1、第6組 組員自動化車床治理的數(shù)學(xué)模型摘要本文解決的是自動化車床治理問題。用自動化車床連續(xù)加工某種零件時，由于各種緣故會導(dǎo)致生產(chǎn)工序發(fā)生故障，而當(dāng)生產(chǎn)工序故障時，生產(chǎn)的零件大多為不合格產(chǎn)品，如此會給生產(chǎn)帶來巨大損失。為解決該問題，我們對工序設(shè)計(jì)了三種最優(yōu)的檢查間隔和刀具更換策略模型：關(guān)于問題一：我們建立了模型一，即單目標(biāo)期望值模型。我們將一個周期內(nèi)單個零件的平均生產(chǎn)費(fèi)用，作為衡量檢查間隔和刀具更換策略優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)闄z查間隔和定期更換刀具都與刀具的壽命有緊密聯(lián)系，因此我們利用6SQ統(tǒng)計(jì)軟件對附錄一中的100次刀具故障記錄進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)得知：刀具的壽命服從正態(tài)分布。依照工序出現(xiàn)故障的隨機(jī)性，

2、為了簡化計(jì)算，又假設(shè)在一個周期內(nèi)出現(xiàn)刀具損壞故障的概率服從均勻分布，如此我們便專門容易地列出每個零件的平均生產(chǎn)費(fèi)用，即：模型一的目標(biāo)函數(shù)，再用計(jì)算機(jī)窮舉法對此進(jìn)行了求解，得出每生產(chǎn)14個零件檢查一次，420個零件更換一次刀具，每個零件的平均生產(chǎn)費(fèi)用為3.88元為最優(yōu)解。關(guān)于問題二：我們建立了模型二，我們延用問題一的指標(biāo)，并對變化了的因素做出了考慮。與問題一不同的是，工序正常時產(chǎn)出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時產(chǎn)出的零件也不全是不合格品，有40%的合格品。相關(guān)于模型一，模型二較為復(fù)雜得多，但整體的解題思想與模型一雷同。分情況分時期對各類費(fèi)用進(jìn)行了細(xì)算，最終得到的結(jié)果為：每生產(chǎn)

3、9個零件檢查一次，378個零件更換一次刀具，每個零件的平均生產(chǎn)費(fèi)用為8.52元為最優(yōu)解。關(guān)于問題三：我們建立了模型三，考慮到刀具工作初期產(chǎn)生不合格零件的概率相對較小，采取了變間隔檢查的方法，并構(gòu)造了一遞減等差數(shù)列作為我們的檢查間隔，沿用問題一的指標(biāo)，建立了模型。關(guān)鍵詞：單目標(biāo)期望值模型 6SQ統(tǒng)計(jì)軟件 卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 計(jì)算機(jī)窮舉法 最優(yōu)解 等差數(shù)列1問題重述問題背景：一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等緣故該工序會出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%, 其它故障僅占5%，工序出現(xiàn)故障是完全隨機(jī)的，工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障?，F(xiàn)打算在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀

4、具。 在本文，我們需要建立自動化車床治理的數(shù)學(xué)模型來解決以下問題。由于工序出現(xiàn)故障是完全隨機(jī)的，因此每一次故障時完成的零件數(shù)均不相同。附錄一中給出100次刀具故障記錄及故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)。本文需要解決的問題：問題一：假定工序故障時產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常時產(chǎn)出的零件均為合格品, 試對該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔（生產(chǎn)多少零件檢查一次）和刀具更換策略。問題二：假如該工序正常時產(chǎn)出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時產(chǎn)出的零件有40%為合格品，60%為不合格品。工序正常而誤認(rèn)有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用為1500元/次。對該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。問題三：

5、在問題二的情況下，可否改進(jìn)檢查方式獲得更高的利益。 2.模型假設(shè)和符號講明2.1模型的假設(shè)假設(shè)1: 不考慮5%的其他故障；假設(shè)2：在生產(chǎn)任一零件時工序出現(xiàn)故障的機(jī)會均相等；假設(shè)3：每次只檢查一個零件，且檢查時刻專門小，可忽略不計(jì)；假設(shè)4：工作人員檢查到有不合格產(chǎn)品時，就推斷工序發(fā)生故障；假設(shè)5：附錄一中100次刀具故障記錄在誤差范圍內(nèi)是準(zhǔn)確的。2.2符號講明符號符號講明每生產(chǎn)個零件檢查一次檢查第次時更換新刀具工序發(fā)生故障時每次的檢查費(fèi)用工序發(fā)生故障時產(chǎn)出的零件損失費(fèi)用，單位：元/件工序發(fā)覺故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費(fèi)用（包括刀具費(fèi)），單位：元工序未發(fā)覺故障時更新一把新刀具的費(fèi)用，單位:元/次

