1、 / 11矩陣的初等變換及其應(yīng)用在科學(xué)技術(shù)與經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域，線性方程組是許多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，因此，線性方程組的求解問(wèn)題十分重要，本章將研究更一般的線性方程組的求解問(wèn)題。一、矩陣的初等變換用消元法求解簡(jiǎn)單線性方程組時(shí)，其消元步驟是對(duì)方程組施以下列變換：對(duì)調(diào)某兩個(gè)方程在方程組中的位置；以數(shù)乘某一方程的兩端； TOC o 1-5 h z 把某一方程的兩端乘以數(shù)后加到另一方程的兩端.這些變換稱為線性方程組的初等變換，由此引出矩陣的初等行變換.定義 6 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:對(duì)調(diào)兩行( 對(duì)調(diào)兩行 , 記作);) 以數(shù)乘某一行中的所有元素( 第 行乘 , 記作);) 把某一行所有元素的倍加到另一

2、行對(duì)應(yīng)的元素上去(第 行的 倍加到第行上 , 記作).把定義中的行換成列, 即得矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換與初等列變換, 統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.如果矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣, 就稱矩陣與等價(jià) , 記作.顯然 , 三種初等變換都是可逆的, 且其逆變換是同一類型的初等變換: 變換的逆變換就是其本身 ; 變換的逆變換為( 或記作); 變換的逆變換為( 或記作).矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足以下三個(gè)性質(zhì)： TOC o 1-5 h z 自反性：;對(duì)稱性：若，則;傳遞性：若，則.利用等價(jià)關(guān)系可以將矩陣分類，我們將具有等價(jià)關(guān)系的矩陣作為一類. 顯然， 具有等價(jià)關(guān)系的矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組有相同的解.通過(guò)

3、對(duì)矩陣施行初等行變化，可以將矩陣化簡(jiǎn)，例如上式中最后一個(gè)矩陣稱為行階梯形矩陣，它的特點(diǎn)是：可以畫(huà)出一條階梯線，每個(gè)階梯只有一行， 階梯線下方的元素全是零，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零，階梯數(shù)為非零行的行數(shù)繼續(xù)施行行變換, 還可以化為更簡(jiǎn)單的形式上式中最后一個(gè)行階梯矩陣具有下述特點(diǎn)：非零行向量的第一個(gè)元素為1, 且含這些元素的列的其他元素都為0. 這個(gè)矩陣稱為的行最簡(jiǎn)形矩陣.矩陣的初等變換是矩陣的一種最基本的運(yùn)算, 它有著廣泛的應(yīng)用，任意一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換都可化為行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)形矩陣二、初等方陣定義 2 由單位陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等方陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著下列三種初等

4、矩陣：（ i ）對(duì)調(diào)兩行（或?qū)φ{(diào)兩列）把單位陣中第兩行對(duì)調(diào)（）, 得初等方陣乘某行（或某列）得初等方陣乘單位陣的第iii )以數(shù)乘某行 ( 列 )加到另一行( 列 )上去乘 的第 行加到第行上 () ，得初等方陣用 階初等方陣其結(jié)果相當(dāng)于對(duì)矩陣施行第一種初等行變換驗(yàn)證：以左乘矩陣, 其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)乘得第行 () ；以左乘矩陣: 把的第行與第行對(duì)調(diào) () ； 類似地可以 TOC o 1-5 h z , 其結(jié)果相當(dāng)于把的第行乘 加到第 行上 ().綜上所述, 可得下述定理.定理 1 設(shè)是一個(gè)矩陣 , 對(duì)施行一次初等行變換, 相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等方陣 ; 對(duì)施行一次初等列變換, 相當(dāng)于在

5、的右邊乘以相應(yīng)的階初等方陣.由此得知，對(duì)矩陣進(jìn)行一系列的初等行變換，等于在的左邊乘以若干個(gè)初等方陣.三、利用初等行變換求逆矩陣定理 2 設(shè)為可逆方陣, 則可通過(guò)行變換將化為單位矩陣.1 知，存在初等方陣，即是可逆的，證明 由于任意一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換都可化為行最簡(jiǎn)形矩陣，由定理，使得，其中 為 的行最簡(jiǎn)形矩陣當(dāng)為可逆方陣時(shí)，注意到初等方陣的可逆性，得所以是單位矩陣，即有. 定理證畢4得表明： 當(dāng)一系列初等行變換將矩陣化為單位陣時(shí)，那么經(jīng)過(guò)這同一系列的初等行變換就將單位陣化為了，即例 1 設(shè)解 因?yàn)樗岳?2 判斷方陣是否可逆，若可逆，求解不存在 .例3 設(shè), 討論的可逆性.解 因?yàn)闀r(shí)矩陣可逆

6、.一般當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)都較高時(shí), 按定義求矩陣的秩是很麻煩的. 對(duì)于行階梯形矩陣, 顯然它的秩就等于非零行的行數(shù). 因此自然想到用初等行變換把矩陣化為行階梯形矩陣, 但兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是 否相等呢？我們給出下面的定理：定理 3 初等行變換不改變矩陣的秩乘某一行中的所有元素的變換均不改變子式是否為證明 由于對(duì)矩陣施行對(duì)調(diào)兩行和以數(shù)零，因此這兩類初等行變換均不改變矩陣的秩下面證明把矩陣某一行所有元素的倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去也不改變矩陣的秩，且將的第行的乘以加到第 行得到矩陣，又設(shè)是矩陣的任意一個(gè)階子式 .若不含有矩陣的第行元素，那么也是矩陣的一個(gè)階子式，從而行元素，那么由行列式的性質(zhì)知若含有矩陣的第行元素，但不含有矩陣的第， 其中是 A的兩個(gè)階子式，且至多相差一個(gè)符號(hào)因而由知道所以；若含有矩陣的第行元素，同時(shí)含有矩陣的第行元素，那么由行列式的性質(zhì)知與矩陣綜上，則得又因?yàn)?，將的? 知，求矩