1、主講人：深圳市石巖公學(xué) 葉佳婷深圳市新課程新教材高中數(shù)學(xué)在線教學(xué)2.4.2圓的一般方程 我們知道,方程 表示以 為圓心,2為半徑的圓.可以將此方程變形為 一般地,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （1） 可以變形為 （2）的形式.思考：形如 的方程一定能通過恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎? 課 堂 導(dǎo) 入 思考：形如 的方程一定能通過恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎? 例如,對于方程 ,對其進行配方,得到 因為任意一個點的坐標(biāo) 都不滿足這個方程,所以這個方程不表示任何圖形.因此,形如(2)的方程不一定能通過恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程.這表明,形如(2)的方程不一定是圓的方程. 課 堂 導(dǎo) 入 思考：方程 中的 滿足什么條件時

2、,這個方程表示圓？表示圓的方程時，能否直接根據(jù)系數(shù)寫出圓的圓心坐標(biāo)，求出圓的半徑？ 將方程的左邊配方,并把常數(shù)項移到右邊,得到: (3)(2)當(dāng) 時,方程(3)只有實數(shù)解 ,它表示一個點(1)當(dāng) 時,比較方程(3)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可以看出方程(3)表示以 為圓心, 為半徑的圓.(3)當(dāng) 時,方程(3)沒有實數(shù)解,它不表示任何圖形. 形 成 概 念 因此,當(dāng) 時,方程 表示一個圓. 將 叫做圓的一般方程. 當(dāng) 時,形 成 概 念 思考:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（ ）與圓的一般方程（ ， ）各有什么特點? 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑,而圓的一般方程則明確表明其形式是一種特殊的二元二次方程,方程的代數(shù)

3、特征非常明顯.形 成 概 念 一般方程 標(biāo)準(zhǔn)方程配方展開 思考辨析 判斷正誤1.方程x2y2x10表示一個圓.()2.若方程x2y22xEy10表示圓，則E0.()3.二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某個圓的方程.()4.任何一個圓的方程都能寫成一個二元二次方程.()例若方程x2y22mx2ym25m0表示圓.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)寫出圓心坐標(biāo)和半徑.解由表示圓的條件，得(2m)2(2)24(m25m)0，典 例 分 析法二：將方程 x2y22mx2ym25m0 寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2(y1)215m(2)寫出圓心坐標(biāo)和半徑.解將方程x2y22mx2ym25m0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為

4、(xm)2(y1)215m，(2)將該方程配方為 ,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷.小結(jié)1：二元二次方程表示圓的判斷方法任何一個圓的方程都可化為 （1）的形式，但方程（1）不一定表示圓.判斷它是否表示圓可以有以下兩種方法:(1)計算 的值, 若其值為正,則表示圓;若其值為0,則表示一個點;若其值為負,則不表示任何圖形. 例4 求過三點 的圓的方程,并求出這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑.典 例 分 析 例2 的三個頂點分別是 ,求 的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)中的例2 解: 設(shè)所求的方程是 （1） 因為 三點都在圓上,所以它們的坐標(biāo)都滿足方程（1）,于是即 觀察上面的式子,我們發(fā)現(xiàn),三式兩兩相減,可

5、以消去得到關(guān)于 的二元一次方程組解此方程組，得 代入 得到所以, 的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 例4 求過三點 的圓的方程,并求出這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑. 分析:將點 的坐標(biāo)分別代入圓的一般方程,可得一個三元一次方程組,解方程組即可求出圓的方程.典 例 分 析 解: 設(shè)圓的方程是 (1) 因為 三點都在圓上,所以它們的坐標(biāo)都是方程(1)的解.把它們的坐標(biāo)依次代入方程(1),得到關(guān)于 的一個三元一次方程組 解這個方程組,得 所以,所求圓的方程是 由前面的討論可知,所求圓的圓心坐標(biāo)是 ,半徑 典 例 分 析 思考：與例2的方法比較,有什么體會? 例4也使用了待定系數(shù)法,這里選用圓的一般方程,與例2中選用標(biāo)

6、準(zhǔn)方程的方法相比,運算就顯得容易一些.因為運算后得到的方程沒有二次項,是一個三元一次方程組.若像例2那樣選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,得到的是三元二次方程組,需要消去二次項.一般來說,解一次方程比解二次方程容易.小結(jié)2:求圓的方程常用待定系數(shù)法，其大致步驟是：注意:求圓的方程時,要學(xué)會根據(jù)題目條件,恰當(dāng)選擇圓的方程形式:若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單.若已知三點求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解. (特殊情況時,可借助圖象求解更簡單)（3）解出 或 ，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；（2）根據(jù)條件列出關(guān)于 或 的方程組；(1)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，則ABC的外接圓的方程是_.x2y28x2y120解析設(shè)ABC外接圓的方程為x2y2DxEyF0，即ABC的外接圓方程為x2y28x2y120.跟 蹤 訓(xùn) 練(2)圓心在直線yx上，且經(jīng)過點A(1,1)，B(3，1)的圓的一般方程是_.x2y24x4y20解析設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，解得DE4，F(xiàn)2，即所求圓的一般方程是x2y24x4y2