1、Primal-dual method in DSP1 DSP 技術(shù)的最新發(fā)展及其應(yīng)用現(xiàn)狀2 對(duì)偶理論3 對(duì)偶原理在小波框架的應(yīng)用4 基于對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換的織物紋理識(shí)別DSP 技術(shù)的最新發(fā)展及其應(yīng)用現(xiàn)狀D S P 的發(fā)展歷程D S P 系統(tǒng)構(gòu)成及其特點(diǎn)D S P 芯片的應(yīng)用D S P 的發(fā)展前景1 D S P 的發(fā)展歷程DSP即數(shù)字信號(hào)處理器(Digital Signal Processing)，在模擬信號(hào)變換成數(shù)字信號(hào)后進(jìn)行高速實(shí)時(shí)處理的專用處理器.DSP 的發(fā)展大致分為四個(gè)階段： 第一階段是70年代理論先行，70年代有人提出了DSP的理論和算法基礎(chǔ)。 第二階段是80年代產(chǎn)品普及，隨著CMOS

2、技術(shù)的進(jìn)步與發(fā)展，DSP芯片運(yùn)算速度進(jìn)一步提高，其應(yīng)用于范圍逐步擴(kuò)大到通信、計(jì)算機(jī)領(lǐng)域。 DSP演變圖1 D S P 的發(fā)展歷程 第三階段是90年代突飛猛進(jìn)，將DSP芯核及外圍組件綜合集成在單一芯片上； 第四階段是21 世紀(jì)再創(chuàng)輝煌。DSP 芯片引腳數(shù)量的增加，意味著結(jié)構(gòu)靈活性的增加。 2 D S P 系統(tǒng)構(gòu)成及其特點(diǎn)如下圖1所示為一個(gè)典型的D S P 系統(tǒng)，輸入信號(hào)首先進(jìn)行帶限濾波和抽樣，然后進(jìn)行A/D 變換將信號(hào)變換成數(shù)字比特流。DSP 芯片的輸入是A / D 變換后得到的以抽樣形式表示的數(shù)字信號(hào)，DSP 芯片對(duì)輸入的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行某種形式的處理。 圖1 DSP系統(tǒng)圖2 D S P 系統(tǒng)構(gòu)成

3、及其特點(diǎn)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)主要具有以下優(yōu)點(diǎn)： （1）接口和編程方便。D S P 系統(tǒng)與其他以現(xiàn)代數(shù)字技術(shù)為基礎(chǔ)的系統(tǒng)或設(shè)備都是相互兼容的，與這樣的系統(tǒng)接口以實(shí)現(xiàn)某種功能要比模擬系統(tǒng)與這些系統(tǒng)接口容易多。 （2）穩(wěn)定性和可重復(fù)性好。D S P 系統(tǒng)受環(huán)境溫度、濕度、噪聲、電磁場(chǎng)的干擾和影響較小，可靠性高；數(shù)字系統(tǒng)的性能基本不受元器件參數(shù)性能變化影響，便于測(cè)試、調(diào)試。 （3）精度高。16 位數(shù)字系統(tǒng)可以達(dá)到10- 5 的精度。 2 D S P 系統(tǒng)構(gòu)成及其特點(diǎn) （4）特殊應(yīng)用。有些應(yīng)用只有數(shù)字系統(tǒng)才能實(shí)現(xiàn)，例如信息無(wú)失真壓縮、V 型濾波器。 （5）集成方便。DSP 系統(tǒng)中的數(shù)字部件有高度的規(guī)范性便于

4、大規(guī)模集成。 3 D S P 芯片的應(yīng)用在近20多年時(shí)間里，DSP芯片的應(yīng)用從軍事、航空航天領(lǐng)域擴(kuò)大到信號(hào)處理、通雷達(dá)、消費(fèi)等許多領(lǐng)域 2 。主要應(yīng)用有：信號(hào)處理、通信、語(yǔ)音、圖形/ 圖像、軍事、儀器儀表、自動(dòng)控制、醫(yī)療、家用電器等。 3 D S P 芯片的應(yīng)用DSP 主要應(yīng)用市場(chǎng)為3C 領(lǐng)域，合占整個(gè)市場(chǎng)需求的90%。 數(shù)字蜂窩電話是DSP最為重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一。由于D S P 具有強(qiáng)大的計(jì)算能力，使得移動(dòng)通信的蜂窩電話重新崛起。4 D S P 的發(fā)展前景定點(diǎn)D S P 是主流。雖然浮點(diǎn)D S P 的運(yùn)算精度更高，但定點(diǎn)D S P 器件的成本較低，對(duì)存儲(chǔ)器的要求也較低，而且耗電較省。與可編程

