1、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（0）偏移新花樣（拐點(diǎn)偏移）x1 ， x2滿足 f x1 +f x2 = 4 ，2例 1 已知函數(shù)f x 2 ln x x x ，若正實(shí)數(shù)求證 : x1 x22 。證明：注意到f 1 = 2 ， f x1 + f x2=2f 1fx1+f x2 =2f 1fx2=+2x10 x2f x =22，xf 1 =0 ， 則 （ 1,2） 是 f x 圖像的拐點(diǎn)，若拐點(diǎn) （ 1,2 ） 也是 f x 的對(duì)稱中心，則有x1x2 = 2 ，證明 x1 x 22 則說(shuō)明拐點(diǎn)發(fā)生了偏移，作圖如下想到了“極值點(diǎn)偏移”，想到了“對(duì)稱化構(gòu)造”，類似地，不妨將此問(wèn)題命名為“拐點(diǎn)偏 移”，仍可用“對(duì)稱

2、化構(gòu)造”來(lái)處理不妨設(shè) 0 x11x2 ，要證 TOC o 1-5 h z x1 x22x22 x11f x2f 2x14fx1f2x14fx1f2x1Fx fx f2 xx 0,1 ，則Fx fx f2x22x 1x222 x 14 1 x10，x2x得 F x 在 0,1 上單增，有F x F 1214 ，得證。2 、極值點(diǎn)偏移PK 拐點(diǎn)偏移常規(guī)套路1 、 極值點(diǎn)偏移（fx00 ）二次函數(shù)f x1 f x2x1x22 x02 、拐點(diǎn)偏移fx00f x1 f x2x2 2x0 x1x1 x2 2x0f x1 f x22 f x0 x1 x2 2x0fx1f x22 f x 0 x22 x0 x

3、1x1x22 x0今天帶來(lái)極值點(diǎn)偏移系列第 3 篇文章，供大家參考證明 x1 x22 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（1 ）對(duì)稱化構(gòu)造（常規(guī)套路）例 1 （ 2010 天津）已知函數(shù)f x x e x （ 1 ）求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間和極值；（ 2 ）已知函數(shù)g x 的圖像與f x 的圖像關(guān)于直線x 1 對(duì)稱，證明：當(dāng)x 1 時(shí)， TOC o 1-5 h z fxgx；（ 3）如果x1 x2，且 f x1f x2 ，證明：x1 x22 點(diǎn)評(píng)：該題的三問(wèn)由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般方法對(duì)稱化構(gòu)造的全過(guò)程，直觀展示如下：x例 1 是這樣一個(gè)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題：對(duì)于函數(shù)f x x e ，

4、已知 f x1f x 2 ， x1x2 ，再次審視解題過(guò)程，發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（ 1 ） x1 ， x2 的范圍0 x11 x 2 ；（ 2 ）不等式f x f 2 x x 1 ；（ 3）將x2代入（2）中不等式，結(jié)合f x 的單調(diào)性獲證結(jié)論把握以上三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就可輕松解決一些極值點(diǎn)偏移問(wèn)題x2例2（ 2016 新課標(biāo)卷）已知函數(shù)f x x 2 e a x 1 有兩個(gè)零點(diǎn)（ 1 ）求 a 的取值范圍； TOC o 1-5 h z （ 2）設(shè) x1 ， x2是 f x 的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1 x22 解： （1 ）0,，過(guò)程略；（2）由（1 ）知fx 在 ,1 上 ，在 1, 上 ，由 f x

5、1f x20 ，可設(shè)x11x2 構(gòu)造輔助函數(shù)F x f x f 2 xFx fx f2xx2xx 1 e2a1 x e 2ax2xx1ee當(dāng) x 1 時(shí)， x 10 ， exe 2 x 0 ， 則 F x 0 ， 得 F x 在 ,1 上 ， 又 F 10 ，故 F x 0 x 1 ，即 f x f 2 x x 1 將 x1 代入上述不等式中得f x1 f x 2 f 2 x1 ，又 x21 ，2 x11 ， f x 在1, 上 ，故x12x1 ，x1x22 通過(guò)以上兩例，相信讀者對(duì)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題以及對(duì)稱化構(gòu)造的一般步驟有所了解2但極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的結(jié)論不一定總是x1x2 2x0，也可以是x1x

6、2x02 ，借鑒前面的解題經(jīng)驗(yàn)，我們就可給出類似的過(guò)程例 3 已知函數(shù)f x x ln x 的圖像與直線y m 交于不同的兩點(diǎn)A x1 , y1 ， B x2 , y 2 ，1求證： x1 x22 e證明： （ i ） f x ln x11 ，得 f x 在 0 , 上e, 上 ；當(dāng) 0 x 1 時(shí)， ef x 0 ； f 10 ；當(dāng) x 1 時(shí)， f x 0 ；當(dāng) x 0 時(shí)， f x 0 （洛必達(dá)法則）；x 時(shí)， f x，于是 f1x 的圖像如下，得0 x1 x 21 e小結(jié)：用對(duì)稱化構(gòu)造的方法解極佳點(diǎn)偏移問(wèn)題大致分為以下三步：step1 ： 求導(dǎo)， 獲得 f x 的單調(diào)性，極值情況，作出

7、 f x 的圖像，由 f x1f x 2 得 x1 ，x 2 的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）；step2 ：構(gòu)造輔助函數(shù)（對(duì)結(jié)論x1x22x0，構(gòu)造 F x f x f 2x0 x ；對(duì)結(jié)2x論x1x2x0 ，構(gòu)造 F x f x f ） ，求導(dǎo)，限定范圍（x1 或x2的范圍），判定x符號(hào)，獲得不等式；step3 ：代入x1 （或 x2 ） ，利用 f x1f x2 及 f x 的單調(diào)性證明最終結(jié)論練習(xí) 1 已知函數(shù)f x ln x x2 x ，正實(shí)數(shù)x1 ， x2滿足 f x1 f x2x1x20 ，求51證：x1x 22練習(xí) 2 已知函數(shù)f x ln x 和 g x ax ，若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x1 ， x2，且x1 x2 ，滿足2f x1 g x1 ， f x2g x2 ，求證： （ 1 ） x1 x2 2e ； （ 2） x1x2 e 未完待續(xù) ，后面更加精彩，歡迎關(guān)注微信公眾號(hào)下載這或許是史上最全的極值點(diǎn)偏移系列文章公眾號(hào)極值點(diǎn)偏移系列文章，關(guān)注后按提示word 分享極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（0）偏移新花樣（拐點(diǎn)偏移）極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（1 ）對(duì)稱化構(gòu)造（常規(guī)套路）極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（2）函數(shù)的選?。ú僮骷?xì)節(jié)）極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（3）變更結(jié)論（操作細(xì)節(jié)）極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（4）比值代換（解題方法）極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（5）對(duì)數(shù)平均不等式（本質(zhì)回歸）極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題