1、數(shù)學(xué)建模答辯知識(shí)目錄一、模型準(zhǔn)備二、模型建立與求解（一）問題一（二）問題二（三）問題三（四）問題四三、模型的檢驗(yàn)四、優(yōu)點(diǎn)與不足之處1.相關(guān)概念介紹 太陽時(shí) 時(shí)間的計(jì)量以地球自轉(zhuǎn)為依據(jù)，地球自轉(zhuǎn)一周，計(jì)24太陽時(shí)，當(dāng)太陽達(dá)到正南處為12:00。簡稱為平時(shí)。 真太陽時(shí)與平太陽時(shí)的時(shí)差 太陽視圓面中心連續(xù)兩次上中天的時(shí)間間隔叫做真太陽日真太陽時(shí)=平太陽時(shí)+真平太陽時(shí)差。太陽時(shí)的計(jì)算公式如下： 時(shí)角 時(shí)角是以正午12點(diǎn)為0度開始算，每一小時(shí)為15度，上午為負(fù)下午為正。時(shí)角的計(jì)算公式為1.模型準(zhǔn)備 太陽直射緯度 太陽直射緯度即赤緯角，赤緯角也稱為太陽赤緯，其計(jì)算公式近似為太陽高度角 太陽高度角是太陽相對(duì)

2、于地平線的高度角，其計(jì)算公式近似為1.模型準(zhǔn)備問題一：1.1桿影長度變化的數(shù)學(xué)模型 由太陽光直射下桿影與桿長的幾何關(guān)系，得 根據(jù)前面介紹的概念及公式，得到最終的影長變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：2.模型建立與求解1.2考慮空氣折射率的桿影長度變化的數(shù)學(xué)模型 由于大氣層中存在水蒸氣、二氧化碳和塵埃，其密度與外太空的真空并不相同，因此當(dāng)太陽光從外太空的真空傳入大氣層時(shí)，必將發(fā)生偏折即天太陽高度角必將變化。修正后的太陽高度角為 最終的影長變化關(guān)系為 2.模型建立與求解1.3 以北緯39.9度，東經(jīng)120度的10月1日桿長為3米為例研究影長變化規(guī)律 圖1 影長與時(shí)間變化的關(guān)系圖2 影長與日期的變化關(guān)系圖3 影

3、長與緯度的變化關(guān)系圖4 影長與經(jīng)度的變化關(guān)系2.模型建立與求解1.4天安門廣場的影子長度變化曲線圖 圖5 天安門廣場桿長3米9點(diǎn)到15點(diǎn)的影長變化關(guān)系 從圖5可以看出，在天安門廣場桿長3米的影長從9點(diǎn)到15點(diǎn)先變短后變長，在12：22 時(shí)取到最低點(diǎn)，最低點(diǎn)即最短影長為3.8878米，圖中不關(guān)于12:00對(duì)稱是因?yàn)楸本r(shí)間是以東經(jīng)120度確定的，而天安門廣場處于東經(jīng)116度23分29秒，由于地球是自西向東轉(zhuǎn)，還有空氣折射率的考慮，所以當(dāng)天安門廣場的當(dāng)?shù)貢r(shí)間在正午時(shí)，顯示的北京時(shí)間是在12時(shí)之后。2.模型建立與求解問題二:2.1問題提出 根據(jù)附件1中的某地的直桿影長數(shù)據(jù)求解出該地坐標(biāo)。 2.2 分

4、析思路 注意到問題二中有三個(gè)未知參數(shù): 拍攝的經(jīng)度、緯度以及桿的長度?？煽紤]繼續(xù)使用問題一中的模型，根據(jù)樣本點(diǎn)的數(shù)據(jù)求解出對(duì)應(yīng)的三個(gè)參數(shù)值。由于模型是已經(jīng)確定的，所以可以使用非線性最小二乘擬合。最后可以對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。2.模型建立與求解2.3最小二乘擬合表達(dá)式 根據(jù)第一問的模型，可以得出如下的最小二乘表達(dá)式 使用MATLAB中非線性最小二乘擬合算法可以得出最后的求解結(jié)果。 最終地點(diǎn)：（我國三亞附近地區(qū)）2.模型建立與求解 求解的擬合效果如下：2.4對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn) 由于實(shí)測數(shù)據(jù)可能被多種因素影響，所以對(duì)于整體的結(jié)果是否應(yīng)該被接受還需要做檢驗(yàn)。此處可進(jìn)行方差檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)2.模型建立與

