1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)反思巴里坤縣第三中學(xué)教師李曉瑩本節(jié)是在學(xué)習(xí)了前兩章函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上， 利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來判斷方程的根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與對應(yīng)方程的根的關(guān)系以及掌握函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法；為下節(jié)“二分法求方程的近似解”和后續(xù)學(xué)習(xí)的算法提供基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的作用，非常重要。表面上看，這一內(nèi)容的教學(xué)并不困難，但要讓學(xué)生真正理解，在教學(xué)設(shè)計和難點(diǎn)突破上需要下足夠的功夫，教學(xué)過程中還需要妥善處理其中的一些問題。所以，我在教法上，以問題為紐帶，用問題引出內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生積極主動地進(jìn)行探索；同時向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法；滲透問題意識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解

2、決問題的能力以及采用“提出問題引導(dǎo)探究得出結(jié)論講練結(jié)合”的教與學(xué)模式。本節(jié)課借助多媒體手段創(chuàng)設(shè)問題情境，指導(dǎo)學(xué)生研究式學(xué)習(xí)和體驗式學(xué)習(xí)如，函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系是這節(jié)課的一個重點(diǎn)，為了突破這一重點(diǎn)，在教學(xué)中利用多媒體教學(xué)，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，準(zhǔn)確、直觀、易于學(xué)生理解，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，調(diào)動了學(xué)生主動參與教學(xué)的積極性，使他們進(jìn)行自主探究與合作交流，親身體驗知識的形成過程，變靜態(tài)教學(xué)為動態(tài)教學(xué)。一、新課的引入本堂課是用對實際問題的探討來引入函數(shù)的零點(diǎn)，通過這樣一個問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由直觀過渡到抽象，更符合學(xué)生的認(rèn)知過程，在評課的時候，這一點(diǎn)也獲得了聽課老師的一致好評。再復(fù)習(xí)鞏固一元

3、一次方程和一元二次方程的解法，由學(xué)生已掌握的知識入手，創(chuàng)設(shè)熟悉環(huán)境，引導(dǎo)進(jìn)入本課狀態(tài)。接著讓學(xué)生在原有二次函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)上，使其知識得到自然的發(fā)生發(fā)展。理解了像二次函數(shù)這樣簡單的函數(shù)的零點(diǎn)，再來理解其他復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)就會容易一些。圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題，并且，利用了教材中的方程提出了下列問題：方程x2 2x3=0是否有實根你是怎樣判斷的結(jié)果，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，快速解決了問題。由此看來，這堂課一開始引入熟悉的例子，最能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并讓其認(rèn)識到學(xué)習(xí)函數(shù)的零點(diǎn)的必要性。二、重難點(diǎn)的突破零點(diǎn)存在性定理是本節(jié)課的難點(diǎn)和重點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計的好壞直接關(guān)系到學(xué)生對本

4、節(jié)課的學(xué)習(xí)效果。因此，從“一個函數(shù)是否有零點(diǎn)，就是看它的圖象與x 軸是否有交點(diǎn)。那么，我們又如何判定一個函數(shù)的圖象與x 軸是否有交點(diǎn)呢”的提問入手，引出零點(diǎn)存在條件的探究。給出 6 個問題：問題 1、 2 是學(xué)生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，問題3、 4 是方程的根和函數(shù)圖象與x 軸的交點(diǎn)之間有何聯(lián)系與區(qū)別，問題 5、 6 上升到抽象連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)的條件。引導(dǎo)學(xué)生一邊畫草圖，一邊思考，總結(jié)規(guī)律：函數(shù)圖象 穿過x軸時，圖象就與x軸產(chǎn)生了交點(diǎn)。要判斷函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)是否有零點(diǎn)(教材對 于函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)有零點(diǎn)，只研究函數(shù)f(x)的圖

