1、2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市五校協(xié)作體高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1A，B分別是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，O是坐標(biāo)原點，若，則一定是（）A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形B【分析】設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)模長相等列出等量關(guān)系，可以找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而判斷三角形邊的關(guān)系【詳解】設(shè)，則，若，則，等價于，所以，則為直角三角形故選：B2若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的表面積是（）A3BC6D9A【分析】求得圓錐的底面半徑和母線長，由此求得圓錐的表面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長為.，所以圓錐的底面半徑為，高為，母線長為.所以圓錐的表面積為.故選

2、：A3若，則（）ABCDD【分析】利用倍角公式求、(注意1的靈活運用)，代入計算【詳解】則可得：故選：D4如圖，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面邊長為，側(cè)棱長為，則與側(cè)面所成的角是ABCDA【分析】以為原點，在平面中，過點作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出與側(cè)面所成的角【詳解】解：以為原點，在平面中，過點作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)與側(cè)面所成的角為，則，與側(cè)面所成的角為故選：本題考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題5已知，則的值為（）ABC

3、DB先根據(jù)二倍角余弦公式求，解得，最后根據(jù)兩角差余弦公式得結(jié)果.【詳解】或因為，所以故選：B本題考查二倍角余弦公式、兩角差余弦公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.6已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，.若球心在三棱錐的高的三等分點處，則球的半徑為（）ABCDB【分析】利用球心O為的三等分點設(shè)未知數(shù)，在直角三角形中列方程求解，可得半徑【詳解】解：如圖，設(shè)，則，在底面正三角形中，求得，在直角三角形中，得，球的半徑為，故選：B.此題考查了三棱錐外接球，難度較小屬于基礎(chǔ)題.7如下圖，在平面四邊形ABCD中，若點M為邊BC上的動點，則的最小值為（）ABCDB【分析】以點為原點，以，所在的直線為和軸，

4、建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，即可求解.【詳解】以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，過點作軸，過點作軸，因為且，則，所以，設(shè)，則，所以，所以的最小值為.故B.8在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a1，則ABC面積的取值范圍為ABCDA【分析】由題意首先求得ABC的外接圓半徑，然后將三角形面積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的函數(shù)，由ABC為銳角三角形可得，據(jù)此確定ABC的面積的取值范圍即可.【詳解】由正弦定理可得， ，又為銳角三角形，即，.本題選擇A選項.求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不

5、等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.二、多選題9已知向量，其中m，n均為正數(shù)，下列說法正確的是（）AB與的夾角為鈍角C若，則D若，則AC【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可判斷A；根據(jù)即可判斷B；根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷C；根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示即可判斷D.【詳解】解：對于A，故A正確；對于B，所以與的夾角為銳角，故B錯誤；對于C，若，則，即，故C正確；對于D，若，則，即，故D錯誤.故選：AC.10若的內(nèi)角，所對的邊分別為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A角一定為銳角BCD的最小值為BC【分析】結(jié)合降次公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、正弦定理、

6、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡已知條件，然后對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】依題意，為鈍角，A選項錯誤.，B選項正確.，由正弦定理得，由于，為鈍角，為銳角，所以兩邊除以得，.C選項正確.，整理得，由于為鈍角，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以，D選項錯誤.故選：BC11如圖，在菱形中，為的中點，將沿直線翻折成，連接和，為的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）AB的長為定值C與的夾角為D當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積是ABD【分析】利用線面垂直證明線線垂直，判斷A選項；取中點，連接，結(jié)合余弦定理，求得，并判斷B選項；利用幾何法將與的夾角轉(zhuǎn)化為與的夾角，判斷C選項；將幾何體

7、還原為長方體，求得外接球半徑，進(jìn)而判斷D選項.【詳解】A選項：由題意在菱形中，為的中點，所以，又，所以，且將沿直線翻折成，所以，又，平面，又平面，所以，故A選項正確；B選項：如圖所示，取中點，連接，所以，且，又因為為的中點，所以，且又由A選項得，所以且，所以，在中，由余弦定理得：，即，故B選項正確；C選項：由B選項得，所以與的夾角即為與所成角，且，所以，所以，故C選項錯誤；D選項：當(dāng)三棱錐的體積最大時，平面，由四邊形為菱形，且，可知，故三棱錐的外接球即為其所在矩形的外接球，故外接球半徑，外接球表面積，故D選項正確；故選：ABD.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認(rèn)真分析圖形，

8、明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.12已知復(fù)數(shù)，滿足，（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（）ABC的最小值為D的最小值為4ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義作出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的圖形，數(shù)形結(jié)合，可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)以及其共軛復(fù)數(shù)的模的關(guān)系，判斷B；數(shù)形結(jié)合判斷C,D.【詳解】由可知，表示的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點都落在兩點連線的中垂線上，即如圖直線m上，m與y軸交點為 ，由可知， 對應(yīng)的點都在以點為圓心，半徑為2的圓上，如圖，則的最小

9、值為 ，的最大值為 ，而 ，故，故A正確；由于，故，故B正確； 對應(yīng)的點在直線上，如圖，和直線m關(guān)于x軸對稱，過點A作n的垂線，交圓于D,交n于E點，則的最小值即為的長，為 ，故C正確；設(shè)中對應(yīng)的圓與x軸切于B點，過B作m的垂線，垂足為C,則的最小值即為BC的長，即為 ，故D錯誤，故選：ABC三、填空題13 的值_.1【分析】由，結(jié)合輔助角公式可知原式為，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及二倍角公式可求值.【詳解】解： .故答案為:1.本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式，考查了輔助角公式，考查了誘導(dǎo)公式.本題的難點是熟練運用公式對所求式子進(jìn)行變形整理.14已知，分別是與方向相同的單位向量，在上的

