1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗回歸分析8/8/20221數(shù)學(xué)建模實驗?zāi)康膶嶒瀮?nèi)容2掌握用數(shù)學(xué)軟件求解回歸分析問題.1直觀了解回歸分析基本內(nèi)容.1回歸分析的基本理論.3實驗作業(yè).2用數(shù)學(xué)軟件求解回歸分析問題.8/8/20222數(shù)學(xué)建模一元線性回歸多元線性回歸回歸分析數(shù)學(xué)模型及定義*模型參數(shù)估計*檢驗、預(yù)測與控制可線性化的一元非線性回歸（曲線回歸）數(shù)學(xué)模型及定義*模型參數(shù)估計逐步回歸分析* 多元線性回歸中的 檢驗與預(yù)測8/8/20223數(shù)學(xué)建模一、數(shù)學(xué)模型例1 測16名成年女子的身高與腿長所得數(shù)據(jù)如下：以身高x為橫坐標(biāo)，以腿長y為縱坐標(biāo)將這些數(shù)據(jù)點（xi，yi）在平面直角坐標(biāo)系上標(biāo)出.散點圖解答8/8/202

2、24數(shù)學(xué)建模一元線性回歸分析的主要任務(wù)是：返回8/8/20225數(shù)學(xué)建模二、模型參數(shù)估計1回歸系數(shù)的最小二乘估計8/8/20226數(shù)學(xué)建模 其中=niiniiynyxnx111,1，=niiiniiyxnxyxnx11221,1.8/8/20227數(shù)學(xué)建模返回8/8/20228數(shù)學(xué)建模三、檢驗、預(yù)測與控制1回歸方程的顯著性檢驗8/8/20229數(shù)學(xué)建模（）F檢驗法 （）t 檢驗法8/8/202210數(shù)學(xué)建模（）r 檢驗法8/8/202211數(shù)學(xué)建模2回歸系數(shù)的置信區(qū)間8/8/202212數(shù)學(xué)建模3預(yù)測與控制（1）預(yù)測8/8/202213數(shù)學(xué)建模（2）控制返回8/8/202214數(shù)學(xué)建模四、可線

3、性化的一元非線性回歸 （曲線回歸）例2 出鋼時所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕， 容積不斷增大.我們希望知道使用次數(shù)與增大的容積之間的關(guān) 系.對一鋼包作試驗，測得的數(shù)據(jù)列于下表：解答8/8/202215數(shù)學(xué)建模散點圖此即非線性回歸或曲線回歸 問題（需要配曲線）配曲線的一般方法是：8/8/202216數(shù)學(xué)建模通常選擇的六類曲線如下：返回8/8/202217數(shù)學(xué)建模一、數(shù)學(xué)模型及定義返回8/8/202218數(shù)學(xué)建模二、模型參數(shù)估計解得估計值()()YXXXTT1-=b8/8/202219數(shù)學(xué)建模返回8/8/202220數(shù)學(xué)建模三、多元線性回歸中的檢驗與預(yù)測 （）F 檢驗法（）r 檢驗法

4、(殘差平方和)8/8/202221數(shù)學(xué)建模2預(yù)測（1）點預(yù)測（2）區(qū)間預(yù)測返回8/8/202222數(shù)學(xué)建模四、逐步回歸分析（4）“有進(jìn)有出”的逐步回歸分析.（1）從所有可能的因子（變量）組合的回歸方程中選擇最優(yōu)者；（2）從包含全部變量的回歸方程中逐次剔除不顯著因子；（3）從一個變量開始，把變量逐個引入方程；選擇“最優(yōu)”的回歸方程有以下幾種方法： “最優(yōu)”的回歸方程就是包含所有對Y有影響的變量, 而不包含對Y影響不顯著的變量回歸方程. 以第四種方法，即逐步回歸分析法在篩選變量方面較為理想.8/8/202223數(shù)學(xué)建模 這個過程反復(fù)進(jìn)行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸

