1、18.1 平行四邊形第18章 三角形的證明第3課時(shí) 平行四邊形的 判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2兩組對(duì)邊平行或相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形對(duì)邊平行；平行四邊形對(duì)邊相等；平行四邊形對(duì)角相等；平行四邊形對(duì)角線互相平分；知識(shí)點(diǎn)兩組對(duì)邊平行或相等的四邊形是平行四邊形知1講1 一裝潢店要招聘店員，老板出了這樣一道考題：“一顧客要一張平行四邊形的玻璃，你利用工具度量哪些數(shù)據(jù)可說(shuō)明這張玻璃符合顧客要求.”知1講從邊看： 方法一：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是 平

2、行四邊形；(定義法) 數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，ABCD，ADBC， 四邊形ABCD是平行四邊形； 方法二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，ABCD，ADBC， 四邊形ABCD是平行四邊形；知1練例 1要證四邊形BFDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的定義可證得DFBE，因此可采用判定方法一即定義法證明DEFB即可 如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形， DE平分ADC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BF平分 ABC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 求證：四邊形BFDE是平行四 邊形導(dǎo)引：知1練 四邊形ABCD是平行四邊形， ADCABC，ADCB. DFBE. DE平分ADC，BF平分A

3、BC， 1234. ADBC，1E. E3. DEFB. 四邊形BFDE是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別 平行的四邊形是平行四邊形)證明：知1講歸 納 平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方法，也是其他判定方法的基礎(chǔ)當(dāng)題目中出現(xiàn)平行的線段時(shí)，往往借助判定方法一來(lái)幫助我們對(duì)四邊形加以判斷例2知1練 如圖，分別以ABC的三邊為一邊，在BC的同 側(cè)作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三 角形ACF，連接DE，EF. 求證：四邊形ADEF是平行四邊形由等邊三角形的性質(zhì)可以得到線段相等，角相等，進(jìn)而可以通過(guò)全等三角形證明四邊形ADEF的兩組對(duì)邊分別相等，最后根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行

4、判定導(dǎo)引：知1練ABD、BCE、ACF都為等邊三角形，DBABAD，BEBC，ACAF， DBA60，EBC60.DBE60EBA，ABC60EBA，DBEABC，DBEABC，DEAC. 又ACAF，AFDE.同理可證：ABCFEC，ABFE，F(xiàn)EAD，四邊形ADEF是平行四邊形證明：知1講歸 納 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得到線段相等，角相等，進(jìn)而通過(guò)證明三角形全等得到四邊形ADEF的兩組對(duì)邊分別相等，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形得證知1練1.如圖，ABDCEF，ADBC，DECF. 圖中有哪些互相平行的線段？ABCD，ADBC，CDEF，DECF，ABEF.解：知1練2. 四邊

5、形的四條邊長(zhǎng)分別是a，b，c，d，其中a，b為 一組對(duì)邊長(zhǎng)，c，d為另一組對(duì)邊長(zhǎng)且a2b2c2d2 2ab2cd，則這個(gè)四邊形是() A任意四邊形 B平行四邊形 C對(duì)角線相等的四邊形 D對(duì)角線垂直的四邊形B知識(shí)點(diǎn)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形2知2講幾何語(yǔ)言： ABC=ADC，BAD=BCD，四邊形ABCD是平行四邊形(如圖所示)知2練例 3 如圖，在ABCD中，BE平分ABC，交AD于 點(diǎn)E，DF平分ADC，交BC于點(diǎn)F，那么四邊 形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？利用平行四邊形對(duì)角相等的性質(zhì)可得ABCADC，AC，然后再依據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證出四邊形BFDE的兩組對(duì)角

6、分別相等，于是可得出結(jié)論導(dǎo)引：知2練四邊形BFDE是平行四邊形理由：在ABCD中，ABCADC，AC.BE平分ABC，DF平分ADC，ABECBE ABC，CDFADF ADC，CDFADFABECBE.DFBCCDF，BEDABEA，DFBBED，四邊形BFDE是平行四邊形解：知2講歸 納 當(dāng)已知條件出現(xiàn)所要說(shuō)明的四邊形的角時(shí)，可選擇“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)判定知2練1 . 下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD是平行 四邊形的是() AABCD，ADBC BABAD，CBCD CABCD，ADBC DBC，ADC知識(shí)點(diǎn)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形3知3講 過(guò)前面的學(xué)