6、工序正常而誤認(rèn)為有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用更換刀具的周期，即：定期更換刀具時已生產(chǎn)的零件總數(shù)，一個周期內(nèi)零件生產(chǎn)的總費(fèi)用一個周期內(nèi)單個零件的平均生產(chǎn)費(fèi)用第一次刀具故障時完成的零件數(shù)工序正常時生產(chǎn)的零件的不合格率工序正常時生產(chǎn)的零件的合格率工序故障時生產(chǎn)的零件的不合格率工序故障時生產(chǎn)得零件的合格率3.問題分析此題研究的是自動化車床的合理性治理的數(shù)學(xué)模型問題。要對車床進(jìn)行合理性的治理，就要有合理的治理措施，如此才能使工序效益最好。本文要緊考慮的是由刀具損壞故障和非刀具故障導(dǎo)致的一系列問題，在生產(chǎn)過程中，工序出現(xiàn)故障是完全隨機(jī)的，即在生產(chǎn)任一零件時都有可能出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%，其它故障占

7、5%。由于工作人員在檢查零件時，一旦發(fā)覺零件不合格，只能推斷該工序出現(xiàn)故障，但不能推斷故障是由刀具損傷引起的依舊其它故障引起的，我們暫且不考慮5%的其他故障（其他故障的比例較小，可忽略不計(jì)）。當(dāng)檢查員檢查到不合格零件時，就認(rèn)為自動化車床出現(xiàn)故障，應(yīng)該進(jìn)行調(diào)整使其恢復(fù)正常。由于廠家打算在刀具加工一定零件數(shù)之后要定期更換新刀具，這就涉及到零件的檢查間隔和刀具的更換周期。假如檢查間隔太長，故障不能及時發(fā)覺，就會生產(chǎn)出更多的不合格產(chǎn)品，給生產(chǎn)帶來損失；假如檢查間隔太短，那么檢查次數(shù)就會增加，如此會增加檢查費(fèi)用。綜上所述，我們應(yīng)該設(shè)計(jì)出合理的檢查間隔，使得在每次更換新刀具時，每個零件的平均費(fèi)用最低。針對

8、問題一：我們首先假設(shè)自動化車床每生產(chǎn)件產(chǎn)品時對其進(jìn)行一次檢查，第次檢查以后更換新的刀具，如此，工序更換刀具的周期為，即：自動化車床每生產(chǎn)個零件時更換一次刀具。由于更換刀具是定期的，更換刀具時，可能差不多出現(xiàn)故障，也可能還沒有出現(xiàn)故障。因此，我們分為兩種情況討論。第一種情況：第次檢查時零件合格，則更換刀具時刀具還未出現(xiàn)故障；第二種情況：在這次檢查中，第次檢查時就發(fā)覺是不合格品，那么我們認(rèn)為在第次檢查完以后生產(chǎn)的第個零件時刀具損壞，在這之后生產(chǎn)出的零件全部為不合格品，即故障出現(xiàn)在一個周期的第個零件。由此，我們依照可能出現(xiàn)的兩種情況，分不計(jì)算出一個周期內(nèi)每個零件的平均費(fèi)用。針對問題二：考慮到情況比較

9、復(fù)雜，我們將問題分為四種情況，在換刀周期內(nèi)，工序正常情況下沒有檢查出不合格的零件，工序正常時檢查出了不合格的零件，工序故障時未檢查出了不合格零件，工序故障時檢查出不合格零件。計(jì)算這四種情況下的費(fèi)用，取單個零件生產(chǎn)費(fèi)用最低的情況下得檢查間隔和換刀周期為最優(yōu)解。針對問題三：考慮到刀具工作初期產(chǎn)生不合格零件的概率相對較小，采取了變間隔檢查的方法，并構(gòu)造了一遞減等差數(shù)列作為我們的檢查間隔，分情況分概率計(jì)算出單個零件生產(chǎn)費(fèi)用的期望。4.數(shù)據(jù)分析定義：刀具的壽命是指從換新刀具到該刀具損壞故障這一段時刻按內(nèi)工序完成的零件數(shù)4.1刀具的壽命服從正態(tài)分布依照附錄一給出的數(shù)據(jù)，我們利用6SQ統(tǒng)計(jì)軟件對其進(jìn)行卡方擬