10、投影向量為，在上的投影向量為，則與的夾角為_.根據(jù)向量的投影定義，列出方程，求解，再根據(jù)夾角公式，即可求解.【詳解】由題意，得解得.，.故本題考查向量投影公式、夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.15下面有六個函數(shù)的最小正周期是；終邊在y軸上的角的集合是；在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個公共點；把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象；函數(shù)在上是單調(diào)遞減的；函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形其中真命題的序號是_【分析】化簡，求得其最小正周期，判斷；終邊在y軸上的角的集合為，判斷；根據(jù)的大小關(guān)系判斷；根據(jù)三角函數(shù)的圖象的平移變換規(guī)律，判斷；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；根據(jù)正切函數(shù)的對稱性判斷.【詳解】對于，其最小

11、正周期為 ，正確；對于，終邊在y軸上的角的集合是，錯誤；對于，當(dāng)時， ；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)或時，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象無交點，即函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象只有一個交點，故錯誤；對于，把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象，正確；對于，對于函數(shù)，當(dāng)時，由于 在時單調(diào)遞增，故在上是單調(diào)遞增的，錯誤；對于，當(dāng)時，故函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，正確，故16正方體的棱長為，點，分別是、的中點，以為底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三個頂點也都在該正方體的表面上，則這個正三棱柱的高為_【分析】分別取過C點的三條面對角線的中點，則此三點為棱柱的另一個底面的三個頂點，利用中位線定理證明于是三棱柱的高為正方體體對角線的一

12、半【詳解】連結(jié)A1C，AC，B1C，D1C，分別取AC，B1C，D1C的中點E，F(xiàn)，G，連結(jié)EF，EG，F(xiàn)G由中位線定理可得PEA1C，QFA1C，RGA1C又A1C平面PQR，三棱柱PQREFG是正三棱柱三棱柱的高h(yuǎn)PEA1C故本題考查了正棱柱的結(jié)構(gòu)特征，作出三棱柱的底面是計算棱柱高的關(guān)鍵四、解答題17已知為虛數(shù)單位.（1）計算：；（2）若，求復(fù)數(shù).（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)計算即可；（2）設(shè)，求出，的值，求出即可【詳解】（1）.（2）設(shè)，則由，得，則解得或則或.18已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍.（1）；（2）.【分析】（1

13、）根據(jù)函數(shù)零點與函數(shù)周期的關(guān)系，結(jié)合正弦型函數(shù)的最小正周期公式、特殊值法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩角和的正弦公式、降冪公式，結(jié)合輔助角公式和正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由圖可得，則，又，解得，；（3）.，則當(dāng)時，取得最小值為0，當(dāng)時，取得最大值為，的取值范圍為.19已知四棱錐中，平面平面，底面為矩形，點E在AD上，且，為AB的中點，(1)證明：；(2)求點到平面的距離(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，由平面平面，證得平面，得到，再由，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理證得平面，即可證得；（2）設(shè)，點到平面的距離為，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】(1)證明：如圖所示，連接

14、，因為平面平面，且，為AB的中點，所以，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形為矩形，所以，且，所以，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以.(2)解：設(shè)，點到平面的距離為，由（1）知平面，所以，所以 ，因為，即，所以，解得，即點到平面的距離為.20如圖，在平面四邊形中，.的平分線與交于點E，且.（1）求及；（2）若，求四邊形周長的最大值.（1），（2）【分析】（1）在中，由正弦定理，求解出，再由得到和，根據(jù)余弦定理求解出的值即可；（2）由（1）知，令，在中，由余弦定理可以得到，再由基本不等式可求出的最大值，即可求出四邊形周長的最大值.【詳解】（1）在中，由正弦定理，所以. 又，則，所以.

15、所以，. 所以.在中，根據(jù)余弦定理得，所以.（2）由（1）知，令，在中，根據(jù)余弦定理得，即有，即， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，四邊形周長的最大值為.本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力和計算能力，屬于中檔題.21已知函數(shù)中圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為（I）求的值；已知，函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間（I）；（）函數(shù)在上的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【分析】（I）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，由題意得出函數(shù)的最小正周期，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得正數(shù)的值；求得，由題意得出，再由的取值范圍可求得的值；（）利用三角恒等變換思想

16、化簡函數(shù)的解析式為，由求得，然后分別解不等式、可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（I），由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，因此，；，為偶函數(shù)，則，可得，；（），解不等式，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為；解不等式，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為.本題考查利用正弦型函數(shù)的周期和對稱性求參數(shù)值，同時也考查了正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，解答的關(guān)鍵在于利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式，考查計算能力，屬于中等題.22已知是正三角形，線段和都垂直于平面，且，為的中點，設(shè)平面平面 .（1）求證：；（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角為時，求幾何體的體積.（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）延長、交于點，連接，證明出為的中點，利用中位線的性質(zhì)可得出，說明平面平面，即可證得結(jié)論成立；（2）分析可得平面與平面所成的銳二面角為，求出，計算得出、，由此可得出，即可得解.【詳解】（1）證明：如圖所示，延長、交于點，連接，平面，平