1、1952 年，馬科維茲提出了著名的均值方差模型，并以此開創(chuàng)了現(xiàn)代投資組合理論。該模型首次使用量化的方法，描述了投資組合中收益和風(fēng)險的取舍，展示了分散投資的重要性。然而，均值方差模型的有效性很大程度上依賴于資產(chǎn)預(yù)期收益率和預(yù)期風(fēng)險的準(zhǔn)確度，這些指標(biāo)在現(xiàn)實(shí)中又被公認(rèn)是難以準(zhǔn)確估計的。這就大大降低了均值方差模型的實(shí)踐應(yīng)用價值。為了緩解均值方差模型所生成的資產(chǎn)組合對預(yù)期收益和預(yù)期風(fēng)險的敏感性，學(xué)者提出了多種魯棒優(yōu)化的方法來增加均值方差模型的實(shí)用性。本期專題，我們提出了一套基于風(fēng)險預(yù)算模型和 Min-Max 最優(yōu)化模型的量化資產(chǎn)配置方法，并將其運(yùn)用于股債配置中。該組合以債券資產(chǎn)配置為主（風(fēng)險預(yù)算類模型決

2、定了所生成的組合一定是以偏債為主的，因?yàn)閭Y產(chǎn)的波動遠(yuǎn)小于股票資產(chǎn)，風(fēng)險預(yù)算生成的初始配置權(quán)重會大幅傾向于債券資產(chǎn)配置），同時動態(tài)配置部分權(quán)益，可將其看做是一個固收+組合的具體運(yùn)用。為便于比較模型的優(yōu)化結(jié)果，我們需要引入一個初始配置。我們考慮采用風(fēng)險預(yù)算模型。風(fēng)險預(yù)算模型的好處是僅基于資產(chǎn)的波動率生成組合權(quán)重，對輸入并不敏感，且實(shí)際效果看，較之恒定權(quán)重配置，風(fēng)險預(yù)算模型可以獲取更優(yōu)的收益風(fēng)險比。在用風(fēng)險預(yù)算模型生成初始大類資產(chǎn)配置后，通過魯棒優(yōu)化后的均值方差模型來微調(diào)大類資產(chǎn)配置的權(quán)重以及中觀行業(yè)配置優(yōu)化。對于均值方差模型的魯棒優(yōu)化，我們主要參考 Rustem, et al.（2000）提出

3、的最小-最大（Min-Max）魯棒最優(yōu)化方法，通過輸入多種收益/風(fēng)險的情景來增加返回權(quán)重的健壯性。由于該方法的核心思想是針對市場最差可能發(fā)生情況的優(yōu)化，我們認(rèn)為其更加適合于風(fēng)險厭惡場景下的投資組合構(gòu)建。本文結(jié)構(gòu)安排如下：第一節(jié)介紹了風(fēng)險預(yù)算模型在大類資產(chǎn)配置中的使用方法；第二節(jié)介紹了傳統(tǒng)均值方差問題的構(gòu)建并展示回測結(jié)果；第三節(jié)介紹了 Rustem, et al.（2000）的 Min-Max 最優(yōu)化方法，并展示了基于該方法優(yōu)化后的均值方差模型回測結(jié)果； 第四節(jié)在 Min-Max 優(yōu)化中納入中觀行業(yè)的遴選并展示回測結(jié)果；第五節(jié)嘗試使用自助抽樣（bootstrap）的方法緩解均值方差模型生成權(quán)重值

4、稀疏的問題?；陲L(fēng)險預(yù)算模型的大類資產(chǎn)權(quán)重生成風(fēng)險預(yù)算模型介紹由于其在平滑收益曲線上的優(yōu)異表現(xiàn)，風(fēng)險預(yù)算模型被廣泛應(yīng)用在大類資產(chǎn)配置上。相比均值方差模型，風(fēng)險預(yù)算模型不需要使用者輸入難以準(zhǔn)確預(yù)測的預(yù)期收益率，唯一的輸入?yún)?shù)是所有資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣，這大大提升了風(fēng)險預(yù)算模型的樣本外效果。顧名思義，風(fēng)險預(yù)算模型要求各類資產(chǎn)的風(fēng)險貢獻(xiàn)滿足一個指定的比例，風(fēng)險平價模型就是風(fēng)險預(yù)算模型的風(fēng)險貢獻(xiàn)為等權(quán)時的特例。一般來說，風(fēng)險預(yù)算模型的權(quán)重生成過程如下：對于權(quán)重向量為 w,由m 個資產(chǎn)組成的資產(chǎn)組合，若各資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣為，那么該組合的風(fēng)險即為：() = w資產(chǎn)i 的邊際風(fēng)險（MR）：資產(chǎn)i 的總風(fēng)險（TR

