1、摘要企業(yè)的優(yōu)化管理是企業(yè)生存的血液，只有將企業(yè)有限的資源投入到能為企業(yè) 帶來最大效益的、最小成本的方向才能使企業(yè)在瞬間萬變的市場中生存。本文通過對某工廠在六個月內(nèi)的生產(chǎn)、庫存、供需與設(shè)備維修數(shù)據(jù)進行分析， 并針對題目的兩個問題分別建立了符合實際的數(shù)學(xué)模型，在模型的求解過程中， 應(yīng)用LINGO語言進行編程調(diào)試，對建立的模型進行求解，得出了符合實際的結(jié)果。問題（一）：該問題歸類于整數(shù)規(guī)劃問題，從某個月某種產(chǎn)品的的生產(chǎn)、需求及 庫存三者之間直接或間接的關(guān)系入手，建立起該模型的目標(biāo)函數(shù)，然后通過對設(shè) 備的維修計劃、生產(chǎn)單位各種產(chǎn)品所需的有關(guān)設(shè)備臺時及所需設(shè)備的數(shù)量來約束 目標(biāo)函數(shù)，從而找到可以實現(xiàn)其最

2、大利潤的生產(chǎn)安排。這其中，將每月投入生產(chǎn) 的設(shè)備進行加權(quán)平均，達到資源整合的目的，從而在原來的基礎(chǔ)上提高了生產(chǎn)力， 減少生產(chǎn)資源的浪費。這個問題的關(guān)鍵在于怎么確定生產(chǎn)時間的總和以匹配時間 約束，本文我們?nèi)∧撤N設(shè)備在某月的生產(chǎn)時間最大值之和作為生產(chǎn)時間的總和。 并利用LINGO軟件編程，得到最大利潤為910750.0元。問題（二）：此問是在問題（一）的基礎(chǔ)上將問題深化，合理的安排設(shè)備維修以 達到最優(yōu)化的生產(chǎn)安排，該問題仍然為規(guī)劃問題，此問只需將前一問的設(shè)備維修 計劃用變量表示，并重新確定產(chǎn)品是否生產(chǎn)的問題，其基本思路與問題（一）相差 不大，最后通過LINGO軟件編程獲得了最優(yōu)的維修安排與生產(chǎn)安排

3、。關(guān)鍵字：整數(shù)規(guī)劃，LINGO語言，優(yōu)化生產(chǎn)，最大利潤。問題重述企業(yè)是一個有機的整體，企業(yè)管理是一個完整的系統(tǒng)，由許多子系統(tǒng)組成。 在企業(yè)的管理中，非常關(guān)鍵的一部分是科學(xué)地安排生產(chǎn)。對于生產(chǎn)、庫存與設(shè)備 維修更新的合理安排對企業(yè)的生存和發(fā)展具有重要的意義。已知某工廠要生產(chǎn)7種產(chǎn)品，以I，II，III，IV，V，VI，VII來表示，但 每種產(chǎn)品的單件利潤隨市場信息有明顯波動，現(xiàn)只能給出大約利潤如下。產(chǎn)品IIIIIIIVVVIVII大約利 潤/元1006080401109030該廠有4臺磨床、2臺立鉆、3臺水平鉆、1臺鏜床和1臺刨床可以用來生 產(chǎn)上述產(chǎn)品。已知生產(chǎn)單位各種產(chǎn)品所需的有關(guān)設(shè)備臺時如下

4、表。.一.臺時設(shè)備 磨床立鉆單位所需產(chǎn)品IIIIIIV V VI VII0.50.10.70.2030.3水平鉆鏜床刨床020.050.80.03 0.010.070.10.050.20.50.60.60.080.05從1月到6月，維修計劃如下：1月一1臺磨床，2月一2臺水平鉆，3月一1 臺鏜床，4月一1臺立鉆，5月一1臺磨床和1臺立鉆，6月一1臺刨床和1臺水 平鉆，被維修的設(shè)備當(dāng)月不能安排生產(chǎn)。又知從1一6月市場對上述7中產(chǎn)品最大需求量如下表所示。IIIIIIIVVVIVII1月50010003003008002001002月60050020004003001503月300600005004

