1、數(shù)學(xué)分析電子教案重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)部沈世云第七章 定積分1. 定積分的概念2. 定積分存在的條件3. 定積分的性質(zhì)4. 定積分的計(jì)算第一節(jié) 定積分的概念1. 問題的提出2. 定積分的概念abxyo實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積）一、問題的提出abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分

2、割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為實(shí)例2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值（1）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值二、定積分的概念定義1、定積分的定義被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積

3、分上限積分下限積分和注意(1) 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， 而與積分變量的字母無關(guān).(2) 定義中區(qū)間的分法和 的取法是任意的.(3) 當(dāng)函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b 上的定積分存在時(shí),稱 f(x)在區(qū)間 a,b 上(黎曼)可積 .1. 與 的差別 是 的全體原函數(shù) 是 函數(shù) 是一個(gè)和式的極限, 是一個(gè)確定的常數(shù) 注：曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值2.定積分的幾何意義幾何意義：例1 利用定義計(jì)算定積分解3.可積的必要條件 注：該定理指出任何可積函數(shù)一定是有界，但要注意的是：有界函數(shù)不一定可積。 證明 于是有 例2 證明狄利克雷函數(shù)證 顯然 在0，1上有界。 由此可見，有界是可積的必

4、要條件以后討論可積性時(shí)，總假設(shè)函數(shù)是有界的第二節(jié) 定積分存在的條件 一、定積分存在的充分必要條件 二、可積函數(shù)類 一、定積分存在的充分必要條件達(dá)布定理二、可積函數(shù)類對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小第三節(jié)、定積分的性質(zhì)證性質(zhì)1證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4補(bǔ)充：不論 的相對(duì)位置如何, 上式總成立.性質(zhì)5例 若（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)6證解令于是推論：證證性質(zhì)7：證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)8解解性質(zhì)9積分中值公式的幾何解釋：解由積分中值定理知有使性質(zhì)10第四節(jié) 定積分的計(jì)算一、 定積分

5、計(jì)算的基本公式二、定積分的換元公式三、定積分的分部積分公式四、雜例五、橢圓積分一 定積分計(jì)算的基本公式考察定積分記積分上限函數(shù)證由積分中值定理得補(bǔ)充證:例1 求解分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.證證令基本公式證令令基本公式表明注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系例4. 計(jì)算解:例5 計(jì)算正弦曲線的面積 . 解:例6 求 原式例7 設(shè) , 求 . 解解例8 求 解由圖形可知例9 求 解例10 汽車以每小時(shí) 36 km 的速度行駛 ,速停車,解: 設(shè)開始剎車時(shí)刻為則此時(shí)刻汽車速度剎車后汽車減速行駛 , 其速度為當(dāng)汽車停住時(shí),即得

6、故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度車到停車走了多少距離? 例11 利用定積分計(jì)算下列極限解例11* 計(jì)算解二 定積分的換元公式定理證應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）例12. 計(jì)算解: 令則 原式 =且例13. 計(jì)算解: 令則 原式 =且 例14.證:(1) 若(2) 若偶倍奇零奇函數(shù)例15 計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積證（1）設(shè)例16（2）設(shè)定積分的分部積分公式推導(dǎo): 三 定積分的分部積分公式例17 計(jì)算解令則例18 計(jì)算解例19 計(jì)算解解例20 設(shè) 求例21 證明定積分公式為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)證設(shè)積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式直到下標(biāo)減到0或1為止于是例22四、雜例例23 計(jì)算極限所以二、橢圓積分定義:稱如下形式的積分分別為第一、二、三類橢圓積分其中，稱k為橢圓積分的模。令則橢圓積分分別成為形式：和可以證明，對(duì)于具有以下類型的積分，總可以用上述的三類橢圓積分來表示，因此通常也把具有這樣形式的積分都叫做橢圓積分。橢圓積分：