1、數(shù)學建模習題影院座位設計摘要本文研究了電影院的座位設計問題，根據(jù)觀眾對座位的滿意程度主要取決于視角與仰角0這一前提條件，建立了滿意程度最大的相關模型，并進行求解。問題一，首先建立在滿足仰角條件情況下的優(yōu)化模型，接著通過主觀臆斷分別對視角和仰角賦權重，對座位進行離散分析，并引入滿意度函數(shù)建立了離散加權模型，最后運用Matlab軟件求解出當?shù)匕寰€的傾角為10。時，最佳位置距屏幕的水平距離為6.8635米。問題二，根據(jù)問題一中的離散加權模型，將座位看作離散的點，建立滿意度函數(shù)平均值模型，再利用Matlab軟件解得當?shù)匕寰€的傾角為15.0543。時，所有觀眾的平均滿意程度最大。問題三，在問題二的基礎上

2、，為進一步提高觀眾的滿意程度，將地板線設計成折線形狀，即相鄰兩排座位所在的點構成一條直線，且每排座位所在地板線的傾角以2.5。變化，增加到20。后保持不變，第一排抬高1.2米。本文所建立的模型通俗易懂，求解簡單明了，對模型進行驗證發(fā)現(xiàn)與現(xiàn)實生活中的實際情況十分吻合，因此具有很強的實用性和推廣意義。關鍵詞：離散加權平均滿意度優(yōu)化模型 /15一、問題重述影院座位的滿意程度主要取決于視角和仰角P,視角是觀眾眼睛到屏幕上下邊緣的視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，太大使人的頭部過分上仰，引起不適，一般要求仰角P不超過300；記影院的屏幕高為h，上邊緣距離地面高為H，影院

3、的地板線通常與水平線有一個傾角9，第一排和最后一排與屏幕水平距離分別為d,D，觀眾的平均座高為c(指眼睛到地面的距離)，已知參數(shù)h=1.8.H=5，d=4.5,D=19，c=1.1(單位m)。求解以下問題：地板線的傾角9=100時，求最佳座位的所在位置。地板線的傾角9一般超過200，求使所有觀眾的平均滿意程度最大時的地板線傾角。地板線設計成什么形狀，可以進一步提高觀眾的滿意程度。二、問題的分析電影院座位的設計應滿足什么要求，是一個非?，F(xiàn)實的問題。根據(jù)題意觀眾對座位的滿意程度主要取決于觀看時的視角a和仰角卩，a越大越好，而卩越小越好，最佳位置就是要在這兩者之間找到一個契合點，使觀眾對兩者的綜合滿

4、意程度達到最大。本文通過對水平視角a和仰角卩取權重，建立適當?shù)淖鴺讼?，從而建立一個線形型滿意度函數(shù)。針對問題一，已知地板線傾角，求最佳座位所在，即將問題轉(zhuǎn)化求綜合滿意度函數(shù)的最大值，建立離散加權的函數(shù)模型并利用Matlab數(shù)學軟件運算求解；針對問題二，將所有觀眾視為離散的點，要使所有觀眾的平均滿意程度達到最大，即將問題轉(zhuǎn)化求滿意度函數(shù)平均值的最大值。對此利用問題一所建立的滿意度函數(shù)，將自變量轉(zhuǎn)化為地板線傾角；針對問題三，即在問題二的基礎上對地板線形狀進行優(yōu)化設計，使觀眾的平均滿意程度可以進一步提高。本文在滿意度呈線性的基礎上來建立模型的，為使模型簡化，更好地說明問題，文中將作以下假設。三、模型

5、假設忽略因視力或其他方面因素影響觀眾的滿意度；觀眾對座位的仰角的滿意程度呈線性；觀眾對座位的水平視角的滿意程度呈線性；最后排座位的最高點不超過屏幕的上邊緣；5相鄰兩排座位間的間距相等，取為0.8m；對于同一排座位，觀眾的滿意程度相同；所有觀眾的座位等高為平均座高；影院的的地板成階梯狀。四、符號說明d水平視角卩仰角0地板線與水平線的傾角d第一排離屏幕水平距離D最后一排離屏幕水平距離h屏幕的高度H屏幕上邊緣離地面的高度5視高差，即從眼睛到頭頂?shù)呢Q直距離S觀眾對水平視角為的滿意程度aSB觀眾對仰角為卩的滿意程度s平均滿意程度c,c視角a、仰角P在綜合滿意度S中的權重a卩il相鄰兩排座位間沿地板線方向

