對象不允許長時(shí)間施加較大幅度的擾動(dòng)，改為施加脈寬為t的方波脈沖，得到的響應(yīng)曲線稱為“方波響應(yīng)”。2、方波響應(yīng)曲線法方波響應(yīng)曲線法是在正常輸入的基礎(chǔ)上，施加一方波輸入，并測取相應(yīng)輸出的變化曲線，據(jù)此估計(jì)過程參數(shù)。第47頁，共56頁。 一個(gè)是在t = 0時(shí)加入的正階躍信號(hào)x1（t） 另 一個(gè)是在 t =t 時(shí)加入的負(fù)階躍信號(hào)x2（t） x（t）= x1（t）+ x2（t）其中， x2（t）= - x1（t -t）原理：方波信號(hào)是兩個(gè)階躍信號(hào)的代數(shù)和。tttttxxxx0 x0 x0第48頁，共56頁。 根據(jù)此式，方波響應(yīng)可逐點(diǎn)拆分為階躍飛升曲線y1（t）和 y2（t）。 對應(yīng)的響應(yīng)也為兩個(gè)階躍響應(yīng)之和： y（t）= y1（t）+ y2（t） = y1（t）- y1（t-t）ty2(t)OtxOO tttx1(t)x2(t)= x1(t-t)txy1(t)y(t)y(t)第49頁，共56頁。如圖輸出響應(yīng)由兩個(gè)時(shí)間相差t0、極性相反、形狀完全相同的