1、全等三角形的性質(zhì)與判定題型一利用全等三角形求長度【典例1】（2019?宜興市期末）如圖，銳角 ABC的高AD、BE相交于F,若BF = AC, BC=7, CD=2,則AF的長為 3 .A【詳解】 解：AD BC, BEX AC, ./BDF =/ ADC=/ BEC= 90 , ./DBF + /C=90 , / DAC+/C = 90 , ./ DBF =Z DAC,在 BDF與 ADC中,/ ?/ ?/ ?/ ? ? ?BDFA ADC (ASA),-.AD = BD=BC- CD = 7-2=5, DF = CD = 2,.AF= AD-DF = 5- 2=3;故答案為：3.【典例2】

2、（2019?中山市期末）如圖，點(diǎn) A、D、C、E在同一條直線上， AB/EF, AB=EF, /B=/F,AE= 10, AC = 6,求 CD 的長.【詳解】解：.AB/EF, ，/A=/E,/ ? / ?在4ABC 和 EFD 中，? ?/ ? / ?ABCA EFD (ASA),AC= ED = 6,AD=AE- ED= 10-6 = 4,.CD=AC-AD = 6-4=2.題型二 利用全等三角形求角度【典例 3】（2019?渠縣期末）如圖所示，在 ABC中，/ B=/C = 50 , BD=CF, BE= CD,則/ EDF的度數(shù)是503【詳解】 解：如圖，在 BDE與4CFD中,?

3、?/ ?= / ? 50, ? ?BDEA CFD (SAS),./ BDE = Z CFD ,/EDF=180 (/ BDE+/CDF) =180 (/ CFD+/CDF) =180 (180 - Z C) =50 ,./ EDF = 50 ,故答案是：50 .【典例4】(2019?蒼南期中)如圖，/ BAD = Z CAE , AB = AD, AC = AE,且E, F, C, D在同一直線上.(1)求證： ABCA ADE;(2)若/ B = 30 , / BAC=100 ,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，連結(jié) AF,求/ FAE的度數(shù).【點(diǎn)睛】（1）要證 ABCADE,由已知條件/ BAD = Z

4、 CAE, AB=AD, AC=AE,所以/ BAD + Z DAC= /CAE+/DAC,所以可以由 SAS判定兩三角形全等；（2）結(jié)合（1）中全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求得答案.【詳解】（1）證明：.一/ BAD = /CAE （已知）， / BAD+ / DAC = Z CAE+ / DAC ,即/ BAC = / DAE .在4ABC與 ADE中，?= ?犯知) / ?/ ?2?= ?犯知)ABCA ADE (SAS);(2) . / B+Z ACB + Z BAC= 180 ,，/ACB=180 - Z B - Z BAC=50 . ABCA ADE,./ ACB

5、 = / AED=50 .點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)， AFXCE./ FAE=90 / E = 40 .題型三利用全等三角形證明位置關(guān)系【典例5】（2019?蕭山區(qū)期中）BD、CE分別是 ABC的邊AC、AB上的高，P在BD的延長線上，且 BP= AC,點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB.求證：AP = AQ;APXAQ.【點(diǎn)睛】（1）由于BDXAC, CEXAB,可得/ ABD = / ACE ,又有對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，進(jìn)而得出 ABPAQCA,即可得出結(jié)論.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，證明/ RAQ=90即可.【詳解】 證明：（1） BDXAC, CEXAB （已知），./ BEC = Z BDC=90 ,./ABD

6、+/BAC = 90 , Z ACE+Z BAC=90 （垂直定義）,，/ABD = / ACE （等角的余角相等），在 ABP和 QCA中， ? ?/ ?/ ? ?ABPA QCA （SAS）,.AP=AQ （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.（2）由（1）可得/ CAQ=Z P （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）， BDXAC （已知），即/ P+ZCAP = 90 （直角三角形兩銳角互余），./CAQ+/CAP= 90 （等量代換），即/ QAP=90 , API AQ （垂直定義）.【典例 6 （2019?瑤海區(qū)期末）如圖， ABC 和4EBD 中，/ ABC = / DBE = 90 , AB=CB,

7、BE=BD, 連接AE , CD, AE與CD交于點(diǎn)M , AE與BC交于點(diǎn)N.（1）求證：AE=CD;（2）求證：AEXCD;（3）連接BM,有以下兩個(gè)結(jié)論： BM平分/ CBE;MB平分/ AMD .其中正確的有 （請(qǐng)寫 序號(hào)，少選、錯(cuò)選均不得分）.【點(diǎn)睛】(1)欲證明AE=CD,只要證明 ABEACBD;(2)由 ABE0CBD ,推出 BAE = / BCD,由/NMC = 180 - Z BCD - Z CNM , /ABC=180 人BAE - Z ANB ,又/CNM = / ABC, /ABC=90 ,可得/ NMC = 90 ;（3）結(jié)論：；作BKAE于K, BJCD于J.理