5、象穿過x軸的情況)，應(yīng)該先觀察函 數(shù)f(x)的圖象在(a, b)內(nèi)是否與x軸有交點(diǎn)，再證明是否有f(a)f(b)0。從課后了解到， 學(xué)生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點(diǎn)，就可以判斷函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)是否有零 點(diǎn)，教學(xué)卻沒有對證明的必要性展開討論。忽略了在研究函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)有幾個零點(diǎn)時，應(yīng)該先觀察函數(shù)f(x)的圖象在(a, b)內(nèi)有幾個交點(diǎn)，再進(jìn)行證明。所以，在課后向?qū)W 生提出如何判斷函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)有幾個零點(diǎn)時，就有學(xué)生認(rèn)為，只需看函數(shù) f(x)的圖 象在(a, b)內(nèi)有幾個交點(diǎn)即可。這樣看來，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識證明的必要性。我們 也可以作出一些特殊

6、函數(shù)在不同區(qū)間范圍的圖象，讓學(xué)生通過觀察對比得到認(rèn)識。這 6 個問題設(shè)計精巧，層層遞進(jìn)，引發(fā)了學(xué)生積極思考、探索與交流，將教學(xué)推向高潮。如此尋求函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，讓學(xué)生在具體的例題中概括出共同的本質(zhì)特征，得出一般性的結(jié)論，使學(xué)生思維發(fā)生碰撞，既弄懂了問題又使數(shù)學(xué)方法得到提升。三、教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，突出思想方法首先要通過把握教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)來設(shè)計教學(xué)框架， 然后根據(jù)教學(xué)框架來考慮需要突出的思想方法。本節(jié)課按照下列主線來展開教學(xué)：(一)如何引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的問題簡單化，并學(xué)會從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)由特殊到一般地思考問題。教材設(shè)置函數(shù)的零點(diǎn)這一內(nèi)容的目的，就是為了

7、體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)。所以，教學(xué)一開始就從學(xué)生熟悉的知識點(diǎn)入手，用方程的求解出發(fā)展開討論，然后引導(dǎo)學(xué)生體會其中的思想方法。例當(dāng)學(xué)生陷入困境時，再逐步提出下面的問題進(jìn)行引導(dǎo)：1當(dāng)遇到一個復(fù)雜的問題，我們一般應(yīng)該怎么辦以此來引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的問題簡單化，尋找類似的簡單問題的解決方法。2以前我們?nèi)绾闻袛嘁粋€方程是否有實根，這對研究這個方程是否有幫助以此來引導(dǎo)學(xué)生從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，將解決簡單方程的方法遷移到不能求解的方程中去，學(xué)會從特殊到一般的思維方法。3除了用判別式可以判斷一元二次方程根的情況，還有其他的方法嗎以此來引導(dǎo)學(xué)生建立方程與函數(shù)的聯(lián)系，滲透函數(shù)與方程的思想方法，

8、并培養(yǎng)其從不同角度思考問題的習(xí)慣。(二)怎樣突出數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)形結(jié)合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數(shù)”一章的始終，學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)，已基本形成數(shù)形結(jié)合的思想方法，所以本節(jié)教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生主動運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題為目的。 在建立方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系時， 函數(shù)圖象起到了關(guān)鍵的橋梁作用，充分體現(xiàn)了它與方程的根以及函數(shù)零點(diǎn)之間的數(shù)形結(jié)合的關(guān)系。由學(xué)生作出函數(shù)圖象，讓學(xué)生回答方程的根與函數(shù)圖象和 x 軸的交點(diǎn)有何關(guān)系，然后學(xué)生自己總結(jié)出方程的根、函數(shù)圖象和 x 軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系。這樣的教學(xué)，在一定程度上也能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法。在這種能夠體現(xiàn)思想方法的關(guān)鍵地方，