5、器件結(jié)合。F P G A 器件配合傳統(tǒng)的D S P 器件可以處理更多信道，可在基站中用來(lái)實(shí)現(xiàn)高速實(shí)時(shí)處理功能，滿足無(wú)線通信、多媒體等領(lǐng)域多功能和高性能的需要。WCDMA無(wú)線基站4 D S P 的發(fā)展前景原對(duì)偶法（Primal-Dual Method)在DSP中會(huì)廣泛應(yīng)用。從原始問(wèn)題的最終單純形表中（最優(yōu)單純形算子）可直接得到對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解，原始問(wèn)題中松弛變量的檢驗(yàn)數(shù)對(duì)應(yīng)著對(duì)偶問(wèn)題的解（符號(hào)相反）。根據(jù)對(duì)偶理論可以在DSP中將其廣泛應(yīng)用，在進(jìn)行表征信號(hào)的突變特征，信號(hào)與圖像的壓縮，以及在數(shù)字信號(hào)調(diào)制識(shí)別中時(shí)，小波變換與原對(duì)偶法的結(jié)合使用其前景非常樂(lè)觀。 （L）（D） 對(duì) 偶 理 論發(fā) 展 簡(jiǎn)

6、史對(duì) 偶 理論對(duì) 偶 應(yīng) 用參 考 文 獻(xiàn)對(duì) 偶 小 波1 對(duì)偶理論發(fā)展簡(jiǎn)史 在線性規(guī)劃早期發(fā)展中最重要的發(fā)現(xiàn)就是對(duì)偶問(wèn)題，即每一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題(稱為原始問(wèn)題)都有一個(gè)與它對(duì)應(yīng)的對(duì)偶線性規(guī)劃問(wèn)題（稱為對(duì)偶問(wèn)題）。 1928年美籍匈牙利數(shù)學(xué)家 J.von諾伊曼在研究對(duì)策論時(shí)已發(fā)現(xiàn)線性規(guī)劃與對(duì)策論之間存在著密切的聯(lián)系。兩人零和對(duì)策可表達(dá)成線性規(guī)劃的原始問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題。他于1947年提出對(duì)偶理論。 1951年G.B.丹齊克引用對(duì)偶理論求解線性規(guī)劃的運(yùn)輸問(wèn)題，研究出確定檢驗(yàn)數(shù)的位勢(shì)法原理。 1954年C.萊姆基提出對(duì)偶單純形法，成為管理決策中進(jìn)行靈敏度分析的重要工具。對(duì)偶理論有許多重要應(yīng)用：在原始的和

7、對(duì)偶的兩個(gè)線性規(guī)劃中求解任何一個(gè)規(guī)劃時(shí)，會(huì)自動(dòng)地給出另一個(gè)規(guī)劃的最優(yōu)解；當(dāng)對(duì)偶問(wèn)題比原始問(wèn)題有較少約束時(shí)，求解對(duì)偶規(guī)劃比求解原始規(guī)劃要方便得多；對(duì)偶規(guī)劃中的變量就是影子價(jià)格。2 對(duì)偶理論 每一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題都伴隨有另一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，稱為對(duì)偶問(wèn)題。原來(lái)的線性規(guī)劃問(wèn)題則稱為原始線性規(guī)劃問(wèn)題，簡(jiǎn)稱原始問(wèn)題。對(duì)偶問(wèn)題有許多重要的特征,它的變量能提供關(guān)于原始問(wèn)題最優(yōu)解的許多重要資料,有助于原始問(wèn)題的求解和分析。對(duì)偶問(wèn)題與原始問(wèn)題之間存在著下列關(guān)系： 目標(biāo)函數(shù)對(duì)原始問(wèn)題是極大化，對(duì)對(duì)偶問(wèn)題則是極小化。 原始問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)中的收益系數(shù)是對(duì)偶問(wèn)題約束不等式中的右端常數(shù)，而原始問(wèn)題約束不等式中的右端常數(shù)則是對(duì)偶