5、）： =()=(, )() = = (, )()若資產(chǎn) i 和資產(chǎn)j 的配置比例設(shè)置為 bi 和 bj，那么在風(fēng)險預(yù)算模型的設(shè)定中，資產(chǎn) i 和資產(chǎn) j 的總風(fēng)險需要滿足下列等式： = 當(dāng)資產(chǎn)多于 2 個時，難以直接通過上面等式形成的方程組直接求出權(quán)重向量w 的解，因此在實(shí)際應(yīng)用中，通常通過建立一個優(yōu)化問題的方式來找到最優(yōu)權(quán)重：2min ( ),=1,. . = 1=1本期專題中，我們主要是使用權(quán)益和固收類資產(chǎn)來合成固收加組合，因此大類資產(chǎn)配置中只涉及到股債兩類資產(chǎn)。在這種情況下，可以對上述的求解過程做進(jìn)一步的簡化。資產(chǎn)組合的風(fēng)險可以寫成：() = 22(1) + 22(2) + 212(1,

6、 2)12資產(chǎn) 1 邊際風(fēng)險即對上式關(guān)于 w1 求導(dǎo)，資產(chǎn) 1 總風(fēng)險貢獻(xiàn)：1 =()112(1) + 2(1, 2)()1 = 111 22(1) + 12(1, 2)=()同理，資產(chǎn) 2 總風(fēng)險貢獻(xiàn)：2 22(2) + 12(1, 2)2=()那么就有：22(1)2 + 12(1, 2)2 = 22(2)1 + 12(1, 2)112此時，如果資產(chǎn) 1 和資產(chǎn) 2 的風(fēng)險預(yù)算相同（也就是風(fēng)險平價模型的情況），很容易可以看出兩個資產(chǎn)權(quán)重之比即為波動率的倒數(shù)之比。若風(fēng)險預(yù)算不是 1：1，那么可以通過權(quán)重相加等于 1 的條件，將上式轉(zhuǎn)化成一個關(guān)于 w1 或者 w2 的二元一次方程，也可輕松求解。

7、基于風(fēng)險預(yù)算模型的大類資產(chǎn)配置回測結(jié)果我們用滬深 300 指數(shù)（000300.SH）代表權(quán)益資產(chǎn)，中債總財富指數(shù)（CBA00301.CS）代表債券資產(chǎn)?；販y了不同的風(fēng)險預(yù)算下組合的凈值表現(xiàn)。我們分別嘗試了股債風(fēng)險配置 1:1、 2:1 和 3:1 三種情況，并和股債 1:9，2:8 配置的基準(zhǔn)做對比?；販y時間區(qū)間為 2010 年 1 月 4 日-2021 年 6 月 30 日，調(diào)倉日（對于基準(zhǔn)就是再平衡日）為每季度第一個交易日。在每個調(diào)倉日，用最近 1 年的數(shù)據(jù)計算協(xié)方差矩陣，測試結(jié)果如下。從回測結(jié)果上來看，相交于基準(zhǔn)，風(fēng)險預(yù)算模型確實(shí)顯著提升了組合的收益風(fēng)險特征。風(fēng)險預(yù)算股債 1:1 組合的

8、平均權(quán)益?zhèn)}位不足 10%，但其年化收益率比股債 19 和 28 的基準(zhǔn)都更高，回撤指標(biāo)也顯著小于兩個基準(zhǔn)。風(fēng)險預(yù)算股債 2:1 組合和風(fēng)險預(yù)算股債 3:1 組合也都用更小的倉位達(dá)到了比股債 28 基準(zhǔn)組合更高的收益率和更優(yōu)的收益風(fēng)險比。在三個風(fēng)險預(yù)算組合中，風(fēng)險預(yù)算 1:1 的組合收益風(fēng)險比最優(yōu)，其年化收益率較最為激進(jìn)的風(fēng)險預(yù)算 1：3 組合也只少了 0.24%，但最大回撤提升 1.05%。因此在后續(xù)均值方差模型的研究中，我們使用風(fēng)險預(yù)算 1:1 組合作為基準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的優(yōu)化。從固收加的角度上來講，該組合相較中債總財富指數(shù)的年化收益率增厚 0.55%，并且最大回撤只多了 0.26%。

