1、 4/4空間中的點、直線與空間向量【學習目標】1通過學習直線的方向向量，公垂線段等概念2利用向量法證明兩直線垂直，求兩直線所成的角，提升邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng)3了解空間中的點與空間向量的關系4理解公垂線段的概念并會求其長度【學習重難點】1理解直線的方向向量（重點）2掌握利用空間向量求空間兩直線所成的角的方法（重點、難點）3掌握利用空間向量證明兩條直線平行或垂直的方法（重點）【學習過程】一、新知初探1空間中的點與空間向量一般地，如果在空間中指定一點O，那么空間中任意一點P的位置，都可以由向量eq o(OP,sup7()唯一確定，此時，eq o(OP,sup7()通常稱為點P的位置向量2空間中的

2、直線與空間向量一般地，如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個方向向量此時，也稱向量v與直線l平行，記作vl（1）如果A、B是直線l上兩個不同的點，則veq o(AB,sup7()，即為直線l的一個方向向量（2）如果v1是直線l1的一個方向向量，v2是直線l2的一個方向向量，則v1v2l1l2或l1與l2重合3空間中兩條直線所成的角（1）設v1、v2分別是空間中直線l1，l2的方向向量，且l1與l2所成角的大小為，則v1，v2或v1，v2，所以sinsinv1，v2，cos|cosv1，v2|（2）v1，v2eq f(

3、,2)l1l2v1v204異面直線與空間向量設v1，v2分別是空間中直線l1與l2的方向向量（1）若l1與l2異面，則v1與v2的關系為v1與v2不平行（2）若v1與v2不平行，則l1與l2的位置關系為相交或異面（3）若Al1，Bl2，則l1與l2異面時，v1，v2，eq o(AB,sup7()不共面若v1，v2，eq o(AB,sup7()不共面，則l1與l2異面（4）公垂線段：一般地，如果l1與l2是空間中兩條異面直線，Ml1，Nl2，MNl1，MNl2則稱MN為l1與l2的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長，稱為這兩條異面直線之間的距離二、初試身手1思考辨析（正確的打“”，錯誤的打“”

4、）（1）直線l的方向向量是唯一的（ ）（2）若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反（ ）（3）若向量a是直線l的一個方向向量，則向量ka也是直線l的一個方向向量（ ）2（教材P36練習A改編）設A（2,2,3），B（4,0,1）在直線l上，則直線l的一個方向向量為（ ）A（1,2,5）B（3，2，2）C（1，1，1）D（1,1，1）3若異面直線l1，l2的方向向量分別是a（0，2，1），b（2,0,4），則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于（ ）Aeq f(2,5)Beq f(2,5)Ceq f(2r(5),5)Deq f(2r(5),5)4直線l1，l2的方向向量分別為v1（3,

5、0,2），v2（1,0，m），若l1l2，則m等于_三、合作探究類型1：空間中點的位置確定【例1】已知O是坐標原點，A，B，C三點的坐標分別為A（3，4,0），B（2,5,5），C（0,3,5）（1）若eq o(OP,sup7()eq f(1,2)（eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()），求P點的坐標；（2）若P是線段AB上的一點，且APPB12，求P點的坐標類型2：利用向量法求異面直線的夾角（或余弦值）【例2】（1）若向量a（x,4,5），b（1，2,2），且a與b的夾角的余弦值為eq f(r(2),6)，則x（ ）A3B3C11D3或11類型3：利用空間向量處理平行問題

6、【例3】（1）已知向量a（2,4,10），b（3，x,15）分別是直線l1、l2的方向向量，若l1l2，則x_（2）如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證：FC1平面ADE【學習小結】1空間中的點與直線可以利用空間坐標與直線的方向向量來研究，更進一步研究空間幾何中的平行、垂直關系2在解決空間中直線與直線所成角的問題時，既可構造相應的角求解，也可以借助空間向量求解，建立空間直角坐標系或選擇合適的基底都能解決問題3利用空間坐標系可以研究異面直線問題，如異面直線所成的角、異面直線的距離等【精煉反饋】1若A（1,0,1），B（2,3,4）在直線l上，則直線l的一個方向向量是（ ）A（1,3,3）B（1,3,3）C（3,3,5）D（2,4,6）2向量a（x,1，2），b（3，x,4），ab，則x（ ）A8B4C2D03直線l1與l2不重合，直線l1的方向向量為v1（1,1,2），直線l2的方向向量為v2（2,0，1），則直線l1與l2的位置關