10、合優(yōu)度檢驗(yàn)，得到如下結(jié)果（結(jié)果見表4.1）：表4.1刀具的壽命服從正態(tài)分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果假設(shè)檢驗(yàn)零假設(shè)服從正態(tài)分布自由度9卡方統(tǒng)計(jì)量2.5218397p值0.9802904顯著性水平0.05結(jié)果同意零假設(shè)依照以上假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果可知：刀具的壽命服從正態(tài)分布。4.2刀具壽命的統(tǒng)計(jì) 由附錄一中給出的100個統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們利用6SQ統(tǒng)計(jì)軟件對其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下（見表4.2）： 表4.2刀具的壽命服從正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量數(shù)據(jù)個數(shù)100平均值600標(biāo)準(zhǔn)偏差196.6291695最小值84最大值1153小數(shù)位數(shù)0區(qū)間個數(shù)16區(qū)間寬度66.875依照以上的統(tǒng)計(jì)表能夠得到：刀具壽命的期望值，標(biāo)準(zhǔn)

11、差.則該正態(tài)分布的密度函數(shù)為：正態(tài)分布函數(shù)為：4.3刀具壽命的正態(tài)概率分布 我們將附錄一中的100個數(shù)據(jù)分成16個區(qū)間，由刀具損壞故障的隨機(jī)性大致能夠了解刀具壽命的概率分布，結(jié)果見下表：表4.3刀具的壽命服從正態(tài)分布的概率分布由該正態(tài)分布的概率分布圖能夠看出：數(shù)學(xué)期望在600左右，波動范圍從116.9到1120，講明標(biāo)準(zhǔn)差較大，即：刀具壽命的隨機(jī)性較強(qiáng)。5.問題一的解答本文研究的是自動化車床治理的數(shù)學(xué)模型。治理方案設(shè)計(jì)的優(yōu)劣我們不能主觀臆斷，而要確定合理的評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行推斷。為此，我們確定以下評價(jià)指標(biāo)：5.1評價(jià)指標(biāo)：單個零件的平均費(fèi)用一個周期內(nèi)的單位零件的生產(chǎn)費(fèi)用，即：一個周期內(nèi)生產(chǎn)零件的總費(fèi)

12、用除以周期長，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：該指標(biāo)越小，講明設(shè)計(jì)方案越好。針對問題一我們建立了模型一。5.2模型一的建立5.2.1確定目標(biāo)函數(shù)該模型是設(shè)計(jì)出效益最好的檢查間隔和刀具更換策略，使單個零件的平均費(fèi)用最小。由于在定期換刀時，故障可能出現(xiàn)也可能未出現(xiàn)，因此我們分為以下兩種情況進(jìn)行討論：一個周期內(nèi)未發(fā)覺不合格品，即：第次檢查時零件全部合格，則一個周期內(nèi)零件的總費(fèi)用為：，其中那個地點(diǎn)表示刀具的壽命，因此服從正態(tài)分布，即，是指刀具的壽命大于更換刀具的周期，也確實(shí)是講，換刀具時工序還未出現(xiàn)故障。第次檢查時零件不合格，故障出現(xiàn)在第次與第次檢查之間，即生產(chǎn)第個零件時刀具損壞，則一個周期內(nèi)零件的總費(fèi)用為： 那個地點(diǎn)

13、同樣服從上述正態(tài)分布，表示刀具的壽命在第次和第次之間，即：更換刀具時工序差不多出現(xiàn)故障。綜上兩種情況，我們得到：一個周期內(nèi)生產(chǎn)的零件的總費(fèi)用為：我們建立問題一的目標(biāo)函數(shù)為：5.3模型一的求解及結(jié)果分析依照上述目標(biāo)函數(shù)，用matlab軟件編程以后得到以結(jié)果（結(jié)果見表5.1）：表5.1檢查間隔與平均費(fèi)用分布表檢查次數(shù)檢查間隔平均費(fèi)用14025.714324013.17823409.09014407.14975406.10566405.54787395.29558355.13249324.996110304.879111284.777512264.688413254.609014244.539915