9、風(fēng)險預(yù)算股債3:1中債總財富指數(shù)風(fēng)險預(yù)算股債2:1股債28基準(zhǔn)風(fēng)險預(yù)算股債1:1股債19基準(zhǔn)1.751.651.551.451.351.251.151.050.95圖 1：風(fēng)險預(yù)算組合凈值曲線資料來源：表 1：風(fēng)險預(yù)算組合回測績效風(fēng)險預(yù)算股債風(fēng)險預(yù)算股債風(fēng)險預(yù)算股債股債 19 基股債 28 基中債總財富指1:12:13:1準(zhǔn)準(zhǔn)數(shù)累計收益率66.34%69.10%70.88%60.86%64.06%56.56%最大回撤-5.23%-5.37%-6.28%-5.68%-9.42%-4.97%年化收益率4.51%4.66%4.75%4.21%4.38%3.96%年化波動率2.30%2.74%3.09

10、%2.65%4.62%1.74%滾動 1 年平均最大回撤-2.04%-2.18%-2.47%-2.23%-4.03%-1.76%滾動 1 年平均波動率2.24%2.64%2.96%2.59%4.45%1.73%Calmar 比率2.212.131.921.891.092.25滾動 1 年平均收益率4.58%4.78%4.92%4.34%4.74%3.93%滾動 1 年最大收益率18.93%22.76%25.71%18.56%29.68%11.78%滾動 1 年最小收益率-2.84%-3.08%-3.26%-3.39%-5.57%-3.36%滾動 1 年勝率87.38%89.81%89.85%8

11、7.81%85.81%81.65%金融工程專題報告夏普比率1.311.151.051.020.621.41最大連續(xù)上漲天數(shù)121010121025最大連續(xù)下跌天勝率57.38%56.38%55.55%55.98%53.62%59.67%資料來源：表 2：各組合平均權(quán)益?zhèn)}位平均權(quán)益?zhèn)}位風(fēng)險預(yù)算股債 1:17.67%風(fēng)險預(yù)算股債 2:110.26%風(fēng)險預(yù)算股債 3:112.11%股債 19 基準(zhǔn)10.00%股債 28 基準(zhǔn)20.00%中債總財富指數(shù)0.00%資料來源：傳統(tǒng)均值方差模型在介紹 Min-Max 最優(yōu)化模型之前，我們先測試傳統(tǒng)均值方差模型的表現(xiàn)。這樣一是可以描述

12、我們對基礎(chǔ)優(yōu)化問題的構(gòu)建方式，二是可以作為 Min-Max 最優(yōu)化模型的比較基準(zhǔn)。最優(yōu)化問題的構(gòu)建一般來說，均值方差模型最優(yōu)化問題可分為三類：第一類是給定一個最小收益，使得風(fēng)險最小化；第二類是給定一個最大波動率，試圖去最大化組合收益；第三類是最優(yōu)化效用函數(shù)，通常需要指定一個風(fēng)險厭惡系數(shù)。第一類優(yōu)化問題最為常見，但是若最小收益的限制設(shè)置的不恰當(dāng)、或者各資產(chǎn)的預(yù)期收益過小，就會很容易造成優(yōu)化問題無可行解。對于第二類優(yōu)化問題來說，一是也有可能因?yàn)閷Σ▌勇实脑O(shè)置過于嚴(yán)格而導(dǎo)致無可行解，二是波動率不如收益率來的直觀，很難對其設(shè)置一個合理的限制條件。因此我們選擇使用第三類優(yōu)化問題，即效用函數(shù)的優(yōu)化。效用最

