1、習(xí)題課正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用1.設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則ABC的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定解析由bcos C+ccos B=asin A,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin A=sin2A,因?yàn)?A,所以sin A=1,所以A=2,所以ABC為直角三角形.答案B2.已知在ABC中,A=30,AB=3,BC=1,則ABC的面積等于()A.32B.34C.32或3D.32或34解析由正弦定理得3sinC=1sin30,所以sin C=3

2、2,所以C=60或C=120.所以B=90或B=30,所以SABC=12ABBCsin B=32sin B=32或34.故選D.答案D3.在鈍角ABC中,a=1,b=2,則最大邊c的取值范圍是()A.(1,3)B.(2,3)C.(5,3)D.(22,3)解析由cos C=a2+b2-c22aba2+b2=5,c5,又ca+b=3,5c3.答案C4.如圖,在四邊形ABCD中,已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,則BC的長為()A.82B.92C.142D.83解析在ABD中,設(shè)BD=x,則BA2=BD2+AD2-2BDADcosBDA,即142=x2+102-21

3、0 xcos 60,整理得x2-10 x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去).由正弦定理得BCsinCDB=BDsinBCD,所以BC=16sin135sin 30=82.答案A5.已知三角形面積為14,外接圓面積為,則這個(gè)三角形的三邊之積為()A.1B.2C.12D.4解析設(shè)三角形外接圓半徑為R,則由R2=,得R=1,12absin C=abc4R=abc4=14,abc=1.答案A6.如圖,為了測量A,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上的B,D兩點(diǎn),測出四邊形ABCD各邊的長度(單位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且B與D互補(bǔ),則AC的長為()A.7 kmB.8 k

4、mC.9 kmD.6 km解析在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即AC2=25+64-258cos B=89-80cos B.在ADC中,由余弦定理,得AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D,即AC2=25+9-253cos D=34-30cos D.因?yàn)锽與D互補(bǔ),所以cos B=-cos D,所以-34-AC230=89-AC280,解得AC=7(負(fù)值舍去),故選A.答案A7.在ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,則BAAC=.解析由余弦定理,得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=9+4-1012=14.ABAC=|AB|AC|c

5、os A=3214=32,BAAC=-ABAC=-32.答案-328.在ABC中,角A,B,C所對的邊的長分別為a,b,c,若a=7,b=3,c=2,則A=,ABC的面積為.解析由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=9+4-7232=12,因?yàn)锳(0,),所以A=3.所以ABC的面積為12bcsin A=123232=332.答案33329.如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點(diǎn)C,使得C在塔底B的正東方向上,測得點(diǎn)A的仰角為60,再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D,測得BDC=45,則塔AB的高度為米.解析設(shè)塔AB的高度為x米,根據(jù)題意可知在ABC中,ABC=90,A

6、CB=60,AB=x米.從而BC=33x米,在BCD中,CD=10米,BCD=90+15=105,BDC=45,則CBD=30.由正弦定理可得,BC=CDsinBDCsinCBD=10sin45sin30=102(米).所以33x=102,所以x=106,故塔AB的高度為106米.答案10610.在ABC中,若B=60,AC=3,則AB+2BC的最大值為.解析A+C=120C=120-A,A(0,120).BCsinA=ACsinB=2BC=2sin A,ABsinC=ACsinB=2AB=2sin C=2sin (120-A)=3cos A+sin A,所以AB+2BC=3cos A+5si

7、n A=28sin (A+)=27sin (A+),其中tan =35,故最大值是27.答案2711.已知正三角形ABC的邊長為2,D,E,F分別在邊AB,BC,CA上,D為AB的中點(diǎn),DEDF,且DF=32DE,則BDE=.解析如圖,設(shè)BDE=.在BDE中,由正弦定理知EDsin60=BDsin(120-),所以DE=32sin(120-),同理,在ADF中,DF=32sin(30+).所以DFDE=sin(120-)sin(30+)=32,整理得tan =3,因?yàn)?180,所以=60.答案6012.在ABC中,a,b,c為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asin A=(2b+c)sin B+(2

8、c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,試判斷ABC的形狀.解(1)因?yàn)?asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,所以根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=-12,又0A,所以A=23.(2)由(1)知a2=b2+c2+bc,根據(jù)正弦定理得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,即sin2B+sin2C+sin Bsin C=34,又已知sin B+sin C=1,聯(lián)立解得sin B=sin C=12,又已知B+C=-A=3,所以0B3,0

9、C3,所以B=C=6.故ABC的形狀是等腰三角形.13.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知sin A+sin C=psin B(pR)且ac=14b2.若角B為銳角,則p的取值范圍是.解析由題a+c=pb,得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=p2b2-12b2-12b2cos B,即p2=32+12cos B.因?yàn)?cos B0,所以62p2.答案62,214.已知甲船正在大海上航行.當(dāng)它位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救,甲船立即以10海里/小時(shí)的速度勻速前往救援,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C處的乙船,乙船當(dāng)即也決定勻速前往救援,并且與甲船同時(shí)到達(dá).(1)試問乙船航行速度的大小.(2)試問乙船航行的方向(試用方位角表示,結(jié)果精確到1).解(1)設(shè)C與B的距離為x海里,所用時(shí)間為2010=2(小時(shí)),則x2=AC2+AB2-2ABAC