5、方程時為止.逐步回歸分析法的思想： 從一個自變量開始，視自變量Y對作用的顯著程度，從大到小地依次逐個引入回歸方程. 當(dāng)引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時，要將其剔除掉. 引入一個自變量或從回歸方程中剔除一個自變量，為逐步回歸的一步. 對于每一步都要進(jìn)行Y值檢驗，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對Y作用顯著的變量.返回8/8/202224數(shù)學(xué)建模統(tǒng)計工具箱中的回歸分析命令1多元線性回歸2多項式回歸3非線性回歸4逐步回歸返回8/8/202225數(shù)學(xué)建模多元線性回歸 b=regress( Y, X )1確定回歸系數(shù)的點估計值：8/8/202226數(shù)學(xué)建模3畫出殘差及其置信區(qū)間

6、： rcoplot（r，rint）2求回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型： b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的區(qū)間估計殘差用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r 2、F值、與F 對應(yīng)的概率p置信區(qū)間 顯著性水平（缺省時為0.05）8/8/202227數(shù)學(xué)建模例1解：1輸入數(shù)據(jù)：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;X=ones(16,1) x;Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99

7、100 102;2回歸分析及檢驗： b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X) b,bint,statsTo MATLAB(liti11)題目8/8/202228數(shù)學(xué)建模3殘差分析，作殘差圖： rcoplot(r,rint) 從殘差圖可以看出，除第二個數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點，這說明回歸模型 y=-16.073+0.7194x能較好的符合原始數(shù)據(jù)，而第二個數(shù)據(jù)可視為異常點. 4預(yù)測及作圖： z=b(1)+b(2)* plot(x,Y,k+,x,z,r)返回To MATLAB(liti12)8/8/202229數(shù)學(xué)建模多 項 式 回 歸

8、 （一）一元多項式回歸 （1）確定多項式系數(shù)的命令：p，S=polyfit（x，y，m）（2）一元多項式回歸命令：polytool（x，y，m）1回歸：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12預(yù)測和預(yù)測誤差估計：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回歸多項式在x處 的預(yù)測值Y； （2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha） 求polyfit所得的回歸多項式在x處的預(yù)測值Y及預(yù)測值的顯 著性為1-alpha的置信區(qū)間Y DELTA；alpha缺省時為0.5.8/8/202230數(shù)學(xué)建模法一 直接作二次多項式回歸：t=1/30:1/30:14/30;s

9、=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; p,S=polyfit(t,s,2)To MATLAB（liti21）得回歸模型為 ：8/8/202231數(shù)學(xué)建模法二化為多元線性回歸：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1) t (t.2);b,bint,r,rint,s

10、tats=regress(s,T);b,statsTo MATLAB(liti22)得回歸模型為 ：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,k+,t,Y,r)預(yù)測及作圖To MATLAB(liti23)8/8/202232數(shù)學(xué)建模（二）多元二項式回歸命令：rstool（x，y，model, alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時為0.05）n維列向量8/8/202233數(shù)學(xué)建模 例3 設(shè)某商品的需求量與消費者的平均收入、商品價格的統(tǒng)計數(shù) 據(jù)如下，建立回歸模型，預(yù)測平均收入為1000、價格為6時 的商品需求量.法一 直接用多元二項式回歸：x1=1000 600 1200 500 30

11、0 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=x1 x2; rstool(x,y,purequadratic)8/8/202234數(shù)學(xué)建模 在畫面左下方的下拉式菜單中選”all”, 則betarmse和residuals都傳送到MATLAB工作區(qū)中. 將左邊圖形下方方框中的“800”改成1000，右邊圖形下方的方框中仍輸入6.則畫面左邊的“Predicted Y”下方的數(shù)據(jù)由原來的“86.3791”變?yōu)?8.4791，即預(yù)測出平均收入為1000價格為6時的商品需求量為88

12、.4791.8/8/202235數(shù)學(xué)建模在MATLAB工作區(qū)中輸入命令： beta, rmseTo MATLAB(liti31)8/8/202236數(shù)學(xué)建模結(jié)果為: b = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats = 0.9702 40.6656 0.0005法二To MATLAB(liti32)返回將 化為多元線性回歸：8/8/202237數(shù)學(xué)建模非線性回 歸 （1）確定回歸系數(shù)的命令： beta，r，J=nlinfit（x,y,model,beta0）（2）非線性回歸命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）1

