1、7.2 離散型隨機(jī)變量及其分布列(精練)【題組一 隨機(jī)變量的辨析】1(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是( )A至少取到1個(gè)白球B取到白球的個(gè)數(shù)C至多取到1個(gè)白球D取到的球的個(gè)數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義可得選項(xiàng)B是隨機(jī)變量，其可以一一列出，其中隨機(jī)變量X的取值0,1,2.故選：B.2(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))下列變量中，不是隨機(jī)變量的是_(填序號(hào)).下一個(gè)交易日上證收盤指數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下冰水混合物的溫度；明日上課某班(共50人)請(qǐng)假同學(xué)的人數(shù)；小馬登錄QQ找小胡聊天，設(shè)X.【答案】【解析】根據(jù)隨機(jī)變量的定義可知，是隨機(jī)變

2、量，標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下冰水混合物的溫度為,所以不是隨機(jī)變量，所以不是隨機(jī)變量.故答案為：【題組二 離散型隨機(jī)變量及取值】1(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：一高速公路上某收費(fèi)站在1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量；一個(gè)沿直線yx進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置是一個(gè)隨機(jī)變量；某無線尋呼臺(tái)1分鐘內(nèi)接到的尋呼次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量；1天內(nèi)的溫度是一個(gè)隨機(jī)變量.其中是離散型隨機(jī)變量的為( )ABCD【答案】C【解析】中經(jīng)過的車輛數(shù)和中尋呼次數(shù)都能列舉出來，而中都不能列舉出來，所以中的是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.故選：C.2(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知4支鋼筆的單價(jià)分別為10元、20元、30

3、元、40元從中任取2支，若以表示取到的鋼筆的較高單價(jià)(單位：元)，則的取值范圍為( )ABCD【答案】D【解析】表示取出的2支鋼筆為10元和20元，余類推，則任取2支鋼筆的單價(jià)(單位：元)的所有可能情況為，故取到的鋼筆的較高單價(jià)為20元、30元、40元，即的取值范圍為故選：D3(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，那么表示的試驗(yàn)結(jié)果為( )A一枚1點(diǎn)一枚3點(diǎn)B兩枚都是4點(diǎn)C兩枚都是2點(diǎn)D一枚1點(diǎn)一枚3點(diǎn)，或者兩枚都是2點(diǎn)【答案】D【解析】拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為4包括：一枚1點(diǎn)一枚3點(diǎn)，或者兩枚都是2點(diǎn)，故選：D4(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))(多選)下列變量中，不是離

4、散型隨機(jī)變量的是( )A到年月日止，我國(guó)被確診的患新型冠狀病毒肺炎的人數(shù)B一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C某人在車站等出租車的時(shí)間D某人投籃次，可能投中的次數(shù)【答案】BC【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，即可以按照一定次序一一列出，可能取值為有限個(gè)或無限個(gè)，選項(xiàng)B、C中的變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，而選項(xiàng)A、D中的變量都是離散型隨機(jī)變量，故選：BC.5(2021全國(guó)高二課前預(yù)習(xí))(多選)下面是離散型隨機(jī)變量的是( )A某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的游客數(shù)量XB某外賣員一天內(nèi)收到的點(diǎn)餐次數(shù)XC某水文站觀察到一天中長(zhǎng)江的最高水位XD某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X【答案】ABD【解析】ABD中隨機(jī)變量X所有可能取的

5、值我們都可以按一定次序一一列出，因此它們都是離散型隨機(jī)變量，C中X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量6(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))(多選)下列是離散型隨機(jī)變量的是( )A某座大橋一天經(jīng)過的某品牌轎車的輛數(shù)為B某網(wǎng)站中某歌曲一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)為C一天內(nèi)的溫度為D射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用表示該射手在一次射擊中的得分【答案】ABD【解析】ABD中的都滿足離散型隨機(jī)變量的四個(gè)特征，而一天內(nèi)的溫度變化的范圍是連續(xù)的，無法逐一列出，故C不是離散型隨機(jī)變量.故選：ABD7(2021福建莆田第二十四中學(xué)高二月考)(多選)下面是離散型隨機(jī)變量的是( )A

