1、Lyapunov方程Lyapunov方程是指具有如下形式的方程A,Q給定，如果P存在，就說(shuō)Lyapunov方程有解。以下敘述中，用In（A）=(p，q，r)表示A的慣性指數(shù)。（正，負(fù)，零實(shí)部）1Lyapunov方程的一般解矩陣方程AX-XB=C有唯一解X的充分必要條件是A和B沒(méi)有相同的特征根。設(shè) （i=1，2n）是矩陣A的特征值，則Lyapunov方程有唯一實(shí)對(duì)稱(chēng)解的充要條件是 i，j=1，2，n設(shè)Q為任意給定的正定矩陣，則Lyapunov方程有唯一正定解P的充要條件是In（A）=（0，n，0）2設(shè)Q= 是半正定矩陣，且（A,D）是可觀的、可控的、可檢測(cè)的、可穩(wěn)定的。Lyapunov方程具有唯

2、一正定解的充分必要條件是In（A）=（0，n，0）可穩(wěn)定：對(duì)于系統(tǒng) 進(jìn)行狀態(tài)反饋 ，若閉環(huán)控制系統(tǒng)對(duì)于任意初始狀態(tài) 滿(mǎn)足 ，則稱(chēng)為系統(tǒng)是可穩(wěn)定的，即（A,B）是可穩(wěn)定的。對(duì)于系統(tǒng) ，如果（ ， ）是可穩(wěn)定的，則稱(chēng)系統(tǒng)是可檢測(cè)的，即（C，A）是可檢測(cè)的3可穩(wěn)定性；（A,B）是可穩(wěn)定的 存在使A+BK漸進(jìn)穩(wěn)定的矩陣K 對(duì)于任意的Re(S) 0,有rank（SI-A，B）=n?？蓹z測(cè)性（C，A）是可檢測(cè)的 存在使A+HC漸進(jìn)穩(wěn)定的矩陣對(duì)于任意的Re(S) 0,有rank=n?？煽匦?？可觀性？如何判斷？ 4Riccati方程Riccati方程是指具有如下形式的矩陣方程：其中 ，且Q為對(duì)稱(chēng)矩陣，R為半定

3、或者半負(fù)定矩陣，若存在P滿(mǎn)足上式，則稱(chēng)該方程有解。5Raccati解的一般形式定義 維的矩陣E如下：稱(chēng)為Raccati方程的Hamiltonian矩陣設(shè) （i=1,2n）是E的n個(gè)特征根 ，是以之對(duì)應(yīng)的特征向量，記 （i=1,2n）對(duì)應(yīng)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為J，并定義 矩陣T為 ，則有ET=TJ，令矩陣 和 為 ，那么關(guān)于Riccati方程的解有如下結(jié)論：6若P是方程的解，p可以表示為 ，反之，若 是非奇異矩陣，則上式給出的矩陣P是Riccati方程的解。Hamilton矩陣E的特征值關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)分布的，即若 是E的一個(gè)特征值，則 均為E的特征值設(shè) （i=1，2，n）為E的n個(gè)特征值，和 由

4、相應(yīng)的特征向量組成， ，則 是Hermitian陣。設(shè) 是Riccati方程的一個(gè)解，若對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量 包含在矩陣7中，對(duì)應(yīng)于 的 也包含在T中，則P是實(shí)矩陣。Riccati方程存在一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)解P,且使得In（A+RP）=(0,n,0)的充要條件是：1）In(E)=(n,n,0)2)(A,R)是可穩(wěn)定的。若（A，B）是可穩(wěn)定的，（A，c）是可檢測(cè)的，則In（E）=（0，n，0）Riccati方程存在唯一非負(fù)解P且使矩陣In 的充要條件是（A，B）是可穩(wěn)定的，（A，c）是可檢測(cè)的，8正實(shí)性有理函數(shù)， ，其中，p（s）是有理多項(xiàng)式，假定p（s）和q（s）互素？，則一定存在 ， ，使得（A，

5、b，c，d）是G（s）的一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)？，即 實(shí)現(xiàn)：給定線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣G（s），尋求一個(gè)狀態(tài)空間描述使 ，則稱(chēng)此狀態(tài)空間描述是給定傳遞函數(shù)G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。9若G（s）為正實(shí)有理函數(shù)，則其在開(kāi)右半平面無(wú)極點(diǎn)。譜分解：對(duì)于給定的有理函數(shù)G（s），若存在有理函數(shù) ，使得則稱(chēng)上式為G（s）的譜分解。譜分解定理：設(shè)正定有理函數(shù)G（s）的最小實(shí)現(xiàn)為（A，b，c，d），且A的特征值均有負(fù)實(shí)部，則G（s）存在譜分解式， 且 的最小實(shí)現(xiàn)為（A，b，h， ），其中， ，h為適當(dāng)向量正實(shí)性定理：設(shè)有理函數(shù)G（s）的最小實(shí)現(xiàn)為（A，b，c，d），則G（s）是正實(shí)函數(shù)的10充要條件是存在向量 以及正定矩陣

6、 滿(mǎn)足嚴(yán)格正實(shí)性定理？設(shè)（A，b，c，d）是有理函數(shù)G（s）的一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)，且 ,則G（s）嚴(yán)格正實(shí)德充要條件是A為Hurwitz矩陣？，且11正實(shí)有理函數(shù)矩陣若 滿(mǎn)足如下條件：1）Z（s）的所有元 ，在s的開(kāi)右半平面解析；2） 在s的右半平面正定或半正定，即則稱(chēng)Z（s）是正實(shí)的，又若存在 ，使得 正實(shí)，則稱(chēng)Z（s）是嚴(yán)格正實(shí)的譜分解定理：與標(biāo)量函數(shù)一樣，若Z（s）是矩陣，其元素?zé)o任何零實(shí)部極點(diǎn)，則存在 ，使得12在眾多實(shí)現(xiàn)中，能控類(lèi)和能觀類(lèi)實(shí)現(xiàn)是最常見(jiàn)的實(shí)現(xiàn)，這里，（A，B，C，D）不但能滿(mǎn)足傳遞函數(shù)矩陣關(guān)系式，而且（A,B）能控或（A，C）能觀測(cè)。所謂最小實(shí)現(xiàn)，是指A的維數(shù)最小，從而也使B，C，D維數(shù)最小，它以最簡(jiǎn)單的狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)去獲得等價(jià)的外部傳遞特性。若G（s）在開(kāi)右半平面內(nèi)解析，且對(duì)于滿(mǎn)足Re（s）0的任意S，有 則稱(chēng)G（s）是正實(shí)的，若存在 ，使得 是正實(shí)的，則稱(chēng)G（S）是嚴(yán)格正實(shí)的，131）2）M（s）在閉右半平面解析，且rankM（s）=r,r為矩陣 的秩。正實(shí)陣定理： 是正實(shí)陣的