13、優(yōu)化問題的構(gòu)建如下：min + w 2. . = 1=1 可以看到，雖然效用優(yōu)化問題不需要設(shè)置最小收益或最大波動率的限制條件，但是在目標(biāo)函數(shù)中仍然有一個風(fēng)險厭惡系數(shù)lambda 需要設(shè)定。該數(shù)值越大，說明風(fēng)險在效用函數(shù)中的占比越大，投資者也更加的風(fēng)險厭惡。對于風(fēng)險厭惡系數(shù)的設(shè)定，實(shí)踐中通常取 2-4 中的一個數(shù)，因此我們設(shè)其為 3。在限制條件中，除了基本的權(quán)重和為 1 之外，還有一些不等式條件。假設(shè)風(fēng)險預(yù)算模型所生成的大類資產(chǎn)權(quán)重為 1-a%和 a%（分別是債和股的權(quán)重）,我們允許權(quán)益?zhèn)}位的有上下 50%的浮動，也就是 a/2%到 3a/2%之間。那么債券基金倉位的范圍就是 1-3a/2%到

14、1-a/2%?；販y表現(xiàn)回測時間區(qū)間為 2010 年 1 月 4 日-2021 年 6 月 30 日，調(diào)倉日為每季度第一個交易日。在每個調(diào)倉日，用最近 1 年的數(shù)據(jù)計算預(yù)期收益率和協(xié)方差矩陣。從回測結(jié)果上來看，均值方差組合的表現(xiàn)并沒能夠在風(fēng)險平價組合上有進(jìn)一步的提升，不僅在收益上弱于風(fēng)險平價組合，并且回撤也比風(fēng)險平價組合更大。均值方差組合的卡瑪比率只有 1.75，大幅低于風(fēng)險平價組合的 2.21。均值方差模型樣本外的不穩(wěn)定性，以及對預(yù)期收益和協(xié)方差矩陣的依賴性成為了其被業(yè)界廣泛使用的阻礙?；鶞?zhǔn)組合（風(fēng)險平價）均值方差組合1.81.71.61.51.41.31.21.110.9圖 2：均值方差組合

15、凈值曲線資料來源：表 3：均值方差組合績效統(tǒng)計均值方差組合基準(zhǔn)組合（風(fēng)險平價）累計收益率58.33%66.34%最大回撤-5.79%-5.23%年化收益率4.06%4.51%年化波動率2.62%2.30%滾動 1 年平均最大回撤-2.32%-2.04%滾動 1 年平均波動率2.43%2.24%Calmar 比率1.752.21滾動 1 年平均收益率4.12%4.58%滾動 1 年最大收益率17.76%18.93%滾動 1 年最小收益率-3.35%-2.84%滾動 1 年勝率85.89%87.38%夏普比率0.981.31最大連續(xù)上漲天數(shù)1512最大連續(xù)下跌天數(shù)1414日勝率57.34%57.3

16、8%資料來源：Min-Max 最優(yōu)化模型Min-Max 最優(yōu)化框架介紹Min-Max 最優(yōu)化法是對傳統(tǒng)馬科維茲框架的拓展，最早由Rustem, et al.（2000）提出。為了緩解預(yù)期收益和預(yù)期風(fēng)險的不準(zhǔn)確性，在Min-Max 最優(yōu)化的框架下，投資者可以假定多種不同的收益風(fēng)險場景，并將這些不同場景下的收益風(fēng)險組合作為參數(shù)一并輸入。Min-Max最優(yōu)化模型則試圖輸出一個最優(yōu)化最差場景的權(quán)重。考慮以下傳統(tǒng)均值方差優(yōu)化模型，其中 J（w）是我們想要進(jìn)行優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，W 是w的限定條件。min()| 在 Min-Max 最優(yōu)化的框架下，我們引入多個目標(biāo)函數(shù)（n 個場景）:(1(), 2() ()最

17、優(yōu)化問題即為：min max()| , = 1,2, 在這個優(yōu)化問題里，里層的 max 即代表所有場景中的最差情況，外層的 min 就是對這個最差情況的最優(yōu)化。對該最優(yōu)化問題的一個比較直觀的理解是：對于每一個可行的權(quán)重向量 w，依次將其帶入 n 個目標(biāo)函數(shù)中，并得到所有目標(biāo)函數(shù)的最大值（即最壞情況）。這樣每一個 w 就對應(yīng)一個最大值。然后在這些 w 中，所對應(yīng)最大值最小的那個 w 就是 Min-Max 最優(yōu)化中的最優(yōu)解。在實(shí)際求解中，w 的可行范圍通常是一個連續(xù)的空間，無法通過窮舉的方法來求解。 Rustem, et al.（2000）指出，若 w 的限制條件皆為線性等式和不等式，那么該優(yōu)化問