6、某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為XB某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為XC測(cè)量一批電阻，在950 1 200 之間的阻值記為XD一個(gè)在數(shù)軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置記為X【答案】AB【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義知，A，B是離散型隨機(jī)變量故選：AB.8(2021江蘇省蘇州第一中學(xué)校高二期中)(多選)如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，那么下列命題中是真命題的為( )AX取每一個(gè)可能值的概率是正數(shù)BX取所有可能值的概率和為1CX取某兩個(gè)可能值的概率等于取其中每個(gè)值的概率之和DX在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，X取每一個(gè)可能值的

7、概率是非負(fù)數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，X取所有可能值的概率和為1，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，X取某兩個(gè)可能值的概率等于取其中每個(gè)值的概率之和，故C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，X在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC9(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))判斷下列變量是否是隨機(jī)變量，若是，是否為離散型隨機(jī)變量.(1)某市醫(yī)院明天接到120急救電話的次數(shù)；(2)公交車司機(jī)下周一收取的費(fèi)用；(3)某單位下個(gè)月的用水量；(4)某家庭上個(gè)月的電話費(fèi).【答案】(1)是隨機(jī)變量，是離散型隨機(jī)變量；(2)是隨機(jī)變量，是離散型隨機(jī)變量；(3)是隨機(jī)變量，不是離散型隨機(jī)變量；(4)不

8、是隨機(jī)變量.【解析】(1)的取值，隨各種原因的變化而變化，可能為0，1，2，是隨機(jī)變量，也是離散型隨機(jī)變量；(2)的取值隨乘客的數(shù)量變化而變化，是隨機(jī)變量，也是離散型隨機(jī)變量.(3)的取值，隨各種原因的變化而變化，可能取0，)內(nèi)某一區(qū)間上的所有值，無法一一列出，是隨機(jī)變量，但不是離散型隨機(jī)變量.(4)的取值是一個(gè)定值，故不是隨機(jī)變量.10(2021全國(guó))寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果在含有8件次品的50件產(chǎn)品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件數(shù)是隨機(jī)變量【答案】答案見解析【解析】隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3，4表示“抽取0件次品”；表示“抽取1件

9、次品”；表示“抽取2件次品”；表示“抽取3件次品”；表示“抽取的全是次品”【題組三 分布列的性質(zhì)的應(yīng)用】1(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)是離散型隨機(jī)變量，則下列不一定能成為的概率分布列的一組概率的是( )A0.1，0.2，0.2，0.3，0.3B0.1，0.2，0.3，0.4C，(為實(shí)數(shù))D，(，)【答案】C【解析】對(duì)于A，概率和不為1，一定不符合；顯然B滿足，故一定符合；對(duì)于D，有，又且，所以它滿足分布列的性質(zhì)，對(duì)于C，由于為實(shí)數(shù)，不妨取，顯然，不滿足概率的非負(fù)性，而當(dāng)時(shí)，滿足分布列的性質(zhì)，所以C不一定符合，故選：C2(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知隨機(jī)變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則( )

10、 ABCD【答案】D【解析】因?yàn)椋獾?故.故選：3(2021黑龍江哈爾濱三中高二月考)已知隨機(jī)變量的概率分布如下：12345678910則( )ABCD【答案】C【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，可知，所以.故選：C.4(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為-10123則下列各式正確的是( )ABCD【答案】AB【解析】由分布列可知，事件“”不存在，A正確；，B正確；，C，D均不正確.故選AB.5(2021全國(guó)高二單元測(cè)試)已知隨機(jī)變量的概率分布如下表，且，則_0123P0.1mn0.1【答案】0.2【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)以及已知條件得，解得，因此故

11、答案為：0.2.6(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2b2的最小值為_【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)，知，即.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：7(2021江西省興國(guó)縣第三中學(xué)高二月考(理)某籃球運(yùn)動(dòng)員在一次投籃訓(xùn)練中的得分的分布列如下表所示，其中成等差數(shù)列，且023則這名運(yùn)動(dòng)員得3分的概率是_【答案】【解析】由題知，又成等差數(shù)列，有，由分布列的性質(zhì)知，且，聯(lián)立，解得，.由表可知，這名運(yùn)動(dòng)員得3分的概率是.故答案為：.8(2021全國(guó)高二單元測(cè)試)若隨機(jī)變量X的概率分布如表，則表中a的值為_X1234P0.20.30.3a【答案】0

