1、岸組合投資選擇模半型挨 扮金融微觀分析面骯臨著許多的不確傲定性，對于不確頒定性通常有三種搬研究方法：拌效用分析法；半2胺、均值分析法；扮3稗、無套利分析法癌。癌第一節(jié)瓣 昂組合投資選擇模俺型愛一岸 矮、擺 熬證券組合的收益頒與風(fēng)險伴組合投資理論基八本假設(shè)：隘已知投資收益率伴的概率分布邦風(fēng)險用方差或標(biāo)暗準(zhǔn)差度量罷影響投資結(jié)果的半因素僅有均值、壩方差八投資者為不滿足隘和風(fēng)險厭惡型跋二、組合的收益笆和風(fēng)險唉 (把多斑(半N) 百種資產(chǎn)襖)般投資組合：將全熬部投入資金按某拜種比例分散投資耙于兩種或兩種以辦上證券而構(gòu)成的矮一個組合。記：矮p=(x斑1柏,x翱N扒)骯T壩，啊設(shè)第班I稗種證券的收益為笆r佰

2、i伴，澳其中邦X巴i頒為投資于挨I伴證券的資金比例把，則俺。板r耙i巴的標(biāo)準(zhǔn)差為埃，八r鞍i骯與按r骯j邦的協(xié)方差為把，相關(guān)系數(shù)為投資組合:胺 耙收益率唉：期望收益率：方差：鞍標(biāo)準(zhǔn)差：百為笆的協(xié)方差矩陣襖第二節(jié)佰 傲二次效用函數(shù)與矮投資證券收益率安關(guān)于二次效用函案數(shù)與投資證券收壩益率服從正態(tài)分唉布的討論。敖設(shè)投資者的期初擺財(cái)富為扒w胺，個體通過投資案各種金融資產(chǎn)來罷最大化它的期末皚財(cái)富、芭 佰帶來的期望效用敖。敗設(shè)個體的傲N靶叭M哀效用函數(shù)為昂u把,白對哀u邦在暗E拔（安w叭）作靶Taylor芭展開，哀=U(E(w)澳)+ 半(阿 阿凹E(w) +疤(澳 耙凹E(w)扒+R其中R=伴在假設(shè)拌U

3、拔有很光滑的條件跋之下，可得盎E(拌)=U(E(瓣)捌（光滑的含義：般存在伴N柏階導(dǎo)、展開的級藹數(shù)收斂、積分與哎求導(dǎo)可交換）岸E(頒)=U(E(半)+班U伴(E(白)頒（按）胺+E(R拌)白半（邦1傲）隘其中挨E(R隘)= 藹)岸扒跋（癌2搬）案 八其中跋m愛表示佰的埃n凹階中心矩藹定理盎襖：巴1埃，如果礙是二次函數(shù)則，叭=a+b巴+c哎，笆2辦，對任意皚N耙擺M壩效用函數(shù)笆U邦，如果期末的財(cái)按富服從正態(tài)分布俺，則期望效用僅氨是財(cái)富的期望與霸方差的函數(shù)。E()熬 案 百 霸 安 霸證明癌：如果礙1霸成立跋,班則期望效用伴E(把)= a + 敖b E(暗) + c E柏(暗)=a + b按 E(

4、柏) + c懊（按）板+ E翱(骯)襖如果扳2鞍成立，則當(dāng)期末班財(cái)富服從正態(tài)分辦布時，則 跋 扒 疤 阿 疤E(辦 爸班E(w)敗= 霸頒 0 斑 伴 般 j拜為奇數(shù)岸 按 般 翱埃 氨胺（藹（頒）伴 j疤為偶數(shù)可見定理成立拜期望效用最大化靶在定理拔1凹的假設(shè)下，歸結(jié)班為選擇均值與標(biāo)埃準(zhǔn)差的最優(yōu)組合頒來實(shí)現(xiàn)。百下面來證明在均礙值、標(biāo)準(zhǔn)差平面巴上，無差異曲線艾是凸的單調(diào)遞增按的。扮 叭為此，由收益率跋的定義般r霸= 昂 (1埃期收益率把)半知：埃N(敖) 唉 r傲N(拔)礙因此，資產(chǎn)（財(cái)背富）的收益率服鞍從均值為疤，標(biāo)準(zhǔn)差為哀的正態(tài)分布。懊定理挨礙：當(dāng)資產(chǎn)收益率哀rN(吧)背時，則無差異曲扮線是

5、向下凸的，邦風(fēng)險厭惡者的期叭望收益與風(fēng)險之凹間的邊際替代率霸是正的。證明：略按第三節(jié)鞍 襖關(guān)于組合投資的邦有效邊界的討論班及性質(zhì)白定義：如果一個凹證券組合在所有盎的均值收益率的斑證券組合中是具隘有最小的方差值疤，那幺這個組合辦就是有效的證券皚組合。骯Markowi澳tz辦模型：澳 Min s.t 哎 安 笆 耙 熬構(gòu)造叭Lagrang襖e礙函數(shù)：解得： 艾令頒 A=凹，叭B=盎，罷C=懊，挨D=癌。邦 柏繼而得到：扳 絆（皚靶）壩 跋 熬最小方差集合性班質(zhì)耙性質(zhì)一澳 f, f+h鞍 疤是瓣0八，搬1啊均值的兩個投資昂組合。瓣在扒捌式中，取板E般（疤R扒）邦=0 胺般X扮=f ,笆取哎E矮（扳R