8、由角平分線的判定定理證明即可;【詳解】(1)證明：. / ABC = /DBE,ABC+/CBE = /DBE+/CBE, 即/ ABE = Z CBD,在 ABE 和 CBD 中，? ?/ ?/ ?. ABEA CBD, AE=CD.? ?/A ABEACBD , . / BAE = / BCD ,.Z NMC =180 /BCD /CNM, /ABC=180 -Z BAE - Z ANB, 又/CNM=/ABC, 1. / ABC=90 ,/ NMC = 90 ,，AE，CD.(3)結(jié)論：理由：作BKXAE于K, BJXCD于J.1cc1-. ABE，CBD,AE=CD, Saabe=Sa

9、cdb,-?AE?BK= 1?CD?BJ,22 .BK=BJ, .作 BKAE 于 K, BJ CD 于 J,. BM 平分/ AMD .不妨設(shè)成立，則4 ABMA DBM ,則AB = BD,顯然可不能，故錯(cuò)誤.故答案為.題型四利用全等三角形證明數(shù)量關(guān)系【典例7】(2019?安徽期中)已知如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以 AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)# ACD 和ABCE,且 CA=CD, CB=CE, / ACD = Z BCE,連接 AE、BD 相交于點(diǎn) F.(1)求證：AE=BD; (2)如果/ ACD = 30 ,求/ AFB.A CB【點(diǎn)睛】(1)根據(jù)已知得出/ ACE = /

10、DCB,根據(jù)SAS證出兩三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)易得結(jié)論；(2)根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出/ AEC = /DBC, /CDB = /CAE,求出/ EAB+Z DBA = Z ACD , Z AFB= 180 - (/ EAB+ /DBC),代入求出即可.【詳解】(1)證明：.一/ ACD=/BCEACD+/ DCE = / BCE+ Z DCE , . / ACE=Z DCB , 在 ACE和 DCB中 ?= ?. Z ?/ ?. ACEA DCB, . AE=BD; ?= ?(2)解：. / ACD = 30 , . CDB + Z DBC = Z ACD= 30 , ACEA DC

11、B, AEC = Z DBC, /CDB = /CAE,.Z CAE+Z DBC= 30 , .AFB=180 -30 =150 .【典例8 (2019?襟水區(qū)期末)初步思考(1)如圖1,在四邊形 ABCD中，AB=AD, /B = /D=90 , E、F分別是邊 BC、CD上的點(diǎn)，且/ BAD = 2/EAF.求證：EF= BE+FD .小明發(fā)現(xiàn)此題是證明線段的和(差)問題，根據(jù)證明此類題型的常見方法，于是就有了如下的思考過程：請(qǐng)?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路.第一步:延長CE至修使陽居連檀，出，易證入我也空出? 得出 = *出=上D戶第二步N加上 /以在*在/反必二得出斫以 二/廿第三步；易

12、證用必3、比一 ;防于是RE- 即7=1+陽解決問題(2)如圖2,在四邊形 ABCD中，AB = AD, /B+/D=180 , E、F分別是邊 BC、CD上的點(diǎn)，且/BAD = 2/EAF, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？說明理由.拓展延伸(3)在(2)的條件下，若將點(diǎn)E、F改在線段BC、CD延長線上，請(qǐng)直接寫出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系 EF = BE - FD .圄1國1雷用圖【點(diǎn)睛】(1)延長CB至ij H ,使BH= DF ,連接AH,證明 ABHA ADF和 AMEA AFE從中找出條件即可解答.(2)延長CB至M,使BM = DF,證明 ABMA ADF ,再證明 EAHA

13、EAF,可得出結(jié)論；EF(3)在BE上截取 BG,使BG = DF,連接 AG.證明 ABGA ADF和AEGAEF,即可得出= BE- FD.【詳解】 解：(1)AH,/HAE,EH,BH;故答案為：AH, / HAE , EH , BH .(2) (1)中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖 1,延長CB至M,使BM=DF,.Z ABC+Z D= 180 , /1 + /ABC=180圈 1./ 1 = / D,?= ?在4ABM 與4ADF 中，/1= / ?= ?.ABMAADF (SAS).，AF = AM, /2=/3. /EAF= L/BAD, .2+/4= 1/BAD = /EAF. .