5、001004月20030040050020001005月0100500100100030006月500500100300110050060每種產(chǎn)品當(dāng)月銷售不了的每件每月存儲費為5元，但規(guī)定任何時候每種產(chǎn)品 的存儲量均不能超過100件。1月初無庫存，要求6月末各種產(chǎn)品各儲存50件。若該工廠每月工作24天，每天兩班，每班8小時，要求該廠如何安排生產(chǎn)，使總利潤最大；若對設(shè)備維修只規(guī)定每臺設(shè)備在1一6月份內(nèi)均需安排1 個月用于維修(其中4臺磨床只需安排2臺在上半年維修)，時間可 靈活安排。重新為該廠確定一個最優(yōu)的設(shè)備維修計劃。模型的假設(shè)及符號說明為了更好的抽象出該問題的數(shù)學(xué)模型我們做如下合理的假設(shè)：五

6、種設(shè)備同時開始工作。產(chǎn)品完成一道工序后才能進彳丁下一道工序。各工序不分先后。假設(shè)除維修的設(shè)備外其他設(shè)備在生產(chǎn)周期內(nèi)都能正常工作。不考慮設(shè)備的開與停所消耗的時間。同種設(shè)備的工作效率相同。符號說明：X :第次月生產(chǎn)種，產(chǎn)品的數(shù)量；ike :第k月是否生產(chǎn)i種產(chǎn)品;1表示生產(chǎn),0表示不生產(chǎn);ikt k :表示由于市場需求而決定是否生產(chǎn)第i種產(chǎn)品，1表示生產(chǎn)，0表示不生產(chǎn)；匕:第k月銷售i種產(chǎn)品的數(shù)量；c* : i種產(chǎn)品在k月的需求量； g* :第k月第i種產(chǎn)品的庫存量； d：:第k月的庫存量； aj:生產(chǎn)i種產(chǎn)品所需臺設(shè)備的臺時； sjk:表示i種產(chǎn)品第k月使用j種設(shè)備生產(chǎn)所需臺時； H :表示第k

7、月第j種產(chǎn)品的維修數(shù)量； b :i種產(chǎn)品的大約利潤；L :表示第j種設(shè)備的數(shù)量；O .:表示j種產(chǎn)品最大維修總量； fJ:每月工作時間(h)；問題分析及模型的建立問題（一）：由題目所給出的數(shù)據(jù)，我們可以看出，并不是每種產(chǎn)品的生產(chǎn)都要用到所有 設(shè)備，同時當(dāng)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)缺乏某種設(shè)備時就不能進行生產(chǎn)，比如在第三個月 有一臺鏜床維修，這時產(chǎn)品I、II、W、V、W都不能生產(chǎn)，而產(chǎn)品III、丑能進 行生產(chǎn)。于是我們得到產(chǎn)品的生產(chǎn)矩陣如下：表（1）：生產(chǎn)矩陣，其中1表示生產(chǎn)該種產(chǎn)品,0表示不生產(chǎn)月份 產(chǎn)品、123456I110111II110111I111110W110111V110110W111111W

8、110110又當(dāng)H1表示第左月第j種產(chǎn)品的維修數(shù)量時，則每月投入生產(chǎn)的設(shè)備數(shù)量不 kj為定值，顯然，多臺設(shè)備同時投入生產(chǎn)要比一臺設(shè)備生產(chǎn)時的效率要高，所以這 里引入加權(quán)平均，將剩余的同種設(shè)備進行歸一以提高生產(chǎn)力，如在第一個月剩余 磨床三臺，其原來的生產(chǎn)力為0.5臺時，歸一后其生產(chǎn)力將為0.5/3,由此可見生 產(chǎn)時間縮小為原來的三倍，于是又得到生產(chǎn)力矩陣：表（2）：生產(chǎn)臺時矩陣臺產(chǎn)時品 備IIIIWV丑丑磨床0.50.7000.30.20.54 Hki4 Hki4 Hki4 Hk i4 Hk i立鉆0.10.100.300.602 Hk 22 Hk 22 Hk 22 Hk 2水平鉆0.200.8