5、求解2.4.1 方差檢驗(yàn) 若結(jié)果是可信的，則樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)與根據(jù)模型求解的參數(shù)所確定的數(shù)據(jù)之間應(yīng)不存在顯著性差異。所以可以使用方差檢驗(yàn)。用MATLAB求解最終結(jié)果如下： 結(jié)論：F遠(yuǎn)小于P值0.05，所以可以認(rèn)為模型所求解結(jié)果與實(shí)際觀測值之間無顯著性差異。2.模型建立與求解2.4.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 擬合優(yōu)度可以表示回歸曲線對(duì)觀測值的擬合程度，所以可以使用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)來衡量擬合效果。 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)公式： ：回歸平方和 ：總偏差平方和 最終結(jié)果： 與1相差不大，說明擬合的曲線能夠有效地解釋實(shí)際觀測值，說明擬合效果很好。驗(yàn)證了問題一中模型的合理性。2.模型建立與求解問題三：3.1問題的分析 未知參數(shù)繼續(xù)增加

6、，沿用問題二模型無法得到理想效果。 根據(jù)同一地點(diǎn)太陽高度角相同和桿影幾何關(guān)系，得出對(duì)于不同的桿在同一地點(diǎn)不同時(shí)刻影長變化的比值是一定的。 將相同時(shí)間間隔直桿影長函數(shù)的變化與之相比，建立方差最小的目標(biāo)規(guī)劃模型，將問題三轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題進(jìn)行求解。 2.模型建立與求解3.2目標(biāo)規(guī)劃模型的建立目標(biāo)函數(shù)：約束條件： 2.模型建立與求解 3.3問題三模型的求解 運(yùn)用MATLAB優(yōu)化工具箱分別對(duì)附件2、3求解得到： （1）得出附件2對(duì)應(yīng)的地點(diǎn)為 ，天數(shù)為323天，日期為11月18日，所屬地方為新疆。 （2）附件3對(duì)應(yīng)的地點(diǎn)為 ，天數(shù)為144天，日期為5月24日，所屬地方為湖北。 說明：函數(shù)經(jīng)過多次迭代，數(shù)據(jù)

7、檢驗(yàn)平穩(wěn)，因?yàn)槲覀兦蟮檬谴藭r(shí)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，故只有一個(gè)。如果繼續(xù)求解的話，可以求出次優(yōu)解。 2.模型建立與求解問題四：4.1視頻像素的灰度處理與圖像直角坐標(biāo)系的建立 將視頻導(dǎo)入MATLAB,以兩分鐘為間隔截取視頻圖像，并將圖片進(jìn)行灰度處理，利用圖像處理工具箱將圖片灰度提取，建立了基于圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)系，得到了21組直桿頂點(diǎn)、影子頂點(diǎn)和直桿底邊的圖像坐標(biāo)。 針對(duì)視角的不同所造成的桿影比與實(shí)際的差異進(jìn)行分析與矯正。 圖片中的影長、桿長 實(shí)際的影長桿長 2.模型建立與求解4.2實(shí)際影長的求解 設(shè)直桿頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，影子頂點(diǎn)為 ，直桿底邊的坐標(biāo)為 ，求得實(shí)際影子長度為：4.3基于拍攝日期已知求解拍攝地點(diǎn)

8、的模型的建立與求解 將實(shí)際影子長度求出后求出后，這里已知桿長、影子長度、日期和時(shí)間的情況下反求當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為問題二，并得到： 2.模型建立與求解 同樣使用MATLAB中非線性最小二乘擬合算法求解得： 視頻中所在地點(diǎn)為 。所屬地方為內(nèi)蒙古。4.3拍攝日期未知時(shí)的模型的建立與求解 根據(jù)求出的任意一個(gè)給定的視頻中的實(shí)際的影子長度可以把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為問題三的模型進(jìn)行求解，可以建立如下的目標(biāo)規(guī)劃模型。 約束條件 2.模型建立與求解三、模型的檢驗(yàn)這里選取2015年5月1日，西安 ，從北京時(shí)間8點(diǎn)到15點(diǎn)桿長為2米的影子長度，并根據(jù)已知條件求得影子變化的曲線，與真實(shí)值進(jìn)行比較，如圖所示： 樣本相關(guān)系數(shù)： r=0.95 為高度相關(guān) 經(jīng)過多次迭代，數(shù)據(jù)檢驗(yàn)平穩(wěn)，同樣只得到一個(gè)最優(yōu)解。得出附件4對(duì)應(yīng)的地點(diǎn)為 ，所屬地點(diǎn)同樣在內(nèi)蒙古，天數(shù)為206天。3.模型的檢驗(yàn)優(yōu)點(diǎn)1、問題一的模型的建立通過查閱資料得到了各個(gè)影響因素之間的關(guān)系，通過研究太陽影子長度的變化規(guī)律可知與實(shí)際情況吻合，模型比較精確。2、問題二基于模型一運(yùn)用了非線性最小二乘擬合的方法，并進(jìn)行了顯著性檢驗(yàn)和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)并驗(yàn)證了擬合效果較好，得出的結(jié)果比較好。3、將模型進(jìn)行了檢驗(yàn)和靈