8、問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)的收益系數(shù)。 原始問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的約束不等式的符號(hào)方向相反。 原始問(wèn)題約束不等式系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)置后即為對(duì)偶問(wèn)題的約束不等式的系數(shù)矩陣。 原始問(wèn)題的約束方程數(shù)對(duì)應(yīng)于對(duì)偶問(wèn)題的變量數(shù)，而原始問(wèn)題的變量數(shù)對(duì)應(yīng)于對(duì)偶問(wèn)題的約束方程數(shù)。 對(duì)偶問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題是原始問(wèn)題，這一性質(zhì)被稱為原始和對(duì)偶問(wèn)題的對(duì)稱性。2.1 線性規(guī)劃的對(duì)偶理論 2.1.1 線性規(guī)劃原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題的表達(dá)形式任何線性規(guī)劃問(wèn)題都有其對(duì)偶問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題有其明顯的經(jīng)濟(jì)含義 假設(shè)有商人要向廠方購(gòu)買資源A和B，問(wèn)他們談判原料價(jià)格的模型是怎樣的？ 例2.1.1設(shè)A、B資源的出售價(jià)格分別為 y1 和 y2顯然商人希望總的收購(gòu)價(jià)越小越好工廠希

9、望出售資源后所得不應(yīng)比生產(chǎn)產(chǎn)品所得少目標(biāo)函數(shù) min g(y)=25y1+15y2 2.1.1 線性規(guī)劃原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題的表達(dá)形式2.1.1 線性規(guī)劃原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題的表達(dá)形式 2.1.2 標(biāo)準(zhǔn)(max,)型的對(duì)偶變換目標(biāo)函數(shù)由 max 型變?yōu)?min 型對(duì)應(yīng)原問(wèn)題每個(gè)約束行有一個(gè)對(duì)偶變量 yi，i=1,2,m對(duì)偶問(wèn)題約束為 型，有 n 行原問(wèn)題的價(jià)值系數(shù) C 變換為對(duì)偶問(wèn)題的右端項(xiàng)原問(wèn)題的右端項(xiàng) b 變換為對(duì)偶問(wèn)題的價(jià)值系數(shù)原問(wèn)題的技術(shù)系數(shù)矩陣 A 轉(zhuǎn)置后成為對(duì)偶問(wèn)題的技術(shù)系數(shù)矩陣原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題互為對(duì)偶對(duì)偶問(wèn)題可能比原問(wèn)題容易求解對(duì)偶問(wèn)題還有很多理論和實(shí)際應(yīng)用的意義2.1.3 非標(biāo)準(zhǔn)型的對(duì)

10、偶變換表2.1.1 對(duì)偶變換的規(guī)則約束條件的類型與非負(fù)條件對(duì)偶非標(biāo)準(zhǔn)的約束條件類型對(duì)應(yīng)非正常的非負(fù)條件對(duì)偶變換是一一對(duì)應(yīng)的2.2 線性規(guī)劃的對(duì)偶定理 2.2.1 弱對(duì)偶定理定理 對(duì)偶問(wèn)題(min)的任何可行解Y0，其目標(biāo)函數(shù)值總是不小于原問(wèn)題(max)任何可行解X0的目標(biāo)函數(shù)值 為了便于討論，下面不妨總是假設(shè) 弱對(duì)偶定理推論max問(wèn)題的任何可行解目標(biāo)函數(shù)值是其對(duì)偶min問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值的下限； min問(wèn)題的任何可行解目標(biāo)函數(shù)值是其對(duì)偶max問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值的上限如果原max(min)問(wèn)題為無(wú)界解，則其對(duì)偶 min (max)問(wèn)題無(wú)可行解如果原max(min)問(wèn)題有可行解，其對(duì)偶 min (max)

11、問(wèn)題無(wú)可行解，則原問(wèn)題為無(wú)界解注：存在原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題同時(shí)無(wú)可行解的情況 2.2.2 最優(yōu)解判別定理定理 若原問(wèn)題的某個(gè)可行解X0的目標(biāo)函數(shù)值與對(duì)偶問(wèn)題某個(gè)可行解Y0的目標(biāo)函數(shù)值相等，則X0, Y0分別是相應(yīng)問(wèn)題的最優(yōu)解證：由弱對(duì)偶定理推論1，結(jié)論是顯然的。 即CX0 = Y0b CX, Y0b = CX0 Yb 。 證畢。2.2.3 主對(duì)偶定理定理 如果原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題都有可行解，則它們都有最優(yōu)解，且它們的最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值相等。證：由弱對(duì)偶定理推論1可知，原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)有界，故一定存在最優(yōu)解。 現(xiàn)證明定理的后一句話。 主對(duì)偶定理的證明 證：現(xiàn)證明定理的后一句話。 設(shè) X0 為原

