1、題型54 利用展開(kāi)圖求空間距離最值【方法點(diǎn)撥】遇到求空間兩點(diǎn)間距離的最小值或空間兩條線段和的最小值問(wèn)題，利用降維的思想，應(yīng)考慮將線段所在平面展開(kāi)至同一平面內(nèi)或?qū)?cè)面展開(kāi)，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離最小問(wèn)題.【典型題示例】例1 （2021江蘇金陵中學(xué)期末16）如圖，在正三棱錐PABC中，側(cè)棱長(zhǎng)為2 eq r(,2)，底面邊長(zhǎng)為4，D為AC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，M是線段PD上的動(dòng)點(diǎn)，N是平面PCE上的動(dòng)點(diǎn)，則AMMN最小值是 .PCABEDMN【答案】eq r(3)1【分析】由于M、N都是動(dòng)點(diǎn)，A是定點(diǎn)，可將PAD沿PD折起，使其所在平面與平面PCE垂直，則求AMMN最小值問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A到

2、平面PCE距離的問(wèn)題.也可將過(guò)PD且垂直于平面PCE的POD折至與面PDA共面，則求AMMN最小值問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到直線PO距離的問(wèn)題（即解析所給解法）.【解析】CB中點(diǎn)F,連接DF交CE于點(diǎn)O,易證得DO面PCE，要求AMMN最小，即求MN最小，可得MNPCE，又可證明MN/DF，再把平面POD繞PD旋轉(zhuǎn)，與面PDA共面，如下圖又可證得POD90PD eq f(1,2)AC，DO eq f(1,2)DF eq f(1,2) eq f(1,2)AB eq f(1,4)AB1，sinOPD eq f(OD,PD) eq f(1,2)，即OPD30，APN453075，可得sin75 eq f(r

3、(,6)r(,2),4)，(AMMN)minANPAsin75eq r(3)1例2 如圖所示，圓臺(tái)母線AB長(zhǎng)為20 cm，上、下底面半徑分別為5 cm和10 cm，從母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，則這條繩長(zhǎng)的最小值為 cm【答案】50【解析】作出圓臺(tái)的軸截面與側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示，如圖1，由其軸截面中RtOPA與RtOQB相似，得eq f(OA,OAAB)eq f(5,10)，可求得OA20 cm.如圖2，設(shè)BOB，由于扇形弧的長(zhǎng)與底面圓Q的周長(zhǎng)相等，而底面圓Q的周長(zhǎng)為210 cm.扇形OBB的半徑為OAAB202040 cm，扇形OBB所在圓的周長(zhǎng)為24080 cm.所以扇形

4、弧的長(zhǎng)度20為所在圓周長(zhǎng)的eq f(1,4).所以O(shè)BOB.所以在RtBOM中，BM2402302，所以BM50 cm，即所求繩長(zhǎng)的最小值為50 cm.ABCDA1B1C1D1E例3 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB=1，E為棱AB的中點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)從E出發(fā)在正方體的表面上依次經(jīng)過(guò)棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的點(diǎn)，又回到E，則整個(gè)線路的最小值為 .【答案】E【解析】如圖，將正方體六個(gè)面展開(kāi)，從圖中E到E，兩點(diǎn)之間線段最短，而且依次經(jīng)過(guò)棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中點(diǎn)，所求的最小值為.E【鞏固訓(xùn)練】1.如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2

5、cm，高為5 cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為_(kāi) cm. 2.三棱錐SABC中，SASBSC1，ASBBSCCSA30，M和N分別是棱SB和SC上的點(diǎn)，則AMN周長(zhǎng)的最小值為 ABCDA1B1C1D1P3. 如下圖所示，在單位正方體的面對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P使得最短，則的最小值為.4.如圖，有一圓柱形的開(kāi)口容器（下表面密封），過(guò)圓柱上下底面中心的平面截圓柱側(cè)面得邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，P是BC 的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，則這只螞蟻取得米粒所經(jīng)過(guò)的最短路程為 5.如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCeq r(

6、2)，BB12，ABC90，E，F(xiàn)分別為AA1，C1B1的中點(diǎn)，則沿棱柱的表面從點(diǎn)E到點(diǎn)F的最短路徑為 【答案與提示】1.【答案】13【提示】將側(cè)面二次展開(kāi)，得到長(zhǎng)、寬各為12cm、5 cm的矩形，其對(duì)角線即為所求2.【答案】【解析】如下圖，將三棱錐SABC的側(cè)面沿SA展開(kāi)，顯然，共線時(shí)最短.SMCBAAN3. 【答案】【解析】右下圖左，將ABA1沿A1B折起，使之與平面A1D1CB共面，當(dāng)A、P、D1共線時(shí)，AP+D1P取得最小值，在AA1D1利用余弦定理易得.A1PABCD14.【答案】【提示】如上圖右，AB=，P、Q關(guān)于直線CD對(duì)稱，PQ，由勾股定理立得5.【答案】eq f(3r(2),2)【解析】若將A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，則此時(shí)EF eq r(f(7,2)r(2).若將側(cè)面沿B1B展成平面，則此時(shí)