14、224.474116214.415217214.361018204.308019194.260120184.219821184.175122174.137723174.099024174.066425164.029126164.001527153.966728153.935529153.911130143.8800由于該分布表涉及到的數(shù)據(jù)比較多，我們在觀看檢查間隔和平均費(fèi)用變化的時候?qū)ｉT困難，為此，我們制作出如圖5.2的折線圖，便于觀看每個零件的平均費(fèi)用的變化趨勢。表5.2檢查間隔與平均費(fèi)用的折線圖由以上的折線圖，我們能夠?qū)ｉT直觀的看出單個零件的平均費(fèi)用隨著檢查次數(shù)和檢查間隔的細(xì)微變化。當(dāng)檢查

15、間隔在30左右時，平均費(fèi)用的變化專門小，這時我們差不多能夠認(rèn)為每個零件的檢查費(fèi)用差不多趨于穩(wěn)定，且每個零件的平均費(fèi)用穩(wěn)定在4元左右，也確實(shí)是講每生產(chǎn)420個零件就要換刀一次，依照附錄一可知：我們的結(jié)果是比較合理的。6.問題二的解答6.1評價(jià)指標(biāo)：單個零件的平均費(fèi)用我們依舊沿用模型一，一個周期內(nèi)的單位零件的生產(chǎn)費(fèi)用，即：一個周期內(nèi)生產(chǎn)零件的總費(fèi)用除以周期長，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：該指標(biāo)越小，講明設(shè)計(jì)方案越好。針對問題二我們建立了模型二。6.2模型二的建立6.2.1確定目標(biāo)函數(shù)該模型是設(shè)計(jì)出效益最好的檢查間隔和刀具更換策略，使單個零件的平均費(fèi)用最小。由于在定期換刀時，故障可能出現(xiàn)也可能未出現(xiàn)，因此我們分為

16、以下三種情況進(jìn)行討論：工序正常的概率為：；次檢查有次發(fā)覺不合格產(chǎn) 品，其概率為： 此種條件下的誤判費(fèi)為： 零件不合格損失費(fèi)為： 檢查費(fèi)為： 換刀費(fèi)為： 總費(fèi)用為：故障發(fā)生在第個零件的概率為： 直至第次檢查零件不合格才換刀 此種條件下的誤判費(fèi)為：為故障前的誤判次數(shù)，為換刀后的誤判次數(shù)。零件不合格損失費(fèi)為：檢查費(fèi)為：換刀費(fèi)為：調(diào)節(jié)費(fèi)為：總費(fèi)用為：其中：3.工序出現(xiàn)故障，故障發(fā)生在第個零件的概率為，但一直未查出故障。此種條件下的誤判費(fèi)為：不合格損失費(fèi)為：檢查費(fèi)為：換刀費(fèi)為：總費(fèi)用為：其中綜上所述，我們建立模型二的目標(biāo)函數(shù)為：6.3模型二的解答以及結(jié)果分析由于模型二建立的過于復(fù)雜，我們得到的目標(biāo)函數(shù)太

17、過冗長，以至于在編程時難度大大增加。我們初步可能得到的結(jié)果較粗略，檢查間隔為9，換刀周期為378，平均費(fèi)用為8.52元。7問題三的解答7.1評價(jià)指標(biāo)：單個零件的平均費(fèi)用我們依舊沿用模型一，一個換刀周期內(nèi)的單位零件的生產(chǎn)費(fèi)用，即：一個換刀周期內(nèi)生產(chǎn)零件的總費(fèi)用除以周期長，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：該指標(biāo)越小，講明設(shè)計(jì)方案越好。針對問題三我們建立了模型三。7.2模型三的建立7.2.1目標(biāo)函數(shù)的確定我們按遞減等差數(shù)列設(shè)計(jì)檢查間隔，每生產(chǎn)個零件檢查一次，檢查次之后進(jìn)行換刀，換刀周期為，分為以下兩種情況討論：故障發(fā)生在第個零件的概率為：（1）直到第j次才檢查到故障的概率為：該種條件按下的零件損失費(fèi)為： 誤判費(fèi)： 檢

