1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 17 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁2021-2022學(xué)年安徽省黃山市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1若，其中，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，結(jié)合虛部的概念求解即可【詳解】因?yàn)?，故，故?fù)數(shù)的虛部為2故選：D2以下說法正確的是（）A零向量與任意非零向量平行B若，則C若(為實(shí)數(shù))，則必為零D和都是單位向量，則【答案】A【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)和定義即可逐一判斷.【詳解】解：對(duì)于A,零向量與任意向量平行，故A正確

2、；對(duì)于B，時(shí)，滿足，但不一定成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于C,時(shí)，或，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，和都是單位向量，則，但不一定成立，故錯(cuò)誤故選：A3已知，是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題錯(cuò)誤的序號(hào)是（）若，則若，則若， 則若，則ABCD【答案】C【分析】可由線面平行的判定定理進(jìn)行判斷；可由線面垂直的位置關(guān)系進(jìn)行判斷；可由面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷可由面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷；【詳解】因?yàn)?，時(shí)，也有可能，故不成立故錯(cuò)誤；因?yàn)椋?位置不定，則位置不定.故錯(cuò)誤；因?yàn)椋擅婷娲怪钡呐卸ǘɡ砜傻?，故正確；因?yàn)?，時(shí)，不一定成立，有可能是，故錯(cuò)誤故錯(cuò)誤故選：C4如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長為（）ABCD【答案】B

3、【分析】根據(jù)斜二測畫法得到為兩直角邊長分別為4和6的直角三角形，進(jìn)而可得其周長.【詳解】如圖，根據(jù)斜二測畫法得到為直角三角形，兩直角邊長分別為4和6，所以斜邊長為，故的周長為故選：B5現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：從臺(tái)剛出廠的電視機(jī)中抽取臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查；某社區(qū)有戶家庭，其中高收入家庭戶，中等收入家庭戶，低收入家庭戶，為了調(diào)查家庭每年生活費(fèi)的開支情況，計(jì)劃抽取一個(gè)容量為的樣本，則完成這兩項(xiàng)調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是（）A都采用簡單隨機(jī)抽樣B都采用分層隨機(jī)抽樣C采用簡單隨機(jī)抽樣，采用分層隨機(jī)抽樣D采用分層隨機(jī)抽樣，采用簡單隨機(jī)抽樣【答案】C【分析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣的特點(diǎn)，判斷選項(xiàng).【詳解】的總體

4、中的個(gè)體數(shù)較少，宜采用簡單隨機(jī)抽樣，中1000戶家庭中收入存在較大差異，層次比較明顯，宜采用分層抽樣.故選：C6袋子里裝有大小質(zhì)地都相同的個(gè)白球，個(gè)黑球，從中不放回地摸球兩次，用表示事件“第次摸得白球”， 表示事件“第次摸得白球”，則與是（）A互斥事件B相互獨(dú)立事件C對(duì)立事件D不相互獨(dú)立事件【答案】D【分析】根據(jù)相互獨(dú)立的乘法公式即可判斷.【詳解】由題意可知,而表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故,故與不相互獨(dú)立，同時(shí)與可以同時(shí)發(fā)生，也不對(duì)立，故選：D7某省在新高考改革方案中規(guī)定：每位考生必選語文、數(shù)學(xué)、英語科，再從物理、歷史科中選科，從化學(xué)、生物、地理、政治科中選科，甲考生隨機(jī)選擇，最后他

5、選擇物理、化學(xué)、地理這個(gè)組合的概率是（）ABCD【答案】C【分析】分別寫出所有選科的組合，再寫出滿足甲考生的組合，根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】在物理、歷史任選一科只有兩種選法；而在化學(xué)、生物、地理、政治中任選二科有六種選法；甲考生隨機(jī)選科的組合共有12種，即物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，歷化生，歷化地，歷化政，歷生地，歷生政，歷地政.滿足要求的組合為：物化地共一種；所以甲考生選擇物理、化學(xué)、地理的概率為 .故選：C.8已知是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，所對(duì)的邊分別為，若，過作直線分別交、(不與端點(diǎn)重合)于、，若，若與的面積之比為，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)與的面積

6、之比為可得，再以為基底表達(dá)，結(jié)合向量共線的性質(zhì)求解即可【詳解】因?yàn)榕c的面積之比為，易得.故，即，整理得.因?yàn)椋揖还簿€，故，解得故選：D二、多選題9復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）AB的共軛復(fù)數(shù)為C的實(shí)部與虛部之和為D在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，整理復(fù)數(shù)，再逐一分析選項(xiàng)，即得.【詳解】由題得，復(fù)數(shù)，可得，則A正確；的共軛復(fù)數(shù)為，則B不正確；的實(shí)部與虛部之和為，則C正確；在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第一象限，則D正確.故選：ACD10下列說法正確的有（）A擲一枚質(zhì)地均勻的的骰子一次，事件 “出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件“出現(xiàn)點(diǎn)或點(diǎn)”，則和相互獨(dú)立B袋中有