14、 . / 3+/ 4= / EAF ,即/ MAE = /EAF.22?= ?在 AME 與 AFE 中， / ?/ ?. AMEAFE ( SAS).?= ? .EF=ME,即 EF= BE+BM .，EF = BE+DF.EF = BE - FD.證明：如圖2,在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG. 如. Z B+Z ADC= 180 , Z ADF+Z ADC = 180 , . . / B=/ADF.? ?.在 ABG 與ADF 中，/ ?/ ? ?ABGA ADF (SAS)./ BAG = /DAF, AG=AF.BAG+ Z EAD = Z DAF+Z EAD = Z EAF

15、= 1/ BAD. . . / GAE = Z EAF .2,.AE=AE,易證 AEGA AEF (SAS).，EG = EF, EG= BE- BG, . EF = BE FD .故答案為：EF=BE- FD .鞏固練習(xí)1 .(2019?三臺(tái)期末)如圖所示，AB = AC, AD = AE,Z BAC = Z DAE , Z 1 = 25 , Z 2= 30，則/3= 55BC【點(diǎn)睛】 求出/ BAD = /EAC,證 BADA CAE,推出/ 2 = /ABD = 30 ,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求 出即可.【詳解】 解：BAC = /DAE, ./ BAC / DAC = /DAE / D

16、AC,/ 1 = / EAC ,? ?在 BAD 和 CAE 中，/ ?/ ? ?BADA CAE (SAS), :人 2=/ABD = 30 ,.Z 1 = 25 ,3=Z 1+Z ABD=25 +30 =55 ,故答案為： 552. （2019?安陸市期末）如圖，在4ABC 中，/ A= 90 , AB=AC, / ABC 的平分線 BD 交 AC 于點(diǎn) D, CEXBD,交BD的延長線于點(diǎn)E,若 BD = 8,則 CE= 4【點(diǎn)睛】延長BA、CE相交于點(diǎn)F,利用“角邊角”證明 BCE和4BFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=EF,根據(jù)等角的余角相等求出/ ABD=/ACF,然后利

17、用“角邊角”證明4ABD和4ACF 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD = CF,然后求解即可.【詳解】解：如圖，延長 BA、CE相交于點(diǎn)F,BD 平分/ABC,，/ABD = /CBD?在 BCE和 BFE中,?= ? . BCEA BFE (ASA),CE=EF,/ ?/ ?90. /BAC=90 , CE BD, . . / ACF + / F = 90 , /ABD+/F = 90 ,./ ABD = / ACF,/ ?/ ?在 ABD 和 AACF 中，?, ABDA ACF (ASA) ,，BD = CF,/ ?/ ?00 .CF=CE+EF=2CE,，BD=2CE=8, .

18、CE = 4.故答案為：4.(2019?廬陽區(qū)期末)如圖，已知 ACXBC, BDXAD, AC與BD交于點(diǎn) O, AC=BD,求證： OAB是【詳解】 證明：. ACBC, BDXAD.-.Z D=Z C=90在 RtAABD 和 Rt BAC 中，?= ? ? ? RtAABD RtA BAC (HL), . / DBA = Z CAB ,，OA = OB,即 OAB 是等腰三角形.(2019?新賓期末)如圖，在 ABC中，/ ACB = 45 ,過點(diǎn) A作ADLBC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),且 ED = BD.(1)求證： ABDACED;(2)若CE為/ ACD的角平分線，求/ BAC

19、的度數(shù).【點(diǎn)睛】(1)證出 ADC是等腰直角三角形， 得出AD=CD, ZCAD = Z ACD =45 ,由SAS證明 ABD0CED即可;(2)由角平分線定義得出/ ECD= 1/ACD=22.5，由全等三角形的性質(zhì)得出/ BAD = / ECD = 22.5 , 即可得出答案.【詳解】(1)證明：.ADXBC, Z ACB = 45 ,丁./ADB = / CDE = 90 , ADC是等腰直角三角形，AD = CD, Z CAD=Z ACD= 45 , ?= ?在ABD 與ACED 中，/ ?/ ?. ABD CED ( SAS);?= ?(2)解： CE 為/ACD 的角平分線，EC

20、D= 1/ACD = 22.5 ,由(1)得： ABDCED, ./ BAD = Z ECD = 22.5 ,Z BAC = Z BAD+ Z CAD = 22.5 +45 =67.5 .(2020?龍崗區(qū)模擬)如圖，在 ABC中，/ABC = 60 , AD、CE分別平分/ BAC、/ ACB,求證：AC =AE+CD .【點(diǎn)睛】 在AC上取AF = AE,連接OF,即可證得 AEOAAFO,得/ AOE = /AOF;再證得/ COF = /COD,則根據(jù)全等三角形的判定方法ASA即可證 FOCADOC,可得DC = FC,即可得結(jié)論.【詳解】證明：在AC上取AF = AE,連接OF,.

21、AD 平分/ BAC、 ./ EAO = /FAO, ?= ?在 AEO 與 AFO 中，/ ?/ ? ?= ?AEOA AFO (SAS), . / AOE = / AOF ;. AD、CE 分別平分/ BAC、/ ACB, ./ECA+/DAC= 1Z ACB+1Z BAC=1(/ACB + /BAC) = 1(180-ZB) =602222則/AOC=180 / ECA- Z DAC = 120 ;.Z AOC = Z DOE = 120 , / AOE = /COD = /AOF = 60 ,則/COF = 60 ,，/COD=/COF,/ ?/ ?在 FOC 與 DOC 中，?= ?