7、習(xí)，我們知道，平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分.反過(guò)來(lái)，對(duì)邊相等，或?qū)窍嗟?，或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？也就是說(shuō)，平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題成立嗎？ 下面我們以“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”為例，通過(guò)三角形 全等進(jìn)行證明.思考知3講 如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OC，OB=OD. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形. OA=OC，OD=OB, AOD=COB， AODCOB. OAD=OCB. AD/BC. 同理 AB/DC. 四邊形ABCD是平行四邊形. 證明：知3講從對(duì)角線看：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖

8、，OAOC，OBOD，四邊形ABCD是平行四邊形知3練例4 四邊形ABCD是平行四邊形， AO=CO，BO=DO. AE=CF，AO-AE=CO-CF，即EO=FO.又 BO=DO，四邊形BFDE是平行四邊形. 如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD 相交于點(diǎn)O， E，F(xiàn)是AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF. 求證：四邊形BFDE是平行四邊形.證明：知3講歸 納 從對(duì)角線方面判斷四邊形的形狀要注意是對(duì)角線互相平分，即交點(diǎn)既是第一條對(duì)角線的中點(diǎn)，又是第二條對(duì)角線的中點(diǎn).知3練解：如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中 點(diǎn). 求證BEDF.1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

9、所以BODO，OAOC.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，所以O(shè)E OA OCOF. 又因?yàn)锽OEDOF，所以BOEDOF，所以BEDF.知3練2.如圖，線段AB，CD相交于點(diǎn)O，且圖上各點(diǎn)把線段AB，CD四等分，這些點(diǎn)可以構(gòu)成_個(gè)平行四邊形4知識(shí)點(diǎn)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4知4講我們知道，如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它的任意一組對(duì)邊平行且相等.反過(guò)來(lái)，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形嗎？ 我們猜想這個(gè)結(jié)論正確，下面進(jìn)行證明.思考知4練 如圖，在四邊形ABCD中， AB/CD，且AB=CD. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形. 連接AC， AB/CD, 1=2. 又AB

10、=CD，AC=CA. ABCCDA. BC=DA. 四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等，它是平行四 邊形. 證明：知4講歸 納 于是我們又得到平行四邊形的一個(gè)判斷定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.知4講歸 納一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，AB CD，四邊形ABCD是平行四邊形知4練例 5四邊形ABCD是平行四邊形， AB=CD，EB/FD.又EB= AB，F(xiàn)D= CD， EB=FD.四邊形EBFD是平行四邊形. 如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn). 求證：四邊形EBFD是平行四邊形.證明：知4講歸 納 要證四邊形是平行四邊形，已知有一組對(duì)邊平行

11、，聯(lián)想的思路有兩種：一是證明另一組對(duì)邊平行；二是證明平行的這組對(duì)邊相等而證明邊相等要三角形全等這條思路較常見(jiàn)知4練1.為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的 枕木長(zhǎng)相等就可以了. 你能說(shuō)出其中的道理嗎？因?yàn)橐唤M對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以鐵軌和夾在鐵軌之間的枕木構(gòu)成了平行四邊形，因此可知兩條直鋪的鐵軌是互相平行的解：知4練2.如圖，在 ABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，過(guò)A，C兩點(diǎn)分別作AE丄BD， CF丄BD，E，F(xiàn)為垂足. 求證：四邊形AFGE是平行四邊形.知4練因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以ABCD，ABCD，所以CDBABD.又因?yàn)锳EB

12、D，CFBD，所以AEBCFD90，所以AECF.在ABE和CDF中，ABCD，ABECDF，AEBCFD，所以ABECDF，所以AECF.又因?yàn)锳ECF，所以四邊形AFCE是平行四邊形解： 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是() A對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 C一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 D一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是 平行四邊形知4練3.D知4練4.如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，可添加的條件不正確的是()AABCD BBCADCAC DBCADB知4練5.如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，若要使四邊形AFCE是平行四邊形，可以添加的條件是()AFCF；AECE；BFDE；AFCE.A或 B或C或 D或C知4練6.下