6、的間距五、模型的建立與求解問題一每一個到影院看電影的觀眾都想坐在最佳位置，而對座位的滿意程度主要取決于兩個因素：水平視角a和仰角P，且視角是觀眾眼睛到屏幕上下邊緣的視線的夾角，越大越好，仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，太大使人的頭部過分上仰，引起不適，要求不超過300。5.1.1模型I的建立：仰角在滿足條件的范圍內(nèi)，觀眾滿意度只取決于視角以第一排觀眾的眼睛為原點，建立平面直角坐標系，如圖1所示：其中，AB為屏幕，MS為地板線，OE為所有的觀眾的眼睛所在的直線。則由圖可設視覺線OE上任意一點P的坐標為(x,xtan0)，屏幕上下點的坐標分別為A(-d,H-c)，B(-d,H-h-c

7、),AP的斜率記為k,BP的斜率記為k。APBP由斜率公式得：xtan9-H+cxtan9-H+h+c(1.1)k=-tanp=,k=-tan(p-a)=APx-(-d)BPx-(-d)貝V直線AP和BP的斜率與夾角a滿足如下關系：(1.2)k一kh(x+d)tana二一bpa=1+kk(x+d)2+(xtan9H+c)(xtan9H+h+c)BPAP仰角滿足條件：Pg0。,30。所以：0tanPWv3/3n0 xtan9一H+cW3x(-d)(1.3)Hc-133dHcx33+tan9tan9由公式(1.1)(1.2)得到模型為：h(x+d)maxa=arctan(x+d)2+(xtan9H

8、+c)(xtan9H+h+c)0 xD-ds.Hcx33dHc:x勺33+tan9tan95.1.2模型I的求解當9=10。時，用Matlab軟件運算求解(程序見附錄1),得最大視角為a=13.9522。，仰角為P=30。，x=1.7274米。即P點的坐標為(1.7274,0.3046)為最佳位置。離屏幕的水平距離為4.5+1.7274=6.2274米。5.1.3模型II的建立：離散加權模型在地板線上的座位可視為是離散的點，設兩排座位在地板線方向上的前后間距為l(查閱相關資料間距一般取0.8米)，則在水平方向的間距為lcos9，考慮仰角和視角對觀眾的滿意度為主要因素。對模型I進行修正，將座位連

9、續(xù)情況進行離散化可以得到：xtan9H+c(k1)lcos9tan9H+ctanP=-=-(2.1)x(d)(k1)lcos9(d)tana=h(k1)lcos9+d)(k1)lcos9+d)2+(k1)lcos9tan9H+c)(k1)lcos9tan9H+h+c)(2.2)其中，k=1,2,3,n,n為地板線上的座位的總排數(shù)，且n=上丄+1=19。lcos9一般說來，人們的心理變化是一個模糊的概念。本文中觀眾對某個座位是否滿意的看法就是一個典型的模糊概念。由模糊數(shù)學隸屬度的概念和心理學的相關知識，根據(jù)題意，在假設條件下，對于第k排座位，建立觀眾對視角a、仰角p的滿意度函數(shù)1如下：(2.3)

10、(2.4)tana-tanaTOC o 1-5 h zSkminaktana-tana HYPERLINK l bookmark18 o Current Document maxmintanp-tanp HYPERLINK l bookmark24 o Current Document S1kminpktanp-tanp HYPERLINK l bookmark26 o Current Document maxmin式中a,p為第k排座位上觀眾視角和仰角，a,P表示在9給定的情況下最優(yōu)kkmaxmax滿意度，a,p表示在9給定的情況下最差滿意度。minmin視角a、仰角p在綜合滿意度S中的權重

11、分別為c,c，建立第k排座位綜合滿意kapcS+cSS=aakPPkkc+cap根據(jù)地板線傾角9-10。，度函數(shù)如下：(2.5)通過計算可以得出5.4210。a15.89754.0451op40.9149。，主觀給定權重C0.6,C0.4，根據(jù)模型的建立，可以得出:apTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 o Current Document cS+cS0.6S+0.4Sc HYPERLINK l bookmark36 o Current Document Saak且阻必阻3.1596tana0.5025tanp+0.1357(2.6) HYPERLINK