12、.2【解析】由隨機(jī)變量X的概率分布表得：，解得故答案為：0.29(2021浙江麗水高二課時(shí)練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為1234則_【答案】【解析】由，解得，.故答案為：.10(2021江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)高二月考)隨機(jī)變量的分布列如表格所示，則的最小值為_10【答案】9【解析】根據(jù)概率分布得，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)即的最小值為9故答案為：9【題組四 離散型隨機(jī)變量的分布列】1(2021廣東清遠(yuǎn)市清新區(qū)鳳霞中學(xué)高二期中)某市，兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人

13、、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)(1)求中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)表示參賽的男生人數(shù)，求的分布列【答案】(1)；(2)分布列見解析.【解析】(1)由題意知，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6人代表隊(duì)中的學(xué)生全從中學(xué)抽取(等價(jià)于中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為，因此，中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為；(2)根據(jù)題意，知的所有可能取值為1，2，3，所以的分布列為1232(2021山東威海高二期末)在中國(guó)足球超級(jí)聯(lián)賽中，甲、乙兩隊(duì)將分別在城市，城市進(jìn)行兩場(chǎng)比賽. 根據(jù)兩隊(duì)之間的歷史戰(zhàn)績(jī)統(tǒng)計(jì)，在城市比賽時(shí)，甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為，平乙隊(duì)的概率為

14、；在城市比賽時(shí)，甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為，平乙隊(duì)的概率為，兩場(chǎng)比賽結(jié)果互不影響. 規(guī)定每隊(duì)勝一場(chǎng)得分，平一場(chǎng)得分，負(fù)一場(chǎng)得分.(1)求兩場(chǎng)比賽甲隊(duì)恰好負(fù)一場(chǎng)的概率；(2)求兩場(chǎng)比賽甲隊(duì)得分的分布列.【答案】(1)；(2)分布列見解析.【解析】(1)設(shè)甲隊(duì)在城市比賽負(fù)的事件為，甲隊(duì)在城市比賽負(fù)的事件為，由題意可知， ， 甲隊(duì)恰好負(fù)一場(chǎng)的事件是與的和，它們互斥，所以；(2)由題意可知，隨機(jī)變量的所有可能值是， ， 則的分布列為3(2021全國(guó)高二專題練習(xí))4月23日是“世界讀書日”，學(xué)校開展了一系列的讀書教育活動(dòng)學(xué)校為了解高二學(xué)生課外閱讀情況，從高二某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀

15、書小組)學(xué)生中抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：小組甲乙丙丁人數(shù)4323(1)從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一個(gè)小組的概率；(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2個(gè)，用X表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列【答案】(1)；(2)分布列見解析【解析】(1)由題意從12人中任抽取2人的方法為，由題設(shè)知，甲、乙、丙、丁四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為4，3，2，32人來自同一組的方法數(shù)為，所以所求概率為；(2)隨機(jī)變量的取值依次為，分布列為0124(2021福建莆田第二十四中學(xué)高二月考)從一批含有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一個(gè)一個(gè)地抽取，設(shè)每個(gè)產(chǎn)

16、品被抽到的可能性相同在下列兩種情況下，分別求出取到合格品所需抽取次數(shù)X的分布列(1)每次取出的產(chǎn)品都不放回到該批產(chǎn)品中；(2)每次取出的產(chǎn)品都立即放回到該批產(chǎn)品中，然后再任取一個(gè)產(chǎn)品【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】(1)X的所有可能取值為1，2，3，4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列為X1234P(2) X的所有可能取值為1，2，3nX1，即第一次取出合格品，故P(X1)，X2，即第2次取到合格品，第1次取到不合格品，故P(X2)，Xn，即第n次取到合格品，前(n1)次取到的產(chǎn)品均不合格，故P(Xn)，故X的分布列為X12nP5(2021浙江麗

