1、2.4正態(tài)分布課后篇鞏固提升基礎鞏固1.關于正態(tài)分布N(,2),下列說法正確的是()A.隨機變量落在區(qū)間長度為3的區(qū)間之外是一個小概率事件B.隨機變量落在區(qū)間長度為6的區(qū)間之外是一個小概率事件C.隨機變量落在(-3,3)之外是一個小概率事件D.隨機變量落在(-3,+3)之外是一個小概率事件解析P(-3X+3或X-3)=1-P(-3X4)=()A.15B.14C.13D.12解析由正態(tài)分布圖象,可知x=4是該圖象的對稱軸,P(4)=12.答案D3.已知XN(0,1),則X在區(qū)間(-,-2)內(nèi)取值的概率為()A.0.954 5B.0.045 5C.0.977 3D.0.022 75解析由題知對應的

2、正態(tài)曲線的對稱軸為x=0,所以P(X1230B.01212130D.012=13解析當=0,=1時,正態(tài)曲線f(x)=12e-x22.在x=0時,取最大值12,故2=1.由正態(tài)曲線的性質(zhì),當一定時,曲線的形狀由確定.越小,曲線越“瘦高”;越大,曲線越“矮胖”,于是有012=13.答案D6.若隨機變量XN(1,22),則Y=3X-1服從的總體分布可記為.解析XN(1,22),=1,=2.又Y=3X-1,E(Y)=3E(X)-1=3-1=2,D(Y)=9D(X)=62.YN(2,62).答案YN(2,62)7.已知當XN(,2)時,P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-

3、3X+3)0.997 3,則34 12e-(x-1)22dx=.解析由題意,=1,=1,34 12e-(x-1)22dx=P(3X4)=12P(-2X4)-P(-1110)=1-2P(90100)2=0.2,該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為0.250=10.答案109.已知某地農(nóng)民工年均收入X(單位:元)服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)圖象如圖所示.(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)的表達式;(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8 0008 500元之間的人數(shù)所占的百分比.解設XN(,2),結合題圖可知,=8 000,=500.(1)此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)表達式為,(x)=12e-(x-)22

4、2=15002e-(x-8 000)225002,x(-,+).(2)P(7 500X8 500)=P(8 000-500X8 000+500)0.682 7.P(8 000X8 500)=12P(7 500X8 500)=0.341 35=34.135%.故此地農(nóng)民工年均收入在8 0008 500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.135%.10.設XN(4,1),證明P(2X6)=2P(2X4).證明因為=4,所以正態(tài)曲線關于直線x=4對稱,所以P(2X4)=P(4X6).又因為P(2X6)=P(2X4)+P(4X6),所以P(2X6)=2P(2p2B.p11)=p,則P(-10)=()A.1

5、2+pB.1-pC.1-2pD.12-p解析P(-10)=12P(-11)=12-P(1)=12-p.答案D3.設隨機變量XN(,2),且X落在區(qū)間(-3,-1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(1,3)內(nèi)的概率相等,若P(X2)=p,則P(0X2)等于()A.12+pB.1-pC.1-2pD.12-p解析由X落在(-3,-1)內(nèi)的概率和落在(1,3)內(nèi)的概率相等得=0.又P(X2)=p,P(-2X2)=1-2p,P(0X2)=1-2p2=12-p.答案D4.若隨機變量N(10,2),若在(5,10)上的概率等于a,a(0,0.5),則在(-,15)上的概率等于.解析由題意可知P(1015)=a,則P(-5

6、)=1+P(55)=1+P(7-2X7+2)21+0.954 52.顯然第二個方案“利潤超過5萬元”的概率比較大,故他應該選擇第二個方案.6.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量結果得頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù)x,2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布,求P(187.8Z212.2);某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,

7、212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用的結果,求E(X).附:15012.2.若ZN(,2),則P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),從而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)0.682 7.由知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 7,依題意知XB(100,0.682 7),所以E(X)=1000.682 7=68.27.7.(選做題)已知某種零件的尺寸X(單位:mm)服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù),在80,+)上是減函數(shù),且f(80)=182 .(1)求概率密度函數(shù);(2)估計尺寸在(72,88間的零件大約占總數(shù)的百分之幾?解(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù),在80,+)上是減函數(shù),所以正態(tài)曲線關于直線x=80對稱,且在x=80處取得最大值,因此得=80,12=182,所以