12、l bookmark38 o Current Document kc+c0.6+0.4kkap將式(2.1)和式(2.2)帶入公式(2.6)得到優(yōu)化模型為:maxSk3.1596*h(k1)lcos9+d)(k1)lcos9+d)2+(k1)lcos9tan9H+c)(k1)lcos9tan9H+h+c)+。5025*9黑存+0.13570 xDdHc-爲3dS.t.HccX-,k1,2,3,1933+tan9tan9x(k1)lcos95.1.4模型II的求解用Matlab軟件運算求解(程序見附錄2)可得:x2.3635米，k4排，最大滿意度為50.6176，最大視角為a13.1282。，仰

13、角為P26.9084。，最佳位置離屏幕的水平4距離為4.5+2.36356.8635米。問題二5.2.1模型皿的建立要使所有觀眾的平均滿意程度達到最大，即需求$的最大值。由模型II可知，第k排觀眾的滿意度為s，則觀眾平均滿意程度函數(shù)為：S蘭Skfn，平均滿意度S的大小由每一排的滿意度所決定，而又是由仰角P和視角a所決定。所以，要使觀眾的滿意程度達到最大，取決于兩個方面：(1)仰角不超過條件的座位所占的比例越大，觀眾的平均滿意程度就越大；(2)所有座位的視角的均值越大，觀眾的平均滿意程度就越大。由式(1.1)可知，地板線傾角9的改變將同時使所有座位的仰角和視角的大小發(fā)生改變，且在某一座位(即x取

14、某一定值)，在0逐漸增大的過程中仰角逐漸減小，視角逐漸增大，見圖2所示。仰角不超過條件的區(qū)域擴大，即地板線傾角0越大，仰角不超過條件的座位所占的比例越大?；兘?/邙隨0的變化曲線0隨0的變化曲線矚變化%矚變化圖2視角和仰角卩隨0變化的變化曲線第一排觀眾的仰角為0二40.9149。，不滿足仰角的條件，由模型II可知第k排座位所對應的仰角的正切值：(k-1)lcos0tan0-H+c7tan卩=,k=1,2,3,nk(k-1)lcos0-(-d)其中n為地板線上的座位的總排數(shù)：n=上丄+1，隨著地板線傾角0的變化，相l(xiāng)cos0鄰兩排座位間的間距/不變，但相鄰兩排座位間的水平間距會發(fā)生改變。由于地

15、板線傾角0不超過20。，所以19n20，并限制最后一排觀眾的視咼不要超過屏幕的上邊緣,即015.0543。由模型I可求出第k排座位所對應的水平視角的正切值為：h(k-1)lcos0+d)tana二一(k-1)lcos0+d)2+(k-1)lcos0tan0-H+c)(k-1)lcos0tan0-H+h+c)5.2.2模型皿的求解讓地板線傾角0在0。,20。內(nèi)逐一取值,步長為0.01。；讓x在0,14.5內(nèi)逐一取值，步長為0.01。對一個取定的0，判斷x所在的位置仰角是否超過30。，若超過，則該座位的綜合滿意度必須同時考慮仰角0和視角a的取值；否則，只需要考慮視角a的取值，把所有座位的綜合滿意度

16、相加，并求出觀眾的平均綜合滿意度，判斷此時的平均滿意度是否最大，最后一排的咼度是否超過屏幕的上邊緣，并記下最大值時0的取值。當取地板線傾角為0變化時，通過計算可以得出5.1143。a15.8975。，0。040.9149。cS+cS0.6S+0.4S3.1)由模型II的(2.5)式得：S=亠衛(wèi)E阻=如險=kc+c0.6+0.4a卩所以，將式(2.1)和式(2.2)帶入公式(3.1)得到平均滿意度的優(yōu)化模型為：hSkmaxS二n19n200。015.0543。，甘亠怖曲叫st,k=1,2,n其中n取整數(shù)0 x20。時，令(i-1)A0=20。當0=20。時，即將問題轉(zhuǎn)化為問題二中所建立的模型。由