18、題的求解會容易很多，在 Rustem, et al.（2000）的第三部分，作者給出了針對線性限制條件的求解算法。由于本報告并未直接應(yīng)用上述的 Min-Max 最優(yōu)化框架，而是采用了一個變種，因此在本報告中就不對求解算法做詳細(xì)的介紹。Min-Max 最優(yōu)化問題可以視為對所有場景可能出現(xiàn)的最差情況的保護(hù)，很顯然這僅限于輸入進(jìn)模型中的 n 個場景，但對于未輸入模型中的場景，Min-Max 最優(yōu)化問題也可能提供一定程度的保護(hù)。設(shè)一個向量k 滿足以下條件： ; , 1 = 1; 0并定義一個元素為n 個場景的向量：1()() = |2()|()那么 Min-Max 最優(yōu)化問題可以等價替換為下述最優(yōu)化問

19、題：min max, ()| ; ; , 1 = 1; 0在對于向量 k 的限制條件下，k 和情景向量的點(diǎn)乘即所有情景的凸組合。也就是說，Min-Max 最優(yōu)化問題對輸入場景所合成的凸組合也有保護(hù)的效果。有些時候，最差情況太過極端會導(dǎo)致組合過于保守。因此 Rustem, et al.（2000）提出，可以讓投資者預(yù)先設(shè)置向量k，該向量代表投資者對各個情景發(fā)生可能性的判斷，這樣，上述 Min-Max 最優(yōu)化問題就可以得到進(jìn)一步簡化：min, ()| 鑒于其靈活度較高，而且更契合投資者的直觀，本報告中我們采用該簡化后的 Min-Max最優(yōu)化框架。情景的構(gòu)建和權(quán)重的生成對于情景的構(gòu)建，Rustem,

20、 et al.（2000）提供了四種可能的方式不同的預(yù)期收益，相同的預(yù)期風(fēng)險不同的預(yù)期收益，不同的預(yù)期風(fēng)險不同的預(yù)期收益-預(yù)期風(fēng)險組合相同的預(yù)期收益，不同的預(yù)期風(fēng)險首先，預(yù)期收益作為一個重要變量，在不同的場景中是要有所區(qū)分的，因此排除方式 4。在方式 1、2、3 中，由于我們的場景是直接從歷史數(shù)據(jù)中提取的，因此方式 3 使用起來最為直觀和方便。我們用滬深 300 的市凈率分位數(shù)來劃分三個不同的場景。具體來說，在某一個調(diào)倉日，對于過去 5 年的每一個交易日，統(tǒng)計未來三個月的收益向量和協(xié)方差矩陣。再通過過去五年滬深 300 市凈率的排名情況，將過去五年的交易日分為估值極端高、估值極端底、和估值中等

21、三個場景。最后，將這三個場景中的收益向量和協(xié)方差矩陣求平均值，即可得到三個情景下的預(yù)期收益-預(yù)期風(fēng)險組合。對于這三種場景的權(quán)重，我們以當(dāng)前調(diào)倉日的市凈率所處過去 5 年分位數(shù)作為參考。當(dāng)前市凈率分位數(shù)越高，就給高估值場景分配更多的權(quán)重。具體來說，我們給高估值、中估值、低估值三個場景都設(shè)置了一個平均估值分位數(shù)，分別是 95%，50%，5%。如果當(dāng)前估值分位數(shù)是 90%，那么三個場景的權(quán)重之比即當(dāng)前估值和三個平均估值的距離的倒數(shù)：1:|0.9 0.95|1|0.9 0.5|1:|0.9 0.1|在此基礎(chǔ)上，為了體現(xiàn)固收加類產(chǎn)品對于風(fēng)險的厭惡，我們將當(dāng)前的估值分位數(shù)適當(dāng)?shù)奶岣?，這樣可以使得高估值場景