6、扮）拔=1 壩熬X扳=f+h案性質(zhì)二敖 隘前沿面上的所有埃證券都是凹f 奧和壩f+h 八的組合。百證明：做哎f艾和藹f+h叭的組合叭q絆E(r佰)哎）瓣*f+ E(r拔)*啊（唉f+h笆）辦=f + h*拜 E(r埃)=X性質(zhì)三 白證明：討論證券岸x吧與盎q哀的協(xié)方差辦Cov(r隘,r哀)=E(r笆- E(r百)( r唉-E(r唉)疤 =扳( E(r芭)-柏)( E(r八)-胺) + 敖特別的當(dāng)捌x=q,傲有：盎扮= 稗 + 芭( E(rx)岸-俺)白 稗 埃（拋物線）埃 頒 般 辦 翱白 =1 拔 把（雙曲線）挨E(r懊)班 般 耙 八 懊佰當(dāng)八E(r熬)=邦時，則有一全局罷最小方差的投資搬

7、組合岸性質(zhì)四辦 阿有效證券組合是翱一個凸集。靶證明：假設(shè)證券頒組合拔X拌1岸, X把2捌,礙俺, X霸N 擺 班 叭是挨n唉個有效的證券組頒合壩 柏于是對任意實(shí)數(shù)暗a擺 靶0, 佰=1斑 敖由性質(zhì)安2 , 辦 耙是一個證券組合且， = 瓣因此它是有效的埃。 氨性質(zhì)五翱 柏對于除啊mvp 八外，任一個有效班證券組合稗X癌，必有唯一一個藹最小方差集合上擺的證券組合巴ZC(X)俺，使得把。疤推論一俺 ZC(ZC(礙X)=X熬。奧推論二霸 半對所有的證券組瓣合吧X襖，拜。疤推論三案，如果耙X熬是有效組合，則跋E(r ZC(八x) 奧, 懊否則艾ZC(X)阿是無效的證券組安合。哎E(r)按 哀 捌 斑

8、八佰證明：考察兩個暗有效的證券組合斑的協(xié)方差捌Cov(r盎,r ZC(p哎)=X盎V X ZC(扮p)罷 啊=笆( E(r辦)-芭)( E(r 襖ZC(p)-襖) + 盎令傲Cov(r背,r ZC(p翱)=0 凹解得：辦E(r ZC(癌p)= 吧 矮拔 阿性質(zhì)六辦 搬任意證券辦Y版的收益率均值，八均可表示為任一伴個最小方差集合白上證券組合矮X(懊除瓣mvp邦外阿)隘，與其對應(yīng)的伴ZC(X)搬的收益率均值的拌組合：拜。奧投資組合降低風(fēng)矮險特例說明艾：罷平均值為扮，案平均值為皚，取埃單個證券的風(fēng)險伴（方差）傲 擺稱為不可化解風(fēng)吧險或市場風(fēng)險或爸系統(tǒng)風(fēng)險。巴稱為可化解風(fēng)險昂或特有風(fēng)險或非岸系統(tǒng)風(fēng)險。

9、證明性質(zhì)六。皚設(shè)阿q捌是任意證券組合翱，安p巴是有效的證券組吧合（艾p+mvp拔）胺則般Cov(rq,敖rp) = X襖q艾VXp =Xq艾V(耙V靶e + 罷V邦1板)暗=瓣Xq把e +爸 Xq拌1背=暗E rp + 柏將傲、案帶入，整理得到跋E rq = 傲 + Cov(擺rq,rp) 班= 襖 *案 + 搬骯 + 絆*背=E r ZC拌(p) +懊pq(Erp 啊襖 霸 + 拜)挨= E r Z盎C(p) +熬pq(Erp 八襖 E r ZC昂(p)翱=辦（案1跋笆pq扮）霸E r ZC(埃p) + 奧pq Erp靶第四節(jié)、組合投隘資理論巴存在背n般個風(fēng)險資產(chǎn)，構(gòu)昂造投資組合昂Xp=(x

10、耙1哀,x巴N矮),翱使得滿足：Min 叭s.t 壩X哀e = Erp岸 阿 隘 罷 挨此時，對任意一拜個證券組合靶q半，有皚Erq =百（案1傲骯qp巴）邦*Erp + 白qp* E r熬 zc(p)班下面討論當(dāng)存在捌無風(fēng)險資產(chǎn)時的熬證券組合的有效頒集合。骯設(shè)有吧n+1拔個證券，懊n阿個風(fēng)險資產(chǎn)，一巴個無風(fēng)險資產(chǎn)，奧且無風(fēng)險資產(chǎn)的斑收益率記為阿r埃，設(shè)巴P凹是由俺n+1艾個證券組成的證襖券組合，且是有凹效的，它在有效捌集合上。盎Xp笆就是由安n唉個風(fēng)險證券構(gòu)成白的證券組合的權(quán)伴重，則盎Xp骯是下述問題的解耙。百由柏largang拌e藹乘數(shù)法，可知埃Xp伴滿足關(guān)系式凹由（白1版）挨Xp =柏 礙=由此可解出氨Xp埃 吧= 八 笆V按 = V 哎其中拔H=扳 哎=B礙半2Ar愛+礙C礙 r壩0板考慮組合把P按的方差傲 = 隘（礙rp熬）襖= 拜= 拜 懊 -鞍情形1澳：rf矮 , 有版效集合L啊E(r)懊 rf 板 辦 瓣 賣空點(diǎn)啊 懊 跋L癌 敖 熬哎情形3熬：胺rf =捌 ，有效邦集合為L、L百 (漸近線伴，不相切)愛E(r)骯 搬 霸 耙 鞍 L rf 傲 安 埃 藹 叭 扮L跋 澳 癌半考慮證券組合，芭使其滿足Max拜 邦 拌s.t: X擺 1 = 1稗 襖半 吧 扮Max 罷可以求出其一階靶條件：敗=懊VXp 懊 瓣(