18、查費(fèi)：調(diào)整費(fèi)： 總費(fèi)用：平均費(fèi)用：（2）直到必須換刀還未發(fā)覺工序故障的概率為： 該種條件下的零件損失費(fèi)為：誤判費(fèi)：檢查費(fèi)：換刀費(fèi)：總費(fèi)用:平均費(fèi)用：工序沒有出現(xiàn)故障的概率為：該種條件下的零件損失費(fèi)：誤判費(fèi)：檢查費(fèi)：換刀費(fèi)：總費(fèi)用：平均費(fèi)用：綜上，目標(biāo)函數(shù)為：7.3問題的解答及結(jié)果分析關(guān)于問題三，實(shí)際上確實(shí)是對問題二的優(yōu)化，我們將問題二中的等距檢查改進(jìn)為不等間隔檢查，以減少檢查次數(shù)從而使得生產(chǎn)工序的費(fèi)用期望達(dá)到更小。鑒于故障時刀具完成的零件數(shù)服從正態(tài)分布，再由正態(tài)分布圖形的特征，明白在開始檢查的時候，工序出現(xiàn)故障的可能性較小。最后，我們初步可能計(jì)算出工序的檢查間隔：第一次檢查間隔為156，第二次

19、和第三次檢查間隔為104，第四次檢查間隔為52，第五次為44而刀具的更換周期不變?yōu)?78。8.模型的評價(jià)、改進(jìn)及推廣8.1模型的評價(jià)優(yōu)點(diǎn)：(1)刀具是否出故障具有隨機(jī)性，我們通過已給的數(shù)據(jù)分析知出故障時刀具生產(chǎn)零件數(shù)服從正態(tài)分布，為此我們建立了隨機(jī)分布模型，求得的結(jié)果與正態(tài)分布的特征吻合。(2)關(guān)于三個問題，我們確立了一個評價(jià)指標(biāo)，即刀具生產(chǎn)單位數(shù)量的平均費(fèi)用指標(biāo)，一方面我們求得生產(chǎn)費(fèi)用少，另一方面要求刀具的壽命長。 (3)依照我們建立的模型及評價(jià)指標(biāo)，能夠?qū)ｉT好的確立檢查間隔和刀具更換周期，以獵取更高的經(jīng)濟(jì)效益。缺點(diǎn)：關(guān)于問題一，我們并沒有過多的考慮其他故障所產(chǎn)生的生產(chǎn)費(fèi)用，導(dǎo)致所得的結(jié)果不

20、是專門精確。關(guān)于問題二，我們設(shè)計(jì)的模型過于復(fù)雜，盡管與實(shí)際問題比較接近，然而加大了編程的難度。8.2模型的改進(jìn)(1)關(guān)于問題一，我們在建立模型求解時，沒有考慮其他故障引起的損失費(fèi)用，為此在模型改進(jìn)過程中，能夠?qū)⑵淇紤]到里面去深入研究；(2)關(guān)于問題二，我們可依照正態(tài)分布的圖像特征，能夠設(shè)計(jì)等差式檢查間隔，如此能夠減少檢查費(fèi)用，使得效益更高；(3) 我們能夠確立一個更加優(yōu)化的評價(jià)指標(biāo)，即刀具生產(chǎn)單位數(shù)量合格品的平均費(fèi)用，這比單一求生產(chǎn)費(fèi)用最小所得的生產(chǎn)效益更高，一方面我們求得生產(chǎn)費(fèi)用少，另一方面要求刀具的壽命長(即生產(chǎn)的合格品的數(shù)量多)。8.3模型的推廣我們建的模型不僅可用于自動化車床治理問題，也可用于其它資源的安排，比如定崗定編、進(jìn)貨等類型。9.誤差分析由于刀具的壽命服從正態(tài)分布,即：，依照我們對附錄一中100次刀具故障記錄的統(tǒng)計(jì)得出，。能夠看到該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的波動范圍較廣，依照的分布函數(shù)求得的故障概率誤差較大。參考文獻(xiàn)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)袁蔭棠 編，中國人民大學(xué)出版社 1990-7-12 數(shù)學(xué)模型. 姜啟源.北京，高等教育出版社,1993,第二版3 MAT