22、獲得更高的權(quán)重。回測表現(xiàn)回測設(shè)置和 3.2 中的一致。從回測結(jié)果上來看，雖說 Min-Max 最優(yōu)化組合的收益率仍然略低于均值方差組合，但最大回撤比均值方差組合縮小了 0.14%，滾動一年最大回撤更是從 2.04%大幅下降到 1.54%。收益風(fēng)險比上，Min-Max 最優(yōu)化組合的卡瑪比率和夏普比率皆要優(yōu)于均值方差組合?；販y結(jié)果證實(shí)了 Min-Max 最優(yōu)化方法的有效性。1.81.71.61.51.41.31.21.110.9Min-Max組合基準(zhǔn)組合（風(fēng)險平價）圖 3：Min-Max 最優(yōu)化組合凈值曲線資料來源：表 4：Min-Max 最優(yōu)化組合績效統(tǒng)計Min-Max 最優(yōu)化組合基準(zhǔn)組合（風(fēng)險

23、平價）累計收益率61.85%66.34%最大回撤-5.09%-5.23%年化收益率4.26%4.51%年化波動率1.95%2.30%滾動 1 年平均最大回撤-1.54%-2.04%滾動 1 年平均波動率1.94%2.24%Calmar 比率2.76 2.21滾動 1 年平均收益率4.29%4.58%滾動 1 年最大收益率14.67%18.93%滾動 1 年最小收益率-2.62%-2.84%滾動 1 年勝率84.75%87.38%夏普比率1.42 1.31最大連續(xù)上漲天數(shù)16 12日勝率58.74%57.38%最大連續(xù)下跌天數(shù)11 14資料來源：Min-Max 最優(yōu)化在中觀配置上的檢驗(yàn)在前文中，

24、我們已經(jīng)展示了 Min-Max 最優(yōu)化在大類資產(chǎn)配置中的有效性。但在只有股債兩類資產(chǎn)的情況下，給 Min-Max 最優(yōu)化的提升空間較小，因此我們將其應(yīng)用拓展至中觀層面，倘若我們在權(quán)益配置上增加更多的選擇，或許能進(jìn)一步提升 Min-Max 最優(yōu)化的效果。權(quán)益資產(chǎn)遴選均值方差優(yōu)化模型對輸入極為敏感，要達(dá)到更好的風(fēng)險分散效果、提升模型的樣本外表現(xiàn)，我們希望所選入的資產(chǎn)之間差異要盡量大，也就是說相關(guān)性要足夠低。另一方面，我們希望所選基金的風(fēng)格是相對穩(wěn)定的，這樣才能讓歷史的凈值走勢特征更有延續(xù)性，而一般的主動權(quán)益基金并不能滿足這一要求。綜合考慮，我們決定使用行業(yè)ETF 基金作為底層權(quán)益資產(chǎn)。我們先統(tǒng)計所

25、有 28 個申萬一級行業(yè)指數(shù)之間的相關(guān)性，再通過對相關(guān)系數(shù)系數(shù)矩陣聚類的手段，篩選出相互之間相關(guān)性較小的行業(yè)，最后還需要確保所選行業(yè)都有可投基金標(biāo)的。統(tǒng)計過去 11 年的數(shù)據(jù)，各行業(yè)之間的相關(guān)性系數(shù)如下圖所示：圖 4：申萬一級行業(yè)相關(guān)性系數(shù)矩陣資料來源：我們通過層次聚類的方法，把上面相關(guān)性矩陣的行列重新排列，將相似的行業(yè)聚集在一起：圖 5：申萬一級行業(yè)相關(guān)性系數(shù)矩陣聚類后資料來源：可明顯看到，有一些高相關(guān)性的行業(yè)被聚集在了一起，形成一個大類（沿著對角線的深綠色方形區(qū)間）。對于處于同一類的行業(yè)，我們只需要選出一個行業(yè)作為代表即可。這樣可以達(dá)到降低底層資產(chǎn)之間整體相關(guān)性的效果。最后我們檢查所選行業(yè)