13、回歸：殘差Jacobi矩陣回歸系數(shù)的初值事先用M文件定義的非線性函數(shù)估計出的回歸系數(shù)輸入數(shù)據(jù)xy分別為 矩陣和n維列向量，對一元非線性回歸，x為n維列向量.2預(yù)測和預(yù)測誤差估計：Y，DELTA=nlpredci（model, x，beta，r，J）求nlinfit 或lintool所得的回歸函數(shù)在x處的預(yù)測值Y及預(yù)測值的顯著性水平為1-alpha的置信區(qū)間Y DELTA.8/8/202238數(shù)學(xué)建模例 4 對第一節(jié)例2，求解如下：2輸入數(shù)據(jù)： x=2:16; y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60

14、10.90 10.76; beta0=8 2;3求回歸系數(shù)： beta,r ,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)； beta得結(jié)果：beta = 11.6036 -1.0641即得回歸模型為：To MATLAB(liti41)題目8/8/202239數(shù)學(xué)建模4預(yù)測及作圖： YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J)； plot(x,y,k+,x,YY,r)To MATLAB(liti42)8/8/202240數(shù)學(xué)建模例5 財政收入預(yù)測問題：財政收入與國民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝?、就業(yè)人口、固定資產(chǎn)投資等因素有關(guān).表中列出了195219

15、81年的原始數(shù)據(jù)，試構(gòu)造預(yù)測模型. 解 設(shè)國民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝凇⒕蜆I(yè)人口、固定資產(chǎn)投資分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，財政收入為y，設(shè)變量之間的關(guān)系為：y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非線性回歸方法求解.8/8/202241數(shù)學(xué)建模1 對回歸模型建立M文件model.m如下: function yy=model(beta0,X) a=beta0(1); b=beta0(2); c=beta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); f=beta0(6); x1=X(:,1); x2=X(:,2); x3=X(:,3); x4

16、=X(:,4); x5=X(:,5); x6=X(:,6); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6; 8/8/202242數(shù)學(xué)建模2. 主程序liti6.m如下:X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00 . 2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00 . 271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.0

17、0 352.00 303.00 447.00 . 564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00 . 890.00 826.00 810.0;beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;betafit = nlinfit(X,y,model,beta0)To MATLAB(liti6）8/8/202243數(shù)學(xué)建模 betafit = 0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.0230 0.3658即y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0

18、.0112x4-0.0230 x5+0.3658x6結(jié)果為:返 回8/8/202244數(shù)學(xué)建模逐 步 回 歸逐步回歸的命令是： stepwise（x，y，inmodel，alpha） 運行stepwise命令時產(chǎn)生三個圖形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History. 在Stepwise Plot窗口，顯示出各項的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間.Stepwise Table 窗口中列出了一個統(tǒng)計表，包括回歸系數(shù)及其置信區(qū)間，以及模型的統(tǒng)計量剩余標(biāo)準(zhǔn)差（RMSE）、相關(guān)系數(shù)（R-square）、F值、與F對應(yīng)的概率P.矩陣的列數(shù)的指標(biāo)，給出初始模型中包括

19、的子集（缺省時設(shè)定為全部自變量）顯著性水平（缺省時為0.05）自變量數(shù)據(jù), 階矩陣因變量數(shù)據(jù)， 階矩陣8/8/202245數(shù)學(xué)建模例6 水泥凝固時放出的熱量y與水泥中4種化學(xué)成分x1、x2、x3、 x4 有關(guān)，今測得一組數(shù)據(jù)如下，試用逐步回歸法確定一個 線性模 型.1數(shù)據(jù)輸入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=x1 x2 x3 x4;8/8/202246數(shù)學(xué)建模2逐步回歸：（1）先在初始模型中取全部自變量： stepwise(x,y)得圖Stepwise Plot 和表Stepwise Table圖Stepwise