9、0000.63 - Hk 33 - H k 33 - H k 3鏜床0.050.0300.070.100.081 - Hk 41 - Hk 41 - Hk 41 - Hk 41 - Hk 4刨床000.0100.0500.051 - H 51 - H 51 - H 5由表(2)我們可以得到如下的等式：加權(quán)后i種產(chǎn)品第k月使用j種設(shè)備生產(chǎn)所需臺時為：S =ijijkL h在這個問題中關(guān)鍵要如何充分利用最多的時間生產(chǎn)最多的產(chǎn)品以滿足最大 的需求，因為每種設(shè)備是同時工作的，那么就不能簡單的把生產(chǎn)周期看成完成各種 產(chǎn)品所需時間的總和，而要充分考慮時間的復(fù)雜度，這個時間問題類似于賽跑問 題：兩人從同一起

10、跑線開始向終點出發(fā)，他們不同時到達終點，那么這個賽跑所 耗費的總時間應(yīng)該取最后一個到達終點的人所用的時間，而不是兩者所花時間的 總和，即總時間要大于或等于其中任何一個人的時間。所以放到本題情景中就要 求每臺設(shè)備所用時間要等于每月的工作總時間，于是得到如下時間約束條件：一 7max z x S e = fik ijk iki=1又每月除滿足市場需求外還要保證一定的儲存量，如果k月的第i種產(chǎn)品的儲 存量為& ik，那么下一個月的存儲量就為：g = x e - y + g ik ik ik iki (k-1)且根據(jù)題目所給信息還必須滿足如下儲存約束：g 100g 口 = 0gi = SO生產(chǎn)量Xik

11、的約束為:： TOC o 1-5 h z 0 x Mt.（M為一個足夠大的數(shù)）且要求每月的銷售量不能超過當(dāng)月的最大需求量：y. c.綜上，將所有信息用數(shù)學(xué)的形式表述完成后，可以建立起該問題的數(shù)學(xué)模型， 其目標(biāo)函數(shù)為：MAX : Z = 1L by e t d g i ik ik ikk ikk=1 i=1k=1 i=1問題（二）：目標(biāo)函數(shù)為：MAX : Z = by e t d g i ik ik ikk ikk=1 i=1k=1 i=1由于設(shè)備的缺失會使得某種產(chǎn)品不能生產(chǎn)，這里我們將生產(chǎn)單位各種產(chǎn)品所需的 有關(guān)設(shè)備臺時表轉(zhuǎn)化為如下的形式：表（3）生產(chǎn)矩陣產(chǎn)品第k月設(shè)備是否滿足生產(chǎn)需求（表達式

12、等于0表示不生產(chǎn)，非 零表示生產(chǎn)）I(2-H k 2)(3-H k3)(1-H k 4)II(2-H k 2)(1-H k 4)III(3-H/(1-H k 5)W(2-H k 2)(1-H k 4)V(1-H k 4)(1-H k 5)W(2-H k 2)訓(xùn)(3-H k3)(1-H k 4)(1-H k 5)根據(jù)題意要求每臺設(shè)備均需安排一個月用于維修，則要求第j種設(shè)備在上半 年維修機器的總數(shù)等于j種產(chǎn)品的最大維修臺數(shù)（其中磨床的最大維修總量為2 臺，其余設(shè)備的最大維修總量等于該種設(shè)備的總量），且要求每個月都有設(shè)備需要 維修，約束關(guān)系如下：丁 % = O k =1最后綜合公式就可以得出維修方案

13、。問題（一）的求解：根據(jù)前面建立的模型，我們利用專門用于解決優(yōu)化問題的LINGO軟件對模型 進行編程得出如下生產(chǎn)安排及最大利潤（程序及運行結(jié)果見附錄）：表（4）:上半年各種產(chǎn)品的生產(chǎn)安排產(chǎn)產(chǎn)品月份量IIIIIIIVVVIVII1月500100003003008002001002月60050020004003001503月0000040004月20030040050020001005月01005501001050300506月550550035005500最大利潤為：910750. 0元從分析表（3）的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)第一個月是按最大需求量生產(chǎn)的，即全部產(chǎn)品 都售出，這滿足第一個月的存儲量為0的約束