17、于A0=2.5。，則地板線傾角增加到第8排到達20。，然后保持不變。對于這兩種情況，分別代入不同的函數(shù)，利用matlab數(shù)學軟件求得：滿意度函數(shù)的最大值Smax=O.66430.6572?？梢酝ㄟ^利用Matlab軟件來描點，如圖3所示：圖3從上圖可以看出，報告廳座位的前8排呈折線狀，以A0=2.5。遞增,當傾角增加到0=20。時保持不變，且第一排應抬高1.2米。六、模型的評價與推廣模型的評價模型的優(yōu)點:模型抓住影響觀眾滿意程度的主要因素(仰角和視角),合理構造滿意度函數(shù),過程清晰明了,結果科學合理。模型具有較好的通用性,實用性強,對現(xiàn)實有很強的指導意義。模型的不足以及需要改進的地方:模型主觀假

18、設同一排座位觀眾的滿意程度相同,實際情況并非如此,這就使得我們的模型對解決實際問題時有一定的局限性。模型建立的過程中,以觀眾眼睛所在的點為坐高點,沒有考慮前排觀眾額部對后排觀眾的遮擋,需要進一步的考慮在內(nèi)。模型的推廣本文中所建立模型的方法和思想對其他類似的問題也很適用,所建立的模型可用于大型場所的座位的設計與安排，以及彩民對中獎率的滿意程度等問題上。同時對于已知剖面來分析物體的形狀這一類型問題的處理有很好的參考價值.例如:運用該模型去解決會議廳、報告廳的布局,燈塔高度的設計等相關的問題。因此具有很強的實用性和推廣性。七、參考文獻金煒東，線性型滿意度及其組合運算，鐵道學報，第19卷第5期：50頁

19、到54頁，1997年10月李祖苑，影院座位設計，,中國科技論文在線，（訪問時間：2009年8月8日）劉學智，影院座位的安排，,中國科技論文在線，（訪問時間：2009年8月9日）龔堅，計算機視覺，北京：科學技術出版社，1998年，37頁到76頁,賽才網(wǎng)，（訪問時間：2009年8月7日）Jrs劑”iclearclcHnH1hnL8-I19-d45-chl1-HosPT314159207S-forQnoo1-20forHrrfloor(145、cos(Q、180*pi)+1)XH(11)*COS(Q、180*pi)-THr+an(Q、180*pi)-A=(d+x)(d+x)2+(干CT*x)*(Hh

20、cT*x)-iffAendendendforQnoo1-20forHrrfloor(145、cos(Q、180*pi)+1)XH(11)*COS(Q、180*pi)-Tnr+an(Q、180*pi)-A=(d+x)(d+x)2+(干CT*x)*(干hiffNAfprinr+f(ois-%dn廠e-fprinr+f(/isdF1)-endendendf弄劃clearclcHnH1hnL8-I19-d45-10/15c=1.1;l=0.8;pi=3.1415926;t=10;forQ=0:0.1:20forl=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1)x=(l-1)*cos(Q/1

21、80*pi);T=tan(Q/180*pi);B=(H-c-T*x)/(d+x);iftBt=B;endendendforQ=0:0.1:20forl=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1)x=(l-1)*cos(Q/180*pi);T=tan(Q/180*pi);B=(H-c-T*x)/(d+x);ift=Bfprintf(Qis:%dn,Q);fprintf(kis:%dn,l);endendendt附錄三clear;%clc;H=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;Q=0.1763;%tan(10/180*pi);s=0;forx=2.36353.151

22、43.93924.72715.51496.30287.09067.87858.66639.454210.242011.029811.817712.605513.393414.1812t=3.1596*(h*(x+d)/(x+d廠2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)-0.5025*(-(x*Q-H+c)/(x+d)+0.1357;ifs2+(X*QH+C)*(x*QH+h+c)0-5025*(X*QH+C)一(x+d)To-1357-ifSNC+fprinr+f(.nXisCT.X).fprinr+fnkis-%CT-X、p8*cos(10、180*pi)+1)-fpzrinr+f(nais-%CT-(ar+an(h*(x+d)一(x+d)2+(X*QH+C)*(x*QH+h+c)、pi*180)-fprinr+fnbis-%dn廠(ar+an(X*QH+C)、(x+d)、pi*180)-endendsisclear-clc-HnH1hnL8-119一d45-chl1-HosPT314159200-for罕一-20forQnoo01-20ZHh*(kl)*l*cos(Q