12、問(wèn)題的最優(yōu)解，它所對(duì)應(yīng)的基矩陣是 B， X0= B1 b，則其檢驗(yàn)數(shù)滿足 C CBB1A 0 令 Y0= CBB1，則有 Y0 A C。 顯然Y0為對(duì)偶問(wèn)題的可行解。因此有對(duì)偶問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值， g(Y0)=Y0b= CBB1 b 而原問(wèn)題最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值為 f(X0)=CX0= CBB1 b故由最優(yōu)解判別定理可知Y0 為對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解。證畢。該定理的證明告訴我們一個(gè)非常重要的概念：對(duì)偶變量的最優(yōu)解等于原問(wèn)題松弛變量的機(jī)會(huì)成本即對(duì)偶變量的最優(yōu)解是原問(wèn)題資源的影子價(jià)格 2.2.4 互補(bǔ)松弛定理定理 設(shè)X0, Y0分別是原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的可行解，U0為原問(wèn)題的松弛變量的值、V0為對(duì)偶問(wèn)題剩余變量

13、的值。X0, Y0分別是原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)解的充分必要條件是 Y0 U0 + V0 X0 = 0證：由定理所設(shè)，可知有 A X0 + U0 = b X0, U0 0 (1) Y0 A V0 = C Y0, V0 0 (2)分別以Y0左乘(1)式，以X0右乘(2)式后，兩式相減，得 Y0 U0 + V0 X0 = Y0 b C X0若 Y0 U0 + V0 X0 = 0，根據(jù)最優(yōu)解判別定理， X0, Y0分別是原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)解。反之亦然。 證畢。3 對(duì) 偶 應(yīng) 用城市優(yōu)化選址工業(yè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化智能機(jī)器人火力發(fā)電廠經(jīng)濟(jì)指標(biāo)優(yōu)化電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)優(yōu)化5 參 考 文 獻(xiàn) 1、馬建華,劉家壯.關(guān)于國(guó)民生

14、產(chǎn)總值最優(yōu)的凸二次規(guī)劃模型J經(jīng)濟(jì)學(xué),1999,(01). 2、劉家壯，趙炳新.對(duì)偶理論在經(jīng)濟(jì)均衡分析中的應(yīng)用J中國(guó)管理學(xué),1996,(04). 3、陳中基.對(duì)偶理論,2002,(06) 4、良少剛.運(yùn)籌學(xué),清華大學(xué)出版社,2003,(07) 歡迎王慶偉、趙素芳同學(xué)給大學(xué)講解對(duì)偶在dsp中的應(yīng)用!對(duì)偶原理在小波框架的應(yīng)用小波分析是一門對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和具體工程應(yīng)用都有相當(dāng)要求的理論。本課件將會(huì)盡量采用比較淺顯易懂的語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)問(wèn)題，以使其更加容易理解。然而，對(duì)于小波理論如果不接觸到數(shù)學(xué)，就像鳥(niǎo)兒沒(méi)有翅膀在天空飛翔一樣，當(dāng)然是絕對(duì)不可能的事，愛(ài)因斯坦也告訴我們要“盡可能簡(jiǎn)單，而不是更簡(jiǎn)單”在小波變換中

15、，當(dāng)我們將連續(xù)小波離散化處理后自然引出兩個(gè)問(wèn)題：1.離散小波變換系數(shù)是否能完全的表征原信號(hào)的全部信息，即能否從離散小波系數(shù)精確的恢復(fù)原始信號(hào)。2.是否任何信號(hào)都可以表示為離散小波基的線性組合，而其中的組合系數(shù)需怎樣求取。上面兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上可以歸結(jié)到一個(gè)問(wèn)題，即離散二進(jìn)小波的逆變換問(wèn)題。要回答這個(gè)問(wèn)題，我們必須要借助于框架和對(duì)偶小波的理論。預(yù)備知識(shí): 在具體討論框架和對(duì)偶小波以前，我們需要大概了解一下小波理論的預(yù)備知識(shí)，這里讓我來(lái)先介紹一下各種類型的空間之間的關(guān)系。 具體的聯(lián)系如右圖所示：如果設(shè) 為一函數(shù)序列， 表示 所有可能的線性組合構(gòu)成的集合，稱 為由序列張成的線性空間。如果 是線性無(wú)關(guān)的,

