1、第六章 機(jī)械振動(dòng)陳 麗 娟理學(xué)院Tel： Email: 水波離開了它產(chǎn)生的地方，而那里的水并不離開，就像風(fēng)在田野里掀起的麥浪。我們看到，麥浪滾滾地向田野里奔去，但是麥子卻仍停留在原來的地方。達(dá)芬奇 振動(dòng)：機(jī)械振動(dòng)：任何一個(gè)物理量隨時(shí)間的周期性變化物體在某一中心位置附近來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)。例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動(dòng)任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以看做是由若干個(gè)簡單而又基本的振動(dòng)的合成。這種簡單而又基本的振動(dòng)形式稱為簡諧運(yùn)動(dòng)。1 簡諧振動(dòng) 一. 彈簧振子 Xo彈簧原長時(shí)小球m所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O.對小球進(jìn)行受力分析： 簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 其解為： 證明一個(gè)運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)的三個(gè)判據(jù)。

2、簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡諧振動(dòng)中的位移、速度和加速度振幅A： 即振子偏離平衡位置的最大值。 速度： 為速度振幅。 加速度： 為加速度振幅。 位移:2 諧振動(dòng)的三個(gè)物理量周期、頻率、初相1.周期：物體完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間。 2.頻率：單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)。 一個(gè)周期后，振子振動(dòng)狀態(tài)完全相同角頻率3. 相位 初相位： 相位差：兩個(gè)振動(dòng)的相位之差； 設(shè)有兩個(gè)簡諧振動(dòng)：位相或周相確定質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量相位差為： 則兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的步調(diào)完全相同。二者同相。相位差為： （3）當(dāng) 時(shí)， 振動(dòng)2超前振動(dòng)1 ；（4）當(dāng) 時(shí)， 振動(dòng)2落后振動(dòng)1 。則兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的步調(diào)完全相反。二者反相。思考相位可以

3、用來比較不同物理量變化的步調(diào) 速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相位比位移的相位超前 。四. 初相和振幅A的確定 取已知 求討論單擺 小球受到的切向分力為： 規(guī)定在平衡位置右側(cè)為正其解為： 彈簧振子： 單擺： 固有周期例: 一輕彈簧的下端掛一重物，上端固定在支架上，彈簧伸長量l=9.8cm。如果給物體一個(gè)向下的瞬時(shí)沖擊力，使它具有 的向下的速度，它就上下振動(dòng)起來。試證明物體是作簡諧振動(dòng)，并寫出其振動(dòng)方程式。注意：（1）解題中O點(diǎn)的確定原則：物體保持平衡的位置。（2）解得的初相要結(jié)合初始速度作正確取舍。3 諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 用旋轉(zhuǎn)矢量確定振動(dòng)初相XO 由位移時(shí)間曲線(x-t)形狀判斷速

4、度的正負(fù)， 進(jìn)一步確定其位相。V0t曲線下降，質(zhì)點(diǎn)向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，v0 x1,x2,x3.分別對應(yīng)的位相例: 一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作簡諧振動(dòng)，振幅為12 cm，周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí), 位移為6 cm，且向x 軸正方向運(yùn)動(dòng)。求:(1)振動(dòng)方程；(2)t = 0.5 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x = -6 cm，且向 x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：(1) 設(shè)簡諧振動(dòng)表達(dá)式為已知：A =12 cm , T = 2 s ，初始條件：t = 0 時(shí)， x0 = 0.06 m , v0 00.06 =0.12 cos 振動(dòng)方程： yxm設(shè)在某一時(shí)刻

5、 t1， x = - 0.06 m代入振動(dòng)方程：(2)(3)yx 例: 如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù) ，物體的質(zhì)量 . （1）把物體從平衡位置向右拉到 處停下后再釋放，求簡諧運(yùn)動(dòng)方程； （3）如果物體在 處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其運(yùn)動(dòng)方程. （2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過 處時(shí)的速度；0.05解 （1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知解 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知（負(fù)號(hào)表示速度沿 軸負(fù)方向） （2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過 處時(shí)的速度；解: （3）如果物體在 處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其運(yùn)動(dòng)方程.因?yàn)?，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知4 簡諧振子的能量線性回復(fù)力

6、是保守力，作簡諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 以彈簧振子為例（振幅的動(dòng)力學(xué)意義）簡 諧 運(yùn) 動(dòng) 能 量 圖4T2T43T能量能量守恒簡諧運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)簡諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的另外一種推導(dǎo) 例: 質(zhì)量為 的物體，以振幅 作簡諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為 ，求：（1）振動(dòng)的周期； （2）通過平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢能相等？解 （1）（2）（3）（4）時(shí)，由5 諧振動(dòng)的合成一. 兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡諧運(yùn)動(dòng)1）相位差 討論相互加強(qiáng)2）相位差相互削弱二. 兩個(gè)同方向、不同頻率的諧振動(dòng)的合成 討論 , 的情況 振幅 振動(dòng)頻率拍頻（振幅變化的頻率）

7、頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍.三. 兩個(gè)互相垂直的同頻率諧振動(dòng)的合成自學(xué):(課件詳見后面ppt)四. 兩個(gè)互相垂直的、不同頻率諧振動(dòng)的合成 6 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振 6.5.3 兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡1） 或 （橢圓方程） 討論2）3）用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動(dòng)合成圖簡諧運(yùn)動(dòng)的合成圖兩相互垂直同頻率不同相位差6.5.4 兩相互垂直不同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成測量振動(dòng)頻率和相位的方法李 薩 如 圖三種阻尼的比較阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線 a）弱阻尼阻尼振動(dòng)的周期 b）過阻尼 c）臨界阻尼討論：1. 阻尼較小時(shí)（ ），振動(dòng)為減

8、幅振動(dòng)，振幅 隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅越迅速。振動(dòng)周期大于自由振動(dòng)周期。2. 阻尼較大時(shí)（ ），振動(dòng)從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)（ ）時(shí)，為“臨界阻尼”情況。是質(zhì)點(diǎn)不做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)極限。a：小阻尼b：過阻尼c：臨界阻尼 設(shè)想一余弦式驅(qū)動(dòng)力 作用于有阻尼的彈簧振子上系統(tǒng)在周期性的驅(qū)動(dòng)力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動(dòng)。xOx則受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解為：6.6.2 受迫振動(dòng)得到A為極大值時(shí)對應(yīng)的角頻率為：相應(yīng)的最大振幅為：工程上把振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為共振。即驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅達(dá)到最大值。對于弱阻尼的情況：受迫振動(dòng)的初相位： 2.共振對其求極值解得：當(dāng)策動(dòng)力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率相等時(shí)，速度振幅達(dá)到最大值使速度振幅到達(dá)最大值的共振稱為速度共振。受迫振動(dòng)中速度：速度共振又稱能量共振！ 共振現(xiàn)象的應(yīng)用我國古代就有大量的應(yīng)用:天壇的回音壁磨擦銅盆時(shí)水的共振表演收音機(jī)：電磁共振；