26、是否有對應(yīng)的基金標(biāo)的，最終的入選行業(yè)和具體基金標(biāo)的如下。由于很多基金的成立時間不夠長，在后續(xù)的回測中我們?nèi)匀皇褂孟鄬?yīng)的申萬一級行業(yè)指數(shù)作為底層資產(chǎn)。表 5：入選基金及行業(yè)基金代碼基金名稱所屬行業(yè)成立日期當(dāng)前規(guī)?，F(xiàn)任經(jīng)理基金公司004854.OF廣發(fā)中證全指汽車 A汽車2017/07/3115.3669陸志明廣發(fā)基金005063.OF廣發(fā)中證全指家用電器 A家用電器2017/09/132.9594陸志明廣發(fā)基金159939.SZ信息技術(shù)計算機(jī)2015/01/0817.6413霍華明廣發(fā)基金515700.SH新能車 ETF電氣設(shè)備2019/12/3159.3669錢晶平安基金512170.SH醫(yī)

27、療 ETF醫(yī)藥生物2019/05/2065.5499胡潔華寶基金512200.SH房地產(chǎn) ETF房地產(chǎn)2017/08/2516.2127羅文杰南方基金512400.SH有色金屬 ETF有色金屬2017/08/0342.2158崔蕾南方基金512660.SH軍工 ETF國防軍工2016/07/26142.6488艾小軍國泰基金512800.SH銀行 ETF銀行2017/07/1880.4313胡潔華寶基金512880.SH證券 ETF非銀金融2016/07/26314.7539艾小軍國泰基金160222.SZ國泰食品食品飲料2014/10/2361.0369梁杏國泰基金資料來源：均值方差模型在優(yōu)

28、化問題的建立和大類資產(chǎn)的權(quán)重限制上，我們沿用了 2.1 中的設(shè)定。對于單個權(quán)益資產(chǎn)的上下界設(shè)置，我們限制倉位在 0%-a/2%之間（a 為風(fēng)險平價模型所生成的大類資產(chǎn)權(quán)益?zhèn)}位）。圖 4 展示了基于傳統(tǒng)均值方差模型的回測結(jié)果，并和基準(zhǔn)相比較。該基準(zhǔn)組合在大類資產(chǎn)配置上采用風(fēng)險平價模型生成，并在權(quán)益資產(chǎn)的細(xì)分資產(chǎn)上采用等權(quán)配置。從回測結(jié)果上來看，經(jīng)過均值方差模型優(yōu)化的組合的表現(xiàn)顯著弱于基準(zhǔn)組合。均值方差優(yōu)化組合的年化收益率為 4.55%，小于基準(zhǔn)組合 0.12%，但最大回撤達(dá)到了-7.76%，比基準(zhǔn)組合多出了 2.67%。究其原因，我們可以從圖 5 的權(quán)益資產(chǎn)倉位中找到一些線索。在 15 年 4

29、月初的調(diào)倉日，由于權(quán)益市場在過去一年表現(xiàn)良好，均值方差模型組合相比基準(zhǔn)配置了更多的權(quán)益，這也導(dǎo)致組合在 15 年的大跌中承受了更大的回撤。 基準(zhǔn)權(quán)益?zhèn)}位國防軍工醫(yī)藥生物汽車5.00%0.00%電氣設(shè)備計算機(jī)10.00%食品飲料15.00%銀行房地產(chǎn) 非銀金融家用電器有色金屬30.00%25.00%20.00%圖 6：均值方差組合回測凈值曲線中觀行業(yè)配置圖 7：均值方差組合權(quán)益?zhèn)}位中觀行業(yè)配置基準(zhǔn)均值方差組合1.751.551.351.150.95 2010/1/12010/10/12011/7/12012/4/12013/1/12013/10/12014/7/12015/4/12016/1/1

30、2016/10/12017/7/12018/4/12019/1/12019/10/12020/7/12021/4/1資料來源：資料來源：表 6：均值方差組合績效統(tǒng)計中觀行業(yè)配置均值方差組合基準(zhǔn)累計收益率67.15%69.39%最大回撤-7.76%-5.09%年化收益率4.55%4.67%年化波動率3.28%2.34%滾動 1 年平均最大回撤-2.67%-2.12%滾動 1 年平均波動率3.03%2.29%Calmar 比率1.712.20滾動 1 年平均收益率4.50%4.71%滾動 1 年最大收益率21.41%20.41%滾動 1 年最小收益率-3.32%-2.27%滾動 1 年勝率89.7

