1、1線性方程組的高斯法目的：掌握線性方程組的高斯消元法的MATLAB命令，并了解條件數(shù)和病態(tài)矩陣對解的穩(wěn)定性的影響。2 許多實際問題歸結為線性（代數(shù)）方程組 大型的方程組需要有效的數(shù)值解法 數(shù)值解法的穩(wěn)定性和收斂性問題需要注意機械設備、土建結構的受力分析輸電網(wǎng)絡、管道系統(tǒng)的參數(shù)計算經(jīng)濟計劃企業(yè)管理33. 數(shù)值解法的穩(wěn)定性4. 向量和矩陣的范數(shù)2. 實際問題中方程組的數(shù)值解。1. 數(shù)值解法:直接方法；迭代方法主要內容4線性方程組的一般形式、兩類解法直接法 經(jīng)過有限次算術運算求出精確解（實際上由于有舍入誤差只能得到近似解）- 高斯（Gauss）消元法及與它密切相關的矩陣LU分解迭代法 從初始解出發(fā)，

2、根據(jù)設計好的步驟用逐次求出的近似解逼近精確解 - 雅可比（Jacobi）迭代法和高斯塞德爾（GaussSeidel）迭代法5直接法-高斯消元法消元過程回代過程條件6直接法 - 列主元素消元法高斯消元法條件 (絕對值 )很小時，用它作除數(shù)會導致舍入誤差的很大增加Why?7解決辦法選最大的一個（列主元）將列主元所在行與第k行交換后, 再按上面的高斯消元法進行下去，稱為列主元素消元法。8列主元素消元法的基本算法910直接法 - 高斯消元法的矩陣表示相當于方程AX=b兩邊左乘單位下三角陣M1高斯消元法的第一次消元11直接法 - 高斯消元法的矩陣表示第二次消元相當于再左乘單位下三角陣M212直接法 -

3、矩陣LU分解高斯消元法通過左乘M,使MA=UM單位下三角陣，U上三角陣記 L=M-1，L為單位下三角陣若A可逆且順序主子式不為零，則A可分解為一個單位下三角陣L和一個上三角陣U的積 A=LU。這種分解是唯一的，稱 矩陣的LU分解。13若A可逆，則存在交換陣 P 使 PA=LUL為單位下三角陣，U為上三角陣。第i行與第k行交換直接法 - 矩陣LU分解乘以初等交換陣P交換陣（單位陣經(jīng)若干次行交換）14直 接 法 - MATLAB 的 用 法2. 矩陣LU分解15例1. 解A=10 3 1;2 -10 3;1 3 10,b=14 -5 14,x=Ab,L1,U1=lu(A);L1,U1,A1=L1*

4、U1,L2,U2,P=lu(A);L2,U2,P,A2=L2*U2,A3=inv(P)*A2并對系數(shù)矩陣作LU分解shiyan11若第1個方程改為3x2+x3=14結果如何16直接法 - 誤差分析（1,1）01.201.121=+xxx22x120201.122121=+=+xxxxx對b的擾動敏感(2,0)17向量和矩陣的范數(shù)度量向量、矩陣大小的數(shù)量指標向量范數(shù)18矩陣范數(shù)范數(shù)）-=2()(|max2AAATl表示最大特征根向量和矩陣范數(shù)的相容性條件（列范數(shù)）（行范數(shù)）191）分析x的誤差 A的條件數(shù)越大,(由b的擾動引起的)x的誤差可能越大條件數(shù)與誤差分析20 x的(相對)誤差不超過b的(

5、相對)誤差的Cond(A)倍, 也大致上是A的(相對)誤差的Cond(A)倍。條件數(shù)與誤差分析2）設A有擾動 ，分析x的誤差A的條件數(shù)越大,(由A的擾動引起的)x的誤差越大條件數(shù)大的矩陣是病態(tài)矩陣21直接法 - MATLAB的用法當n很大時Hilbert矩陣呈病態(tài)22H=hilb(5),h=rats(H),b=ones(5,1);x=Hb;b(5)=1.1;x1=Hb;x,x1,n1=cond(H),n2=rcond(H), 觀察Hilbert矩陣的病態(tài)性例. Hx=b, 其中 H=hilb(5), b=1,1Tshiyan12 x x11.0e+003 * 0.0050 0.0680 -0.

6、1200 -1.3800 0.6300 6.3000 -1.1200 -9.9400 0.6300 5.0400cond(H)=4.7661e+00523例2 用MATLAB求線性方程組的通解MATLAB命令將A|b化為行簡化階梯形矩陣shiyan13.mrref(A)24矩陣相關運算matrix1.mpoly_A.mdet(A) % 矩陣的行列式 inv(A) % 矩陣的逆 rank(A) % 矩陣的秩 eig(A) % 矩陣的特征值 v,d = eig(sym(A) % 矩陣的特征值和特征向量 v,J = jordan(sym(B) %矩陣的對角化poly(B) %矩陣B的多項式rref(

7、A) % A的列向量組的極大無關組25特殊矩陣的輸入a1 = zeros(2,3) % 2x3 全零陣 a2 = ones(3) % 3x3 全1陣a3 = eye(3,4) % 3x4 a4 = hilb(4) % 4x4 Hilbert matrixsyms a5a5 = sym(hilb(4)specmatrix.m26矩陣的裁剪與拼接A = 1 2 3 0; 7 5 6 1; 0 2 4 1a1 = A(3,:) % the third row of Aa2 = A(:,2) % the second column of Aa3 = A(1:2,:) a4 = A(2:3, 2:4)A

8、(3,:)= % delete the 3rd rowb = A(1:2,:); ones(1,4)matrix_cut.m27矩陣加減法矩陣乘法數(shù)學表示MATLAB 表示 注意相容性 矩陣基本運算28矩陣除法矩陣左除：AX = B，求 XMATLAB 求解：X=AB 矩陣右除：XA = B，求 X MATLAB求解：X=B/A 29矩陣乘方 A 為方陣，求 MATLAB 實現(xiàn)：30實例1 投入產(chǎn)出模型表2 投入產(chǎn)出表假定每個部門的產(chǎn)出與各部門對它的投入成正比，得到投入系數(shù)。314）如果對于任意給定的、非負的外部需求，都能得到非負的總產(chǎn)出，模型就稱為可行的。問為使模型可行，投入系數(shù)應滿足什么條

9、件？1）設有n個部門，已知投入系數(shù)，給定外部需求，建立求解各部門總產(chǎn)出的模型。2）設投入系數(shù)如表2所給，如果今年對農業(yè)、制造業(yè)和服務業(yè)的外部需求分別為50，150，100億元，問這三個部門的總產(chǎn)出分別應為多少。3）如果三個部門的外部需求分別增加1個單位，它們的總產(chǎn)出應分別增加多少。實例1 投入產(chǎn)出模型321）基本模型xi: 第i個部門的產(chǎn)出，xij: 第i個部門對第 j個部門的投入，di: 第i個部門的外部需求投入系數(shù)33基本模型2）設農業(yè)、制造業(yè)和服務業(yè)的外部需求分別為 50，150，100億元，求三個部門的總產(chǎn)出。shiyan15x=(139.2801,267.6056,208.1377)T34若d=(1,0,0)T, 即農業(yè)外部需求增加1單位時，三部門總產(chǎn)出應分別增加1.3459，0.5634，0.4382單位。即C的第1列。C=1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.21673）若三部門的外部需求分別增加1個單位，求它們的總產(chǎn)出的增量。基本模型當需求增加d時，總產(chǎn)出增量shiyan15354）如果對于任意給定的、非負的外部需求，都能得到非負的