16、則稱 為空間的一個(gè)基底，如果設(shè) 為內(nèi)積空間的兩個(gè)元素，有 = ,則稱是正交的，如果內(nèi)積空間 中元素列 滿足其中任意兩列的內(nèi)積為 ，而且每一列的模為 ，我們就說(shuō) 為標(biāo)準(zhǔn)正交系。如果 為標(biāo)準(zhǔn)正交系，而且空間中再也不存在除了 以外的元素能夠使得他和 內(nèi)所有元素正交的話，我們就說(shuō) 為完全正交系。 小波框架和對(duì)偶基 在小波變換中，我們希望能夠通過(guò)母小波尺度變換和平移而得到一組正交的小波基底，這樣我們就可以很好的將小波信號(hào)函數(shù) 通過(guò)小波投影到基底上而得到一組系數(shù)，然后我們就可以通過(guò)記錄這組系數(shù)以及根據(jù)已經(jīng)知道的基底來(lái)恢復(fù)原來(lái)的小波信號(hào)。 則有， ，將其代入上式，得：上面的式子在數(shù)學(xué)上其實(shí)是非常完美的，那為

17、什么我們還需要對(duì)偶基和小波框架的存在呢？原因其實(shí)是很簡(jiǎn)單的，那就是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，我們很難找到這樣的正交基底。 這個(gè)時(shí)候，我們就需要引出小波框架和雙正交基以及對(duì)偶基的概念。 首先，先描敘一下雙正交基，雙正交基是說(shuō)在某些情況下，基底并不滿足正交關(guān)系，對(duì)于這種情況，于是我們引入了對(duì)偶基這樣的話，隨著約束條件的降低，我們的小波基底就更加容易找到了。而且一個(gè)小波基的對(duì)偶不一定是唯一的。能量守恒定理在目前這個(gè)世界是普遍存在的，在科學(xué)的很多領(lǐng)域都會(huì)有能量守恒公式，它的一種形式如下所示：則我們可以取 在對(duì)偶基的投影作為系數(shù)來(lái)恢復(fù)信號(hào) ,公式如下： 對(duì)于任意 x, 為了使重構(gòu)更加有效，我們需要原始信號(hào)和展開(kāi)

18、域之間有一個(gè)能量對(duì)應(yīng)的關(guān)系，以使展開(kāi)系數(shù)能夠很好的表達(dá)原來(lái)的信號(hào)，這樣我們就引進(jìn)了框架的概念。利用框架可以將轉(zhuǎn)換前后的能量控制在一個(gè)指定的范圍內(nèi)?？蚣艿亩x 設(shè) 為一個(gè)希爾伯特空間， 為空間中的一個(gè)函數(shù)序列，若對(duì)于任意 , 存在 ,使得下列不等式存在： 則稱為一個(gè)框架 ；稱 為框架的上下界。一般的理解 如果找不到正交基，或者找不到雙正交基，那么我們得到的序列基底怎樣去評(píng)價(jià)它呢？這時(shí)我們用框架來(lái)評(píng)價(jià)它。當(dāng) 時(shí)，我們就稱此框架是正交的，這個(gè)時(shí)候是完全滿足能量守恒公式的。退一步來(lái)說(shuō)。如果只有 ，這個(gè)時(shí)候，雖然是緊框架，但是一般并不是正交的。只要是滿足框架約束的，我們都可以順利的找到一個(gè)原基底的一個(gè)具