31、3%86.04%夏普比率0.931.36最大連續(xù)上漲天數(shù)1313最大連續(xù)下跌天數(shù)814日勝率56.81%58.13%資料來源：Min-Max 最優(yōu)化我們沿用 4.2 中的回測設(shè)置和基準(zhǔn)，Min-Max 最優(yōu)化法的回測表現(xiàn)如下。在收益基本維持不變的情況下，Min-Max 最優(yōu)化組合的最大回撤僅為-4.53%，相較基準(zhǔn)縮小了 0.56%。在以 pb 分位數(shù)劃分情景的框架下，15 年之后的權(quán)益?zhèn)}位都是偏謹(jǐn)慎的，但收益仍然不輸傳統(tǒng)均值方差優(yōu)化組合?？梢钥吹?，在加入了中觀標(biāo)的后，Min-Max 最優(yōu)化模型也有不錯的表現(xiàn)。18.00%16.00%14.00%12.00%10.00%8.00%6.00%4.

32、00%2.00%0.00%銀行房地產(chǎn) 非銀金融 家用電器有色金屬食品飲料電氣設(shè)備計算機(jī) 汽車國防軍工醫(yī)藥生物基準(zhǔn)權(quán)益?zhèn)}位圖 8：Min-Max 最優(yōu)化組合凈值曲線中觀行業(yè)配置圖 9：Min-Max 最優(yōu)化組合權(quán)益?zhèn)}位中觀行業(yè)配置1.751.551.351.150.95Min-Max最優(yōu)化組合均值方差組合基準(zhǔn) 2010/1/12010/10/12011/7/12012/4/12013/1/12013/10/12014/7/12015/4/12016/1/12016/10/12017/7/12018/4/12019/1/12019/10/12020/7/12021/4/1資料來源：資料來源：表 7

33、：Min-Max 最優(yōu)化組合績效統(tǒng)計中觀行業(yè)配置Min-Max 最優(yōu)化組合均值方差組合基準(zhǔn)累計收益率69.83%67.15%69.39%最大回撤-4.53%-7.76%-5.09%年化收益率4.70%4.55%4.67%年化波動率2.34%3.28%2.34%滾動 1 年平均最大回撤-2.04%-2.67%-2.12%滾動 1 年平均波動率2.29%3.03%2.29%Calmar 比率2.301.712.20滾動 1 年平均收益率4.63%4.50%4.71%滾動 1 年最大收益率15.69%21.41%20.41%滾動 1 年最小收益率-3.21%-3.32%-2.27%滾動 1 年勝率8

34、8.24%89.73%86.04%夏普比率1.370.931.36最大連續(xù)上漲天數(shù)151313最大連續(xù)下跌天數(shù)11814日勝率58.02%56.81%58.13%資料來源：自助抽樣法不管是傳統(tǒng)均值方差模型，還是Min-Max 最優(yōu)化模型，每期的權(quán)重都只集中在少數(shù)的資產(chǎn)上，這從一定程度上也會加大組合對單個行業(yè)暴露的風(fēng)險，違背了構(gòu)建投資組合的初衷。我們利用自助抽樣法，基于不同的樣本生成多個最優(yōu)權(quán)重向量，再將對這些權(quán)重求平均值即可得到抽樣后的最優(yōu)權(quán)重。假設(shè)有 A,B,C 三個資產(chǎn)，總共進(jìn)行兩次抽樣，第一次抽樣所得到的權(quán)重分別為 0.5、0.5、0，第二次抽樣所得到的權(quán)重分別為 0、0.5、0.5，那么抽樣后的平均權(quán)重即為 0.25，0.5，0.25。在兩次單獨(dú)的抽樣中，分別只有兩個資產(chǎn)被分配了權(quán)重，但抽樣后的權(quán)重在三個資產(chǎn)上都有配置，權(quán)重更加分散。我們在Min-Max 最優(yōu)化的基礎(chǔ)上疊加自助抽樣法。我們使用一種非參數(shù)的自助抽樣方法，對高估值、中估值和低估值三種場景分別生成 100 個樣本。對于某個場景的單個樣本的生成，隨機(jī)選取過去五年估值分位數(shù)在該場景范圍區(qū)間的某一個交易日，統(tǒng)計未來一個季度的收益率和協(xié)方差矩陣。Min-Max 最優(yōu)化疊加自助抽樣