14、條件，同樣的可以看出最后一個月 按最大需求售出后每種產(chǎn)品還剩下50件，其他月份均能滿足最大需求且除在第 5、6個月末存在庫存外其他月份都無庫存，這樣就最大程度的降低了庫存費的 支出，由此可知此模型能滿足最大利潤的獲得條件，即證明此模型的合理性及可 行性。問題（二）的求解：利用LINGO編程，運行程序得到如下結(jié)果：表（5）:上半年各種產(chǎn)品的生產(chǎn)安排產(chǎn)產(chǎn)口產(chǎn)品口量、月份量一IIIIIIIVVVIVII1月50011003003008002001002月00000003月000106040004月00000005月00000006月5505501503501150550110表（6）：上半年各種設(shè)備

15、的維修安排維設(shè)/數(shù)月份量磨床立鉆水平鉆鏜床刨床1月000002月000003月200104月020115月003006月00100最大利潤：562765.9元企業(yè)通過安排設(shè)備的維修，保障在市場需求量的容量下獲得企業(yè)效益最大化。比 較問題（二）的企業(yè)最大效益與問題（一）的最大效益顯而易見只有問題（二） 的最大利潤大于問題（一）的最大利潤，才是最優(yōu)的。由上述兩個表格及最大利 潤的值與問題（一）中的生產(chǎn)安排及最大利潤對比可以知道此生產(chǎn)安排及維修計 劃不能滿足利潤的最大化，所以此方案需要改進，才能提高企業(yè)的最大利潤， 減少企業(yè)資源的浪費，達到最大增長效益。模型的分析與改進企業(yè)的最大效益是每個企業(yè)追求的

16、最大目標(biāo)，資源，能力市場容量的多方面 共同限制的最大效益，所以我們要權(quán)衡各個約束條件的重要性，即找出資源與市 場容量的一致統(tǒng)一，以達到最大效益。在本題中，其約束條件就是，由于停產(chǎn)以及機器維修而造成效率地下使得損 失程度不一樣；問題（二）的模型是討論了當(dāng)停產(chǎn)而造成的損失，其總利潤只有 54萬，與問題（一）的最大利潤相差很大，顯然這個模型不夠完善，下面討論避 免停產(chǎn)而建立的模型。在問題（二）的方案基礎(chǔ)上增加一個約束條件即：為了避免停產(chǎn)，要求同種 設(shè)備在同一個月最多維修一臺，約束如下：H 1修改前面的問題（2）程序，運行后得到如下結(jié)果:最大利潤為：1042300元。表（7）:上半年各種產(chǎn)品的生產(chǎn)安排

17、產(chǎn)產(chǎn)口產(chǎn)品口量月份量IIIIIIIVVVIVII1月50010003003008002001002月60050020004003001503月0000040004月20030040050020001005月01005001001000100006月5505501503501150550110表（8）：上半年各種設(shè)備的維修安排維設(shè)/數(shù)月份量磨床立鉆水平鉆鏜床刨床1月111002月001003月011114月000005月100006月00000改進后的模型與改進前的模型進行對比可以看出利潤比改進前的大幅提高 達到1042300萬元，且比問題（一）的最大利潤要大，說明該維修計劃與生產(chǎn)安排 能使利潤

18、達到最大化，也就成功的將模型改進。模型的評價模型優(yōu)點：基本模型對問題的描述準(zhǔn)確、合理、推導(dǎo)嚴(yán)謹，理論性強；模型結(jié)合實際，具有很高的實用價值。將生產(chǎn)力即單位所需臺時加權(quán)，這樣就避免了對多臺同種設(shè)備的生 產(chǎn)討論。用0-1矩陣來說明種產(chǎn)品的生產(chǎn)與否，使問題更簡單化，規(guī)避了其 中復(fù)雜的邏輯關(guān)系。模型缺點：由于題目沒有給出具體的生產(chǎn)工序流程，所以使得該模型無法更加接近實際的情況。題目所給利潤為大約值，當(dāng)每種產(chǎn)品的單件利潤隨市場信息有波動時模型所得結(jié)果會與實際結(jié)果有一定的偏差。模型優(yōu)化：1.針對缺點2我們可以引入目標(biāo)規(guī)劃中的正負偏差，這樣就將單件利潤隨市場波動用數(shù)學(xué)模型建立出來了。參考文獻【1】姜啟源，謝

