1、 /10第十二章無窮級數(shù)章主要內容小結一、數(shù)項級數(shù)的審斂法1、利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2、正項級數(shù)的審斂法若limu豐0，則級數(shù)區(qū)u發(fā)散；否則由比值法、根值法、比較法及其極限形式判別;nnnsp1,收斂=p1,發(fā)散;p=1,失效n=1u對一般項出現(xiàn)階乘、及n次幕形式，多用比值法，limnsUnp1,發(fā)散；lp=1，失效對一般項可經縮小與放大處理后化成p級數(shù)或幾何級數(shù)形式，則用p級數(shù)或幾何級數(shù)作為比較標準，采用比較法或極限形式，對比值法與根值法中p二1的情況，也可用比較法、求部分和法、積分判別法做;u；注意：能用比值法判別收斂的級數(shù)一定可用根值法判別收斂，因為可以證明當lim+存在時

2、，limnunT8UnTsnnu也存在，且lim%u=lim士，反之不一定成立。nunTsnTsn3、任意項級數(shù)審斂法藝u為收斂級數(shù)，若藝u|收斂 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document nnn=1n=1則藝u絕對收斂；若藝u|發(fā)散,nnn=1n=1則無u條件收斂;nn=1萊布尼茲判別法：uu0，且limu=0則交錯級數(shù)區(qū)（T）-1u收斂，且|runn+1nnnn+1nTsn=1二）求幕級數(shù)收斂域的方法a1、標準形式的幕級數(shù)，先求收斂半徑R=lim一-，再討論x=R的斂散性;nTsan+12、非標準形式的幕級數(shù)通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值

3、法（三）幕級數(shù)和函數(shù)的求法1、求部分和式的極限；2、初等變換法：分解、直接套用公式；3、在收斂區(qū)間內，采用逐項求導與逐項積分的方法，套用公式，再對所求的和作逆運算4、數(shù)項級數(shù)求和直接求和：直接變換，求部分和；間接求和：轉化成冪級數(shù)，再代值；(四)函數(shù)的冪級數(shù)和傅立葉級數(shù)展開式1、函數(shù)的冪級數(shù)展開直接展開法：利用泰勒級數(shù)；間接展開法：利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)的性質；2、函數(shù)的傅立葉展開式：系數(shù)公式、收斂定理、延拓方法。例1若級數(shù)藝a與藝b都收斂，且acb(n二1,2,)，證明級數(shù)藝c收斂。nnnnnnn=1n=1n=1證明：/0caba(n=1,2,)，則由已知條件區(qū)(ba)收斂，根據(jù)比較判別

4、法有nnnnnnn=1=yy(ca)收斂，ynnn=1說明：注意比較判別法只對正項級數(shù)成立例2c=(cnnn=1n=1判別下列級數(shù)的斂散性1)y2+(1)n2；n=12)4)弓(1+n)n2；n=15)a+a)=y(ca)+ya收斂。nnnnnn=1n=1對一般級數(shù)不可用。y丄n-nnn=1n(1+ln2n)n=1解：(1)解法1：利用無窮級數(shù)收斂的性質：藝22nn=1n=1區(qū)匕比都是幾何級數(shù)，均收斂，所以2nn=1y斗比=y2+y字收斂;TOC o 1-5 h z2n2n2nn=1n=1n=1解法2：該級數(shù)為正項級數(shù)，利用比較法，因為2+1)二，而S二收斂，所以原級數(shù)收斂;2n2n2nn=1

5、解法3：該級數(shù)為正項級數(shù)，利用根值法，因為lim2+；-1)=21,所以原級數(shù)收斂。ns2n2(2)因為lim=1,所以lim；丄=1，由比較法的極限形式知：級數(shù)與S1具有相nsnsnMnjnnnnnn=1n=1同的斂散性，而級數(shù)y1發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散。nn=1u(3)利用比值法：limnnsU=limns(n+1)!22(n+1)2(n!)2limn22n2n*=+s，所以原級數(shù)發(fā)散。(4)利用根值法：limn；unns=lim(右(1+-)n2=lim|(1+丄)n=383nnn83n35)一般項n(1+ln2n)，利用比值法、比較法、根值法都不易判定級數(shù)的斂散性，注意到u是單n調遞減數(shù)

