1、PAGE PAGE - 8 -開卷速查(二十三)解三角形應用舉例A級基礎鞏固練1一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是() A10eq r(2)海里B10eq r(3)海里C20eq r(3)海里D.20eq r(2)海里解析：如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根據(jù)正弦定理得eq f(BC,sin30)eq f(AB,sin45)，解得BC10eq r(2)(海里)，故選A.答案：A2在某個位置

2、測得某山峰仰角為，對著山峰在水平地面上前進900 m后測得仰角為2，繼續(xù)在水平地面上前進300eq r(3) m后，測得山峰的仰角為4，則該山峰的高度為()A300 mB.450 mC300eq r(3) mD.600 m解析：如圖所示，易知，在ADE中，DAE2，ADE1804，AD300eq r(3) m，由正弦定理，得eq f(900,sin4)eq f(300r(3),sin2)，解得cos2eq f(r(3),2)，則sin2eq f(1,2)，sin4eq f(r(3),2)，所以在RtABC中山峰的高度h300eq r(3)sin4300eq r(3)eq f(r(3),2)45

3、0(m)答案：B3要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是()A100eq r(2) mB.400 mC200eq r(3) mD.500 m解析：由題意畫出示意圖，設塔高ABh m，在RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDeq r(3)h m，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得3h2h25002h500，解得h500(m)答案：D4如圖所示，長為3.5 m

4、的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為，則坡度值tan等于()A.eq f(r(231),5) B.eq f(5,16)C.eq f(r(231),16) D.eq f(11,5)解析：由題意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得coseq f(5,16)，所以sineq f(r(231),16)，所以taneq f(sin,cos)eq f(r(231),5)

5、.答案：A52015遼寧丹東模擬如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15，向山頂前進100 m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45，若CD50 m，山坡對于地平面的坡度為，則cos等于()A.eq f(r(3),2)B.2eq r(3)C.eq r(3)1 D.eq f(r(2),2)解析：在ABC中，由正弦定理可知，BCeq f(ABsinBAC,sinACB)eq f(100sin15,sin4515)50(eq r(6)eq r(2)在BCD中，sinBDCeq f(BCsinCBD,CD)eq f(50r(6)r(2)sin45,50)eq r

6、(3)1.由題圖知，cossinADEsinBDCeq r(3)1.答案：C6如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m,50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A30B.45C60D.75解析：依題意可得AD20eq r(10) m，AC30eq r(5) m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理，得cosCADeq f(AC2AD2CD2,2ACAD)eq f(30r(5)220r(10)2502,230r(5)20r(10)eq f(6 000,6 000r(2)eq f(r(2),2)，又0CAD180，所以CAD45，所以從頂端A

7、看建筑物CD的張角為45.答案：B7在相距2千米的A，B兩點處測量目標點C，若CAB75，CBA60，則A，C兩點之間的距離為_千米解析：由已知條件CAB75，CBA60，得ACB45.結合正弦定理，得eq f(AB,sinACB)eq f(AC,sinCBA)，即eq f(2,sin45)eq f(AC,sin60)，解得ACeq r(6)(千米)答案：eq r(6)8如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距8eq r(2) n mile.此船的航速是_n mile/h.解

8、析：設航速為v n mile/h，在ABS中，ABeq f(1,2)v，BS8eq r(2)n mile，BSA45，由正弦定理，得eq f(8r(2),sin30)eq f(f(1,2)v,sin45)，v32 n mile/h.答案：329某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45，沿傾斜角為30的斜坡前進1 000 m后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0，則山的高度BC為_m.解析：過點D作DEAC交BC于E，因為DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理得ABeq f(ADsinADB,sinABD)eq f(1 000si

9、n150,sin15)500(eq r(6)eq r(2)(m)所以在RtABC中，BCABsin45500(eq r(3)1)(m)答案：500(eq r(3)1)10已知島A南偏西38方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島北偏西22方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？eq blc(rc)(avs4alco1(參考數(shù)據(jù)：sin38f(5r(3),14)，sin22f(3r(3),14)解析：如圖，設緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點，緝私艇的速度為每小時x海里，則BC0.5x，AC5海里，依題意，B

10、AC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos120，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABCeq f(ACsinBAC,BC)eq f(5f(r(3),2),7)eq f(5r(3),14)，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船B級能力提升練11某城市有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為ABC、ABD，經(jīng)測量ADBD14，BC10，AC16，CD.(1)求AB的長度；(2)若建造環(huán)境

11、標志的費用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計建造費用最低？請說明理由解析：(1)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC16210221610cosC，在ABD中，由余弦定理及CD，整理得AB2AD2BD22ADBDcosD1421422142cosC.由得：1421422142cosC16210221610cosC，整理得cosCeq f(1,2).C為三角形的內(nèi)角，C60.又CD，ADBD，ABD是等邊三角形，故AB14，即A、B兩點的距離為14.(2)小李的設計使建造費用最低理由如下：SABDeq f(1,2)ADBDsinD，SABCeq f(1

12、,2)ACBCsinC.ADBDACBC，且sinDsinC，SABDSABC.由已知建造費用與用地面積成正比，故選擇小李的設計使建造費用最低12如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min，在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C，假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cosAeq f(12,13)，cosCeq f(3,5).(1)求索道AB的長

13、；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？解析：(1)在ABC中，因為cosAeq f(12,13)，cosCeq f(3,5)，所以sinAeq f(5,13)，sinCeq f(4,5).從而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinCeq f(5,13)eq f(3,5)eq f(12,13)eq f(4,5)eq f(63,65).由正弦定理eq f(AB,sinC)eq f(AC,sinB)，得ABeq f(AC,sinB)sinCeq f(1 260,f(63,65)eq f(4,5)1 040(m)所以索道AB的長為1 040 m.(2)假設乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(10050t) m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)eq f(12,13)200(37t270t50)，因0teq f(1 040,130)，即0t8，故當teq f(35,37)(min)時，甲、乙兩游客距離最短(3)由正弦定理eq f(BC,sinA)eq f(AC,sinB)，得BCeq f(AC,sinB)sinAeq f(1 260,f(63,65)e