19、金星，數(shù)學(xué)模型（第三版），高等教育出版社，2003.8.【2】數(shù)學(xué)建模分析法（上、下）附錄問題（一）的LINGO程序:model:title B題；sets :time/1.6/:d,s;kind/1.7/:b;yiqi/1.5/:l;gz/A1.A1/:f;kucun(kind,kind):g;many(kind,time):x,y,c,t,e;need(kind,yiqi):a;weixiu(time,yiqi):h,n;chenben(kind,yiqi,time):m;endsetsdata :a=0.5 0.1 0.2 0.05 0 0.7 0.2 00.03 0 0 0 0.8 0

20、 0.01 0 0.3 0 0.07 0 0.30 0.6 0.08 0.05;0 0 0.1 0.05 0.2 0.6 0 0 0 0.5c=500 600 300 200 0 500 1000 500 600 300 100 500 300 200 0 400 500 10030000500100 3001501001000 60;b=10060 8040 110d=5555 55;l=4231 1;f=384;h=100 00002 0000 01 001 00 011 00 000 10 1;e=110 11 111011190 30;800 400 500 200 1000 1100

21、 200 300 400 0 300 500 1000;enddata max= sum (many(i,k):b(i)*y(i,k)*t(i,k)*e(i,k)- sum (many(i,k):d(k)*g(i,k)for (many(i,k):g(i,k+1)=g(i,k)+x(i,k)*t(i,k)*e(i,k)-y(i,k);for(kucun(i,k):g(i,k)=100);for(kind(i):50=g(i,7);for(kind(i):g(i,1)=0);for (many(i,k):y(i,k)=c(i,k);for(time(k):for(need(i,j):m(i,j,

22、k)=if(l(j)#eq#h(k,j),10000,a(i ,j)/(l(j)-h(k,j);for(time(k):for(yiqi(j):n(k,j)=sum(chenben(i,j,k):m(i,j,k)*x(i ,k)*t(i,k)*e(i,k);for(time(k):s(k)=f(1);for(many(i,k):x(i,k)=10000火t(i,k);for(many(i,k):bin(t(i,k);end程序部分運行結(jié)果：Local optimal solution found.910750.0910750.00.1136868E-122242Objective value:

23、Objective bound:Infeasibilities:Extended solver steps:Total solver iterations:Model Title: B 題VariableValueReduced CostX(1,1)500.00000.000000X(1,2)600.00000.000000X(1,3)0.0000000.000000X(1,4)200.00000.000000X(1,5)0.0000000.000000X(1,6)550.00000.000000X(2,1)1000.0000.000000X(2,2)500.00000.000000X(2,3

24、)0.0000000.000000X(2,4)300.00000.000000X(2,5)100.00000.000000X(2,6)550.00000.000000X(3,1)300.00000.000000X(3,2)200.00000.000000X(3,3)0.0000000.000000X(3,4)400.00000.000000X(3,5)550.00000.000000X(3,6)0.0000000.000000X(4,1)300.00000.000000X(4,2)0.00000010.00000X(4,3)0.0000000.000000X(4,4)500.00000.000

25、000X(4,5)100.00000.000000X(4,6)350.00000.000000X(5,1)800.00000.000000X(5,2)400.00000.000000X(5,3)0.0000000.000000X(5,4)200.00000.000000X(5,5)1050.0000.000000X(5,6)0.0000000.000000X(6,1)200.00000.000000X(6,2)300.00000.000000X(6,3)400.00000.000000X(6,4)0.0000000.000000X(6,5)300.00000.000000X(6,6)550.0