19、有良好性質(zhì)的對(duì)偶基。至于找對(duì)對(duì)偶基的方法經(jīng)過(guò)很多人的努力，已經(jīng)找到了很多的方法去尋找合適的對(duì)偶基。 下面的這個(gè)圖，從左至右，對(duì)基底的要求越來(lái)越嚴(yán)格，而性質(zhì)也越來(lái)越好。 對(duì)偶小波實(shí)際上如果從數(shù)學(xué)上來(lái)推導(dǎo)的話，是非常復(fù)雜和困難的，有興趣詳細(xì)研究的朋友可以參考一下Daubechies的Ten Lectures on Wavelets(小波十講)的框架一章。 個(gè)人學(xué)習(xí)心得對(duì)于小波的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，個(gè)人認(rèn)為如果你只是想使用小波解決工程上的一般問(wèn)題的話。這個(gè)是比較容易學(xué)到手的，但是如果你自己想真正的了解小波理論的來(lái)龍去脈，更好的隨心所欲的使用小波，甚至構(gòu)造自己的小波，則需要下非常大的功夫，傅立葉變換和泛函分析是

20、基本前提條件。這也是有些人說(shuō)小波容易，也有人說(shuō)小波難學(xué)的原因之一吧。 對(duì)于我個(gè)人來(lái)說(shuō)，這段時(shí)間學(xué)習(xí)下來(lái)，雖然也花了不少精力，但是感覺(jué)現(xiàn)在看小波還是只在此山中，云深不之處。目前市面上的小波的書(shū)還是比較多的，比如小波變換與工程應(yīng)用（彭玉華）是相對(duì)來(lái)說(shuō)入門比較好的一本書(shū)，每次讀都會(huì)有更深的體會(huì)。同樣，還有一本國(guó)防科技大學(xué)出版社出版的實(shí)用小波分析入門是相對(duì)來(lái)說(shuō)更簡(jiǎn)單的一本書(shū)，可以讓你比較容易的對(duì)小波有一個(gè)全面的理解，也是我看到的所有小波書(shū)里面?zhèn)€人感覺(jué)最好的一本入門書(shū)。1 彭玉華.小波變換與工程應(yīng)用M.北京:科學(xué)出版社,2005:4-34.2 陳武凡.小波分析及其在圖像處理中的應(yīng)用M.北京:科學(xué)出版社，

21、2003, 20-25.3 鞏萍,潘冬明.小波分析及其在圖像處理中的應(yīng)用, N長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào),2009,(04).4Ingriddaubechies.小波十講M.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2004,70-73.4潘冬明參考文獻(xiàn)：4 基于對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換的織物紋理識(shí)別 摘 要：離散小波變換(DWT)雖然廣泛用于圖像處理，但 DWT 存在兩個(gè)缺點(diǎn)：其一，缺乏平移不 變性，這意味著信號(hào)的微小平移將導(dǎo)致各尺度上的小波系數(shù)的能量分布有較大變化；其二，缺乏方 向敏感性，可分離的二維小波變換只有三個(gè)方向的高頻信息即水平、垂直和對(duì)角。利用對(duì)偶樹(shù)復(fù)小 波變換(DT-CWT)進(jìn)行圖像紋理分類，可以克服上述離散小波變換的

22、不足，該方法具有逼近的平移 不變性和更多的方向選擇性，有利于特征的跟蹤、定位和保留。復(fù)小波變換對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換復(fù)小波變換的使用復(fù)小波變換的濾波系統(tǒng)與離散小波變換的濾波系統(tǒng)在 結(jié)構(gòu)上完全相同，不同之處只是在于復(fù)小波變換中使用的濾 波器的系數(shù)都是復(fù)數(shù)，而且輸出結(jié)果也都是復(fù)數(shù)。在可分離 的二維離散小波變換中，二維小波濾波器是一維行濾波器和 列濾波器的乘積。而復(fù)小波變換中小波濾波器只在0, 范 圍內(nèi)有響應(yīng)，如果要以相同的方式來(lái)構(gòu)造二維復(fù)小波變換，則等價(jià)濾波器只能覆蓋單位頻率單元的第 1 象限。但是實(shí)數(shù) 圖象數(shù)據(jù)卻包含有第 1 象限和第 2 象限的非冗余信息，為了 不丟失信息，有必要擴(kuò)展二維可分離操作，