22、, FOCA DOC (ASA),/ ?/ ?DC = FC, AC = AF+FC,，AC = AE+CD.6.（2019?福州期末）如圖，在 ABC中，/ ABC60 , / BAC60 ,以AB為邊作等邊 ABD （點(diǎn)C,D在邊AB的同側(cè)），連接CD.（I）若/ ABC=90 , / BAC = 30 ,求/ BDC 的度數(shù)；（II）當(dāng)/ BAC=2/BDC時(shí)，請(qǐng)判斷 ABC的形狀并說明理由;（出）當(dāng)/ BCD等于多少度時(shí)，/ BAC = 2/ BDC恒成立.【點(diǎn)睛】（I）先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明AC為BD的垂直平分線，從而可得到 CD = CB,則/BDC = / DBC =

23、/ ABC - / ABD ;(II)設(shè)/BDC=x,則/BAC=2x, Z CAD = 60 - 2x, Z ADC =60 +x,然后可證明/ ACD = /ADC, 則AC = AD ,于是可得至ij AB = AC;(III)當(dāng)/ BCD=150時(shí)，/ BAC= 2/BDC恒成立，如答圖所示：作等邊 BCE,連接DE,則BC = EC, ZBCE=60 .先證明 BCDECD,從而可得到/ BDE = 2 / BDC ,然后再證明 BDEA BAC, 從而可得到/ BAC=/BDE.【詳解】解：. ABD為等邊三角形，.Z BAD = Z ABD=60 , AB=AD,又. / BAC

24、 = 30 , AC平分/ BAD ,AC垂直平分 BD,，CD = CB.BDC = / DBC = /ABC / ABD = 90 60 =30 ABC是等腰三角形.理由：設(shè)/ BDC = x,則/ BAC=2x, Z CAD = 60 2x, Z ADC = 60 +x./CAD =180 - / CAD-Z ADC =60 +x,/ ACD = /ADC,，AC = AD. AB= AD, .l. AB = AC,即 ABC 是等腰三角形.(III)當(dāng)/ BCD=150 時(shí)，/ BAC= 2/BDC 恒成立.如圖：作等邊 BCE,連接 DE,貝U BC=EC, /BCE=60 . AE

25、. /BCD =150 , ECD = 360 - Z BCD - Z BCE= 150 ,./ DCE = Z DCB ,又 CD = CD , BCDA ECD,丁./BDC = / EDC,即/BDE = 2/BDC.又 ABD 為等邊三角形，.AB=BD, Z ABD = Z CBE = 60 , . . / ABC=Z DBE =60 + / DBC .又. BC = BE, BDEA BAC, . / BAC=/BDE, . / BAC=2/BDC.7. (2019?靖江市期末)已知：如圖： AB/ CD, AB=CD, AD、BC相交于點(diǎn) O, BE / CF , BE、CF分別

26、交 AD于點(diǎn)E、F,求證：(1) OA=OD; (2) BE = CF.【詳解】 證明：(1) .AB/CD,，/A=/D,? / ?在ABO 與CDO 中，/ ?/ ? ?ABOA CDOAO=CO;(2) AB/ CD, A=Z D. BE/CF, ./ BEO = Z CFO,/ AEB= / DFC ,/ ? / ?在 AEBA 和 4FCD 中，/?/ ?. ABEA DCF (AAS). . EB= CF . ? ?8.(2019?越城區(qū)校級(jí)期中) 如圖，四邊形 ABCD , AD / BC, Z B= 90 , AD = 12cm, AB= 10cm, BC= 15cm,動(dòng)點(diǎn)P從

27、點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)到 C點(diǎn)返回,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒2cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)PQ分別從點(diǎn)B, A同時(shí)出發(fā),Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (秒).(1)當(dāng)0v tv 5時(shí)，是否存在點(diǎn)P,使四邊形PQDC是平行四邊形，若存在,求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由;(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以C, D,Q, P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30cm2;(3)當(dāng)0vtv5時(shí)，是否存在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)或點(diǎn)P返回時(shí)，再利用梯形面積公式，即(?+?)x ?二 30,因?yàn)镼、P點(diǎn)的速度已知,AD、AB、P,使 PQD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的【點(diǎn)睛】(1)根據(jù)運(yùn)動(dòng)得出CP=15-3t, DQ = 12-2t,進(jìn)而用平行四邊形的對(duì)邊相等建立方程求解即可;(2)要使以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的梯形面積等于 30cm2,可以分為兩種情況，點(diǎn)P、Q分別沿AD、BC。D