6、列，因為積分f+8dx2x(1+ln2x)=fdlnx.=arctanlnx21+ln2x；arctanln2收斂，所以原級數(shù)收斂。因為n而nlnnn-nn8T1，即lim11,n8nlnn所以原級數(shù)發(fā)散。例31)藝(1)nln上!nn=1(1)n8(2)”-八,n+(1)nn=23)藝(1)n(、n+1n)；n=1nn+1-1)n(n+1)!n=1判別下列級數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？n+1發(fā)散,n2)limunfn因為un-n+(1)nvn一(1)nvn(1)n蘭羋匕收斂，蘭1n1n1n=2發(fā)散，所以n=2為一丄警-亠發(fā)散。vn+(1)nn1n1n=2n=2(3)u=xn+

7、1vn=.:nn+1+y/n%n+2+n+1=u,且limu=lim+1nsnns=0，原級數(shù)收斂，而區(qū)(；n+1x:n)=區(qū)發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂。n+1+x：nn=1n=14)unnn+1u.(n+1)n+2=，lim+1=lim(n+1)!nsuns(n+2)!n=lim(n+1)2(1+丄)n=e1,n*(n+2)nn所以原級數(shù)發(fā)散。n+11解：(1)因為u=ln=ln(1+)單調遞減，且limu=0，由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂nnnn8ns=工ln*=lim=0，但1不單調，所以不能用萊布尼茲判別法,nw、：n+(1)nn+(1)n=工ln(k+1)lnk=ln(n+1)ln1=l

8、n(n+1)+8，所以區(qū)lnnkk=1k=1n=1原級數(shù)條件收斂。(n+1)!nn+1，則級數(shù)絕對收斂。說明：若級數(shù)改為區(qū)(-1)nn=11)區(qū)亡(a0);n=1gna(2)為(a0)；ann=1解題思路：(1)nnpn=1一般項中含有參數(shù)0需注意對參數(shù)進行討論。解：(1)注意到limannT8a=1，故就a1,a=1,0a1當0a1時，u1+anan=(丄)n，而級數(shù)無(丄)n為公比絕對值小于1的幾何級數(shù)，是收斂的，由aan=1T2(nTg)，由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散;比較法原級數(shù)收斂。綜上所述：當a1時原級數(shù)收斂；當0a1時，原級數(shù)發(fā)散。nananna12)一般項un=中含有n次幕

9、，用根值法。因為limn-u=limn=lim=，nsannTgnnTgIannTgaa由根值判別法,當1時級數(shù)收斂;當丄1時，即0a1時級數(shù)發(fā)散；丄二1時，即a二1時根值法失效，此時alimunnT8=limn=+g0，由必要條件得級數(shù)藝n發(fā)散。nTgn=1綜上所述：當0a1時原級數(shù)收斂。(3)這是交錯級數(shù)，其絕對值級數(shù)為p級數(shù)，需分p1,0p1,p1時，其絕對值級數(shù)藝1是收斂的，所以原級數(shù)絕對收斂;npn=1當0p1時，其絕對值級數(shù)藝是發(fā)散的，而級數(shù)區(qū)(-1)n是交錯級數(shù)，由萊布尼茲判別法可知npnpn=1n=1其收斂，所以原級數(shù)條件收斂。1當p0，v0，所以uv0，且(u+v)2=u2+