26、0000.000000X(7,1)100.00000.000000X(7,2)150.00000.000000X(7,3)0.0000000.000000X(7,4)100.00000.000000X(7,5)50.000000.000000X(7,6)0.0000000.000000問題（二）的程序：model:title B題；sets :time/1.6/:d,s;kind/1.7/:b;yiqi/1.5/:l,o;gz/A1.A1/:f;kucun(kind,kind):g;many(kind,time):x,y,c,t,e;need(kind,yiqi):a;weixiu(time,

27、yiqi):h,n;chenben(kind,yiqi,time):m;endsetsdata :a=0.5 0.1 0.20.05 0 0.7 0.20 0.03 0 0 0 0.8 0 0.01 0 0.3 0 0.07 0 0.30 0 0.1 0.05 0.2 0.6 0 0 0 0.5 0 0.6 0.08 0.05;c=500 600 300 200 0 500 1000 500 600 300 100 500 300 200 0 400 500 100 300 0 0 500 100 300 800 400 500 200 1000 1100 200 300 400 0 300

28、500 100 150 100 100 0 60;b=100 60 8040 110 90 30;d=5 5 5 5 55;l=4 2 3 1 1;o=2 2 3 1 1;f=384;enddatamax=sum (many(i,k):b(i)*y(i,k)*t(i,k)*e(i,k)- sum (many(i,k):d(k)*g(i,k);for (many(i,k):g(i,k+1)=g(i,k)+x(i,k)*t(i,k)*e(i,k)-y(i,k);for(kucun(i,k):g(i,k)=100);for(kind(i):50=g(i,7);for(kind(i):g(i,1)=0

29、);for(many(i,k)|i#eq#1:e(1,k)=if(2-h(k,2)*(3-h(k,3)*(1-h(k,4)#gt# 0,1,0);for(many(i,k)|i#eq#2:e(2,k)=if(2-h(k,2)*(1-h(k,4)#gt#0,1,0);for(many(i,k)|i#eq#3:e(3,k)=if(3-h(k,3)*(1-h(k,5)#gt#0,1,0);for(many(i,k)|i#eq#4:e(4,k)=if(2-h(k,2)*(1-h(k,4)#gt#0,1,0);for(many(i,k)|i#eq#5:e(5,k)=if(1-h(k,4)*(1-h(k,

30、5)#gt#0,1,0);for(many(i,k)|i#eq#6:e(6,k)=if(2-h(k,2)#gt#0,1,0);for(many(i,k)|i#eq#7:e(7,k)=if(1-h(k,4)*(3-h(k,3)*(1-h(k,5)#gt# 0,1,0);for(yiqi(j):sum(weixiu(k,j):h(k,j)=o(j);for(weixiu(k,j):h(k,j)=3);for (many(i,k):y(i,k)=c(i,k);for(time(k):for(need(i,j):m(i,j,k)=if(l(j)#eq#h(k,j),10000,a(i ,j)/(l(j

31、)-h(k,j);for(time(k):for(yiqi(j):n(k,j)=sum(chenben(i,j,k):m(i,j,k)*x(i ,k)*t(i,k)*e(i,k);for(time(k):s(k)=f(1);for(many(i,k):x(i,k)=10000火t(i,k);for(many(i,k):bin(t(i,k);for(weixiu(k,j):gin(h(k,j);end改進后的程序： model: title B題； sets : time/1.6/:d,s; kind/1.7/:b; yiqi/1.5/:l,o; gz/A1.A1/:f; kucun(kind,

32、kind):g; many(kind,time):x,y,c,t,e; need(kind,yiqi):a; weixiu(time,yiqi):h,n; chenben(kind,yiqi,time):m; endsets data : a=0.5 0.1 0.2 0.05 0 0.7 0.2 0 0.03 0 0 0 0.8 0 0.01 0 0.3 0 0.07 0 0.3 0 0 0.1 0.05 0.2 0.6 0 0 0 0.5 0 0.6 0.08 0.05; c=500 600 300 200 0 500 1000 500 600 300 100 500 300 200 0 400 500 100 300 0 0 500 100 300 800 400 500 200 1000 1100 200 300 400 0 300 500 100 150 100 100 0 6