7、大小質(zhì)地相同的個(gè)白球和個(gè)紅球.從中依次不放回取出個(gè)球，則“兩球同色”的概率是C甲，乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶率為，乙的中靶率為，則“至少一人中靶”的概率為D柜子里有三雙不同的鞋，如果從中隨機(jī)地取出只，那么“取出的鞋不成雙”的概率是【答案】ACD【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式可驗(yàn)證是否相互獨(dú)立，即可判斷A,根據(jù)排列組合以及古典概型的公式即可判斷B,D，根據(jù)對(duì)立事件的概率即可判斷C.【詳解】對(duì)于A,擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，則,而=“出現(xiàn)3點(diǎn)”，所以,則，故事件和相互獨(dú)立，對(duì)于B,兩球同色，則取出的兩球要么兩個(gè)白球，要么兩個(gè)紅球，故“同色”的概率為,故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,甲乙兩份均未中

8、靶的概率為，“至少一人中靶”的概率為，故C正確，對(duì)于D,“取出的鞋不成雙”的概率為，故正確,故選：ACD11下列命題正確的是（）A設(shè)，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件B點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若，則在的投影向量是C點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為D已知平面內(nèi)的一組基底，則向量，不能作為一組基底【答案】ABC【分析】對(duì)A，根據(jù)向量平行的性質(zhì)與數(shù)量積的運(yùn)算判斷即可；對(duì)B，根據(jù)平行四邊形法則，結(jié)合單位向量的方法可得是以為直角的等腰直角三角形，進(jìn)而判斷；對(duì)C，根據(jù)、三點(diǎn)共線，設(shè)，將替換為后與已知式子對(duì)比，用t表示，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對(duì)D，根據(jù)基底向量的性質(zhì)結(jié)合

9、平行四邊形法則判斷即可【詳解】對(duì)A，若存在負(fù)數(shù)，使得，則成立；當(dāng)時(shí)，可能夾角為鈍角，不滿足，故A正確；對(duì)B，由，結(jié)合平行四邊形法則，可得與同向的單位向量和與同向的單位向量，和與同向的單位向量構(gòu)成正方形的兩邊與對(duì)角線.故，且為的角平分線.又是邊的中點(diǎn)，由三角形三線合一可得是以為直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.故B正確；對(duì)C，如圖所示：在上，即、三點(diǎn)共線，則可設(shè)，又，則，令，時(shí)，取得最大值為，故C正確對(duì)D，已知平面內(nèi)的一組基底，則向量，為以，為邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，故，一定不共線，故能作為一組基底，故D錯(cuò)誤；故選：ABC12在棱長為的正方體中，已知點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，分別為，的中

10、點(diǎn)，點(diǎn)是該正方體表面及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且平面，則下列選項(xiàng)正確的是（）A平面B平面平面C過，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為D動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成區(qū)域的面積是【答案】ABD【分析】對(duì)A,根據(jù)面面平行即可判斷線面平行，對(duì)B，由線線垂直可證線面垂直，進(jìn)而可得面面垂直,對(duì)C，由正方體的特征可得截面為正六邊形，即可求面積，對(duì)D,由面面平行可得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而可求面積.【詳解】對(duì)于A,在正方體中，由平面，平面，平面，同理可得平面，又，所以平面平面,而平面,故平面，故A對(duì),對(duì)于B,因?yàn)?所以平面,又平面,因此,同理可得,又,故平面,因?yàn)槠矫?，故平面平面，所以B對(duì)，對(duì)于C,可知過三點(diǎn)平面截正方體所得的截面為正

11、六邊形,且正六邊形的變長為,所以截面正六邊形的面積為，故C錯(cuò)，對(duì)于D,由A知，平面平面，又平面，故可知平面，因此在三角形邊上以及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，而三角形是邊長為的正三角形，故面積為，故D對(duì)，故選：ABD三、填空題13已知向量，滿足，則_.【答案】6【分析】由，得，兩邊平方化簡可得答案【詳解】由，得，兩邊平方，得，因?yàn)?，所以，?故答案為：.14已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)_.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方與除法運(yùn)算求解即可【詳解】，故故答案為：15某同學(xué)次上學(xué)途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為，.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則的值為_.【答案】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法可列出關(guān)于和的方程組，解