9、教師要舍得花時間，要讓學(xué)生由方程自覺地聯(lián)想到相應(yīng)的函數(shù)，主動地建立方程的根與函數(shù)圖象間的關(guān)系，提升數(shù)形結(jié)合思想方法的層次，增強(qiáng)函數(shù)應(yīng)用的意識。(三)如何從直觀到抽象教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)有零點(diǎn)的一種條件。如何讓學(xué)生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學(xué)難點(diǎn)需要處理：.如何引導(dǎo)學(xué)生用f (a)f (b)0來說明函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)有零點(diǎn)教材是先從函數(shù)圖象出發(fā)，讓學(xué)生通過觀察函數(shù)f(x)的圖象在(a, b)內(nèi)是否與x軸有交點(diǎn)，來認(rèn)識函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)是否有零點(diǎn)。這是一個直觀認(rèn)識的過程，對學(xué)生來說并 不困難。然后再讓學(xué)生認(rèn)識，f(a)f(b

10、)0則函數(shù)f(x)的圖象在(a, b)內(nèi)與x軸有交點(diǎn)。不 過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學(xué)生來說是有困難的。教學(xué)的關(guān)鍵在于，如何引導(dǎo)學(xué)生由函數(shù)f(x)的圖象穿過x軸在(a, b)的部分，聯(lián)想到f(a)f(b)0。.如何引導(dǎo)學(xué)生判斷函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)(1)要判斷函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)，可先觀察函數(shù)f(x)的圖象在(a, b)內(nèi)與 x 軸有幾個交點(diǎn)，再進(jìn)行證明。當(dāng)觀察到函數(shù)f(x)的圖象在(a, b)內(nèi)與x軸的交點(diǎn)個數(shù)后，可以在(a, b)內(nèi)分別選 取每個交點(diǎn)周圍的一個區(qū)間，然后說明函數(shù)分別在各個區(qū)間只有一個零點(diǎn)。這樣，就將判斷函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)

11、的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在各個區(qū)間內(nèi)分別只有一個零點(diǎn)。由于 f(a)f(b)0只能說明函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)有零點(diǎn)，而不能說明f(x)在(a, b)內(nèi)有幾個 零點(diǎn)，這就要求函數(shù)在每個交點(diǎn)周圍所選取的區(qū)間上的圖象在直觀上要單調(diào)，并且要證明函數(shù) f (x) 在該區(qū)間上單調(diào)。( 2)要證明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點(diǎn)需要一個循序漸進(jìn)的過程證明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點(diǎn)，是一個從圖象的直觀到抽象的代數(shù)證明的理性思維過程。從學(xué)生現(xiàn)有的知識積累來看，目前教學(xué)應(yīng)立足從圖象直觀來認(rèn)識，對于易于用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的函數(shù)，可要求學(xué)生進(jìn)行代數(shù)證明。待學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之后，再統(tǒng)一要求學(xué)生對所有

12、的函數(shù)都進(jìn)行代數(shù)證明。所以，學(xué)生對這一問題的認(rèn)識有一個循序漸進(jìn)的過程，教師對這一問題的教學(xué)需要分階段提出不同層次的要求，關(guān)鍵是把握好教學(xué)的度。本課的實際教學(xué)中還存在著不足:.在探究新知識時試圖給學(xué)生講授一點(diǎn)關(guān)于方程的解的數(shù)學(xué)史知識，但時間問題，最終舍棄了；.想自在的調(diào)控課堂而不盡得。我所期望的課堂是學(xué)生既自主又合作，既數(shù)學(xué)又生活的。這需要對數(shù)學(xué)史與知識點(diǎn)較透徹的理解，這需要語言表達(dá)的精確，這些都是我的不足。.在課件制作方面還是存在不足，水平不夠高，有待提高。.在板書方面，板塊意識有了，也算工整，但是字跡不夠美觀。本節(jié)課零點(diǎn)的引入部分可以簡化改進(jìn)，使之更趨合理，零點(diǎn)存在性定理引入部分略顯生硬，應(yīng)該有更藝術(shù)的方式。高一學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，常表現(xiàn)出不適