17、水高二課時(shí)練習(xí))一袋中裝有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取3只，以表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量的分布列.【答案】分布列答案見解析【解析】隨機(jī)變量的可能取值為3，4，5.當(dāng)=3時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為3，則其他兩只球的編號(hào)只能是1，2，故有P(=3)=；當(dāng)=4時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為4，則其他兩只球只能在編號(hào)為1，2，3的3只球中取2只，故有P(=4)=；當(dāng)=5時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為5，則其他兩只球只能在編號(hào)為1，2，3，4的4只球中取2只，故有P(=5)=.因此的分布列為345P6(2021全國(guó)高二單元測(cè)試)某高校對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行了一次“身體素質(zhì)測(cè)

18、試”，包括鉛球、50米跑、立定跳遠(yuǎn)三項(xiàng)現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為x，y，z，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示優(yōu)良，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定身體素質(zhì)等級(jí)，若，則為一級(jí)；若，則為二級(jí)；若，則為三級(jí)為了了解該校學(xué)生身體素質(zhì)的情況，隨機(jī)抽取了10人的測(cè)試成績(jī)，得到如下表所示結(jié)果：編號(hào)編號(hào)(1)在這10人中任取2人，求抽取的2人指標(biāo)z相同的概率；(2)從等級(jí)是一級(jí)的人中任取1人，其綜合指標(biāo)記為m，從等級(jí)不是一級(jí)的人中任取1人，其綜合指標(biāo)記為n，記隨機(jī)變量，求X的分布列【答案】(1)；(2)分布列見解析.【解析】(1)由表可知，指標(biāo)z為0的有，指標(biāo)z為1的有，指標(biāo)z為2的有，在這10人中任取2

19、人，所有的情況種數(shù)為，抽取的2人指標(biāo)z相同包含的情況種數(shù)為，所以抽取的2人指標(biāo)z相同的概率(2)由題意得10人的綜合指標(biāo)如表：編號(hào)綜合指標(biāo)1446245353其中等級(jí)是一級(jí)的有，共6個(gè)，等級(jí)不是一級(jí)的有，共4個(gè)隨機(jī)變量X的取值范圍為，所以X的分布列為：X12345P7(2021全國(guó)高二單元測(cè)試)隨著國(guó)家對(duì)體育、美育的高度重視，不少省份已經(jīng)宣布將體育、美育納入中考范疇某學(xué)校為了提升學(xué)生的體育水平，決定本學(xué)期開設(shè)足球課，某次體育課上，體育器材室的袋子里有大小、形狀相同的2個(gè)黃色足球和3個(gè)白色足球，現(xiàn)從袋子里依次隨機(jī)取球(1)若連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，求取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率；(2

20、)若無放回地取3次，每次取1個(gè)球，取出黃色足球得1分，取出白色足球不得分，求總得分X的分布列【答案】(1)；(2)分布列見解析.【解析】(1)從袋子里連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，設(shè)事件A為“取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球”，則(連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，求取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率問題可轉(zhuǎn)化為從5個(gè)足球中選出3個(gè)足球，其中有1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率問題)(2)X的取值范圍為，則，所以總得分X的分布列為：X012P8(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))某師范大學(xué)地理學(xué)院決定從n位優(yōu)秀畢業(yè)生(包括x位女學(xué)生，3位男學(xué)生)中選派2位學(xué)生到某貧困山區(qū)的一所中學(xué)擔(dān)任第三批頂崗實(shí)習(xí)教師.每一位學(xué)生被派的機(jī)會(huì)是相同的.(1)若選派的2位學(xué)生中恰有1位女學(xué)生的概率為，試求出n與x的值；(2)在(1)的條件下，記X為選派的2位學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù)，寫出X的分布列.【答案】(1)n5，x2或n6，x3；(2)答案見解析.【解析】(1)從n位優(yōu)秀畢業(yè)學(xué)生中選派2位學(xué)生擔(dān)任第三批頂崗實(shí)習(xí)教師的總結(jié)果數(shù)為，2位學(xué)生中恰有1位女生的結(jié)果數(shù)為依題意可得，化簡(jiǎn)得n211n300，解得n15，n26.當(dāng)n5時(shí)，x532；當(dāng)n6時(shí)，x633，故所求的值為n5，x2或n6，x3；