12、之即可【詳解】平均數(shù)為，即，方差為，即，由解得，或，所以當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，故答案為：16如圖，已知平行四邊形中，將沿對(duì)角線翻折至所在的位置，若二面角的大小為，則過，四點(diǎn)的外接球的表面積為_.【答案】【分析】過正與正的中心E，F(xiàn)分別作平面，平面的垂線，兩線交于點(diǎn)O得外接球球心，再求出OA長即可得解.【詳解】由已知得與均為邊長是的正三角形，取AC中點(diǎn)G，連，如圖：則有，于是得是二面角的平面角，顯然有平面，即有平面平面，平面平面，令正與正的中心分別為E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作平面，平面的垂線，則二垂線都在平面內(nèi)，它們交于點(diǎn)O，從而得點(diǎn)O是過，四點(diǎn)的外接球球心，連OA，則OA為該外接球半徑，由已知得，而，于是

13、得，在中，而，在中，所以過，四點(diǎn)的外接球的表面積為.故答案為：四、解答題17已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)(1)若，求的值；(2)若 ，求，的值.【答案】(1)(2)；【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可.（1）解：因?yàn)椋?，所以，所以，所?（2）解：，又，所以，所以 ，解得.18已知向量,.(1)當(dāng)時(shí),求；(2)當(dāng)，求向量與的夾角.【答案】(1)或(2)【解析】（1）向量,，則，.由,可得即，即，解得或,當(dāng),則,則,所以，當(dāng)， ，綜上.（2）由,則由,可得,解得,所以, 又,所以

14、.19如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，(1)證明：平面；(2)若的外接圓半徑為，求三棱錐的體積【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形可得線線垂直，進(jìn)而根據(jù)線線垂直即可證明線面垂直，（2）根據(jù)等體積法即可求解.（1）由題意的：均為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以又所以平面.（2）因?yàn)榈耐饨訄A半徑為，由正弦定理得，所以，進(jìn)而可得,因?yàn)椋?所以平面因?yàn)槠矫嫠缘狡矫娴木嚯x等于到平面的距離，即，20某校有高中生人，其中男女生比例約為，為了獲得該校全體高中生的身高信息，采取了以下兩種方案：方案一：采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，抽取了樣本容量為的樣本，得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖方案二：按照

15、性別分類進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，抽取了男、女生樣本容量均為的樣本，計(jì)算得到男生樣本的均值為，方差為，女生樣本的均值為，方差為身高（單位：）頻數(shù)(1)根據(jù)圖表信息，求，的值并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖，估計(jì)該校高中生的身高均值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值為代表）(2)計(jì)算方案二總樣本的均值及方差；(3)你覺得是用方案一還是方案二總樣本的均值作為總體均值的估計(jì)比較合適？（說明理由）【答案】(1)；頻率分布直方圖見解析；(2)；(3)答案見解析【解析】（1）（1）因?yàn)樯砀咴趨^(qū)間，的頻率為，頻數(shù)4，所以，所以身高在區(qū)間，的頻率為，在區(qū)間，的頻率為，由此可補(bǔ)充完整頻率分布直方圖：由頻率分布直方圖可

16、知，樣本的身高均值為：；（2）把男生樣本記為，其均值記為，方差記為；把女生樣本記為，其均值記為，方差記為，則總樣本均值，又因?yàn)椋?，同理可得，所以總樣本方差；?）用方案一比較合適，因?yàn)榉桨敢皇前幢壤槿颖?，所以樣本的代表性比較強(qiáng)，能夠更好地反映總體的情況.21如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，已知側(cè)面與底面所成的二面角的大小為，是的中點(diǎn).(1)請(qǐng)?jiān)诶馀c上各找一點(diǎn)和，使平面平面，作出圖形并說明理由；(2)求異面直線與所成角的正切值；(3)問在棱上是否存在一點(diǎn)，使側(cè)面，若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由【答案】(1)答案見解析(2)(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位

17、線可得線線平行，進(jìn)而可得線面平行，由線面平行可證明面面平行，（2）利用線線平行，即可找到異面直線所成的角，進(jìn)而在三角形中進(jìn)行求解即可，（3）根據(jù)線線垂直，可得線面垂直，即可找到的位置.（1）分別取AB，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，NE，則平面MNE/平面PAC證明：在中，M，E分別為AB，PB的中點(diǎn)，所以ME/AP，同理，NE/PC，又平面平面所以ME/平面PAC，同理NE/平面PAC又ME，所以平面MNE /平面PAC（2）連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，故為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角因?yàn)?，平面，所以平面又平面，所以設(shè)四棱錐的底面邊長為，取中點(diǎn)為,連接由于,故為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，故，在中,，所以， 所以；（3）存在點(diǎn)F符合題意，且AF=AD，證明：取OB得中點(diǎn)Q，連接，在中，Q，E分別為BP，BO的中點(diǎn)，所以QE/PO，所以QE平面ABCD，因?yàn)锽C平面ABCD，所以QEBC,又在中，,所以QF/AB，所以QFBC，又,所以BC平面QEF，所以BCEF在，PF= =,BF= =所以，故又所以平面PBC