10、2uv+v20。又已知級數(shù)藝unnnnnnnnnnnn=1和藝v收斂，如果級數(shù)區(qū)u2和區(qū)v2收斂，由不等式nnnn=1n=1n=12uvN時，有0u1,TOC o 1-5 h znnnn=1從而u2u，由比較判別法，級數(shù)藝u2收斂，同理可證級數(shù)藝v2收斂。nnnnn=1n=1又因為2uvu2+v2，而區(qū)(u2+v2)收斂，由比較法知級數(shù)區(qū)2uv收斂,nnn=1nnn=1所以藝(u+v)2=y(u2+2uv+v2)收斂。nnnn=1n=1例6求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域01)yn=12+(1)nXn2n2)ynx2n；2nn=13)yn=13n+(2)n(x+1)n；解：(1)因為a=2+；1

11、)n2n(n=1,2,)，而limnsan+1an=lim；+(氣不存在，用比值法求收斂半nfg22+(1)n1徑失效，故用根值法。因為石p=limp=nns=lim去莎nfg2n2+(1)n2n02n=21，所以R=2。此級數(shù)發(fā)散；當x=2時，原級數(shù)為2+(1)n，由lim2+(1)豐0,nfgn=1同理，當x=2時，原級數(shù)藝2+(1)n(1)n發(fā)散;n=1所以所求收斂域為(-2,2)。n(2)因為u(x)=x2n(n=1,2,)，原級數(shù)缺少x的奇次幕項，故直接用比值法。因為2nP=limnsu(x)n+4u(x)n=limns(n+1)2nx2(n+1)2n+1nx2nx22v1,所以|x

12、|2,R=x2,當x=；2時，原級數(shù)藝n發(fā)散,n=1所以所求收斂域為(2冋。3)因為u(x)=3+(-2)(x+1)n,n令y=x+1，原級數(shù)為藝竺土Eyn，取ann3n+(-2)n，n=llimnT8=limnT83n+1+(-2)n+1n3n+(-2)n(n+1)-3時，考察級數(shù)=limnT823n+11+(-3)n+1n3n1+(-|)n(n+1)1=3，所以R=3藝竺(-1)n，易知級數(shù)藝匕n3nn=1n=1與y丄W)n都收斂,n3n=1所以級數(shù)當y=1時，考察級數(shù)藝n=1(1)n，因為藝1發(fā)散，級數(shù)藝匕(|)n收斂,3nn3n=1n=1所以級數(shù)y3n+(-2)n1乙(一)n收斂;n=

13、1n3n=142域為-3，-3)。例7求幕級數(shù)區(qū)需xn的和函數(shù)n=1解：因為p=limnTg1(n+1)(n+1n(n+1)=1，且x=1時原級數(shù)收斂，所以收斂域為-1,1。注意到發(fā)散；y3n+(-2)n1厶/()nn=1從而幕級數(shù)無3n+(-2)nyn的收斂域為-1,1)，由y=x+1解不等式-3x+1*得原級數(shù)的收斂xn1yxn+1x2n+1n=1令s(x)=S，則s(0)=0，當x豐0時s(x)=Sxn-1=n(n+1)n+1n=1n=1再令s(x)=S1xn+1n+1n=1，貝yss(x)=Sxn1n=1s(x)=Jxs(x)dx+s(0)=Jx(-1)dx=-x-ln(1-x)(x豐

14、1),101101-x11ln(1-x)故s(x)=s(x)=-(x豐0,x豐1)，x21xx2s(x)=Jxs(x)dx+s(0)=Jln(1-x)dx00 xx2I*111=limJx-1-ln(1-x)dx=1+二ln(1-x)，et0+gxx2x=亠-1，所以1-xS(1)丄潔)n=1上丄nn=11=lims(1)=lim1-+223+-=1.nn+1；0所以s(x)=1x豐0,x豐11+1_ln(1-x)xy8n2的和。n!n=1解法1:考察幕級數(shù)無n!n=1易知收斂域為+8），由s(x)=藝xn-1=Sxn-1n!(n一1)!n=1n=1=SJx竺丄dx，=藝丄二,o(n一1)!、