23、使等效濾波器能 覆蓋負(fù)的水平頻率軸。為此，至少需要使行、列濾波器中的 一個(gè)濾波器的系數(shù)為共軛復(fù)數(shù)。然而，對(duì)于上述類型的復(fù)小波樹(shù)來(lái)說(shuō)，完全重構(gòu)的設(shè)計(jì) 十分困難。這樣的濾波器在小波樹(shù)的第 1 層可以很容易 地設(shè)計(jì)成滿足完全重構(gòu)性條件。即只需限制輸出信號(hào)必須為 實(shí)數(shù)，但在更高的分解層中，因?yàn)檩斎胼敵龆际菑?fù)數(shù)，就不 能采用類似的約束條件。而且，對(duì)于第 1 層以上各層的完全 重構(gòu)，必須讓由 4 個(gè)濾波器構(gòu)成的濾波器組在全頻段上具有 平坦的響應(yīng)特性。這在 4 個(gè)濾波器都可能抑制負(fù)頻率的情況 下，根本不可能實(shí)現(xiàn)。因此，就需要構(gòu)造一種不同形式的復(fù) 小波變換樹(shù)，于是我們引入了新的方法。 對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換 對(duì)偶樹(shù)

24、復(fù)小波變換保留了復(fù)小波變換的諸多優(yōu)良特性 ：近似的平移不變性、良好的方向選擇性、有限的數(shù)據(jù) 冗余和高效的計(jì)算效率，與此同時(shí)，它還具有完全重構(gòu)特性。 另外，為了保證兩棵樹(shù)的所有采樣值序列都具有統(tǒng)一的間隔，一棵樹(shù)中的濾波器必須與另一棵樹(shù)中的濾波器之間保 持相對(duì)于各自采樣速率的半個(gè)采樣值間隔的差距。對(duì)于線性 相位的濾波器而言，這就要求一棵樹(shù)中的濾波器應(yīng)當(dāng)為奇數(shù) 長(zhǎng)，兩棵樹(shù)將會(huì)呈現(xiàn)較好的對(duì)稱性。 為了實(shí)現(xiàn)對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換的反變換，對(duì)每一棵 樹(shù)分別使用雙正交濾波器進(jìn)行反變換，最后對(duì)兩棵樹(shù)的輸出結(jié)果進(jìn)行 平均，以保證整個(gè)系統(tǒng)近似的平移不變性。 采用對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換分解二維信號(hào)與離散小波變換類似，利用可分離

25、的濾波器先沿著列再沿著行實(shí)現(xiàn)分解。對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換與離散小波變換一樣實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、快 速，還有一些離散小波變換或其他復(fù)小波變換所不具備的性 質(zhì)，包括逼近的平移不變性。對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換雖然基于離 散小波變換，但它在兩棵樹(shù)的各尺度消除了下采樣，得到了 近似的平移不變性和好的方向選擇性。盡管對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變 換和離散小波變換一樣采用可分離濾波器分解二維信號(hào)，但 它可以區(qū)分頻率空間的正頻和負(fù)頻，在每個(gè)象限產(chǎn)生了三個(gè) 子帶。對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換 解決了復(fù)小波變換難以實(shí)現(xiàn)完全重構(gòu)、不容易設(shè)計(jì)出具有好 的特性的濾波器的問(wèn)題。對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換是一種冗余的變 換，通過(guò)冗余的方式提供了逼近的平移不變性，且通過(guò)實(shí)變 換分別提

26、供了復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。所以，雖然離散小波變換廣泛應(yīng)用在信號(hào)和圖像處理 中，但是它不具有平移不變性和良好的方向選擇性。而平移 不變性和良好的方向選擇性對(duì)圖像特征的檢測(cè)、去噪、分割 和數(shù)據(jù)壓縮等具有重要意義。復(fù)小波變換具有平移不變性和 良好的方向選擇性，但完全重構(gòu)的設(shè)計(jì)卻是很困難的。而對(duì) 偶樹(shù)復(fù)小波變換在保留復(fù)小波的優(yōu)良特性的同時(shí)，通過(guò)對(duì)偶 樹(shù)濾波的形式，保證了完全重構(gòu)性。對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波變換不但 具有平移不變性和良好的方向選擇性外，還具完全重構(gòu)性、 有限的數(shù)據(jù)冗余和較小的計(jì)算量等優(yōu)點(diǎn)。 結(jié)論 CWT 小波變換，不僅具有時(shí)頻中的局域化能力，同時(shí)還可以自適應(yīng)變化時(shí)頻域的窗口寬度，能自適應(yīng)地處理不 同尺度不同層次的紋理信息。一般圖像的能量集中在低頻， 而紋理圖像能量則是集中在中頻。隨著分解層數(shù)的增加，小 波逐漸向低頻方向聚焦，而 DT-CWT 小波分解則