15、(n一1)!n=1n=1Y=x藝A丫=(xex)=xex+exn!n=0得s(1)=2e，從而S-=2en!n=18n28n8n-1+1解法2：n!n=1n=1(n-1)!n=1(n-1)!+（n一2）!（n一1）!n!n=2n=1n=0例9將下列函數(shù)展開成x的幕級數(shù)1=藝丄+區(qū)丄=e+e=2e。n!n=0 x2(2)f(x)=ln(x+：1+x2)；解：(1)f(x)是有理函數(shù)，應將其化為幕函數(shù)與部分分式乘積的形式，再利用相應公式展開。x2f(x)=x2丄x2+3x+2x+1x+2=x2-1=x2區(qū)(1)nxn1區(qū)(1)n()n1+x2(1丄x)222=x2區(qū)(1)n11xn=E(1)n11

16、x”+22n+12n+1n=0n=0(2)先對f(x)求導，得f(x)=ln(x+V1+x2=，利用(1+x)m的展開式展開=1+x21+x2對展開式逐項積分求解。因為1-1113=(1+x2)2=1x2+x4+(-1)nvi+x2224(2x2”+(2n)!=1+才(-1)nn=1(2n-1)!(2n)!x2n,xe-1,1所以ln(x+1+x2)=Jx,=x+(1)”ojl+x2n=1(2n-1)!(2n)!(2n+1)x2n+1,xe-1,1。例10求幕級數(shù)藝(1)n-1(1+1、)x2n的收斂域與和函數(shù)f(x)(05年考研題)。n(2n-1)n=1解：因為(1)n-1x2n=x2(x2

17、)n-1n=1n=1=去(-1x1)(1)n-1%2nn=1n(2n-1)=2區(qū)(1)n-1Jxdx=2Jxxn1dx=2J藝Jxx2n-2dxdx02n-102n-100n=1n=1n=1x2n-1=2JJ乏x2n-2dxdx=2JJxdxdx=2Jxarctanxdx=2xarctanx2Jxxdx00001+x2001+x2n=1=2xarctanx-ln(1+x2)(-1x1)x2所以幕級數(shù)的收斂域是(-1,1)，/(x)=口+2xarCtanx-ln(1+x2)。En兀x八-一、,、,2、,bsin(sx+s)，其中n2n=1b=J2f(x)sinnKXdx(n=1,2,)，求s(-

18、1)和s(0)。n02分析：此題不需要進行傅立葉展開，而是應用狄利克雷定理判別當x=0和x=-1時，級數(shù)收斂于何值。解：由已知s(x)是f(x)在0,2上的正弦級數(shù)，也是奇函數(shù)F(x)=；-x-2x0在-2,2上I2-x0 x2的傅立葉(正弦)級數(shù)。由狄利克雷定理，在F(x)的連續(xù)點x=-1處，s(-l)=F(-1)=-1；在F(x)的11間斷點x=0處，s(0)=2F(0-0)+F(0+0)=2(-2+2)=0。例12將f(x)=|sinx|(兀x5兀)展成傅立葉級數(shù)。.Isinx0 x兀分析：由f(x)=lsin=I-sinx-kx0，易知函數(shù)f在-兀上連續(xù)，且有3個極值點滿足狄利克雷收斂定理條件，將f(x)以2兀為周期做周期延拓后，直接求傅立葉系數(shù)。解：將f(x)以2兀為周期做周期延拓，由f(x)為偶函數(shù)，得b=0(n=1,2,)，n=三f(x)cosnxdx=三sinxcosnxdx=丄JKsin(n+1)x+sin(1-n)xdx0an兀0兀01rcos(n+1)xcos(1一n)x=-+|冗兀n+11一n0=丄(-1)n-1一1111兀n+11-n丄-丄=n-1n+1兀(n2-1)n=2k-1(n豐0,1)(-1)n-1-14兀(4k2-1)2I