1、第七節(jié)立體幾何中的向量方法考綱傳真1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系.3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些簡單定理(包括三垂線定理).4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用1直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量(2)平面的法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量2空間位置關系的向量表示3.求兩條異面直線所成的角設a，b分別是兩異面直線l

2、1，l2的方向向量，則1面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖7-7-1)4求直線與平面所成的角設直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角|an|為，則sin|cosa，n|a|n|.5求二面角的大小(1)若AB，CD分別是二面角-l-的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二圖7-7-1(2)設n1，n2分別是二面角-l-的兩個面，的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖7-7-2)(4)兩異面直線夾角的范圍是0，2，直線與平面所成角的范圍是0，2，二1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩直線的方向向量所

3、成的角就是兩條直線所成的角()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角()(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角()面角的范圍是0，答案(1)(2)(3)(4)2(t2教材改編)設u(2,2，)，v(6，4,4)分別是平面，的法向量若，則t()A3C.5B.4D.6C，則uv262(4)4t0，t5.3(2014全國卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為()1A.1030C.102B.52D.2的余弦值cos10.65AC建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，設BC

4、2，則B(0,2,0)，(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM(1，1,2)，AN(1,0,2)，故BM與AN所成角|BMAN|330|BM|AN|4如圖7-7-3所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是_垂直以A為原點，分別以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空圖7-7-33間直角坐標系(圖略)，設正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，M0，1，2，O2，2，0，N2，0，1，AMON0，1，20，2，10，ON與AM垂直1111115(2017唐山模擬)過正

5、方形ABCD的頂點A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為_45如圖，建立空間直角坐標系，設ABPA1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由題意，AD平面PAB，設E為PD的中點，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，AD(0,1,0)，AE0，2，2分別是平面PAB，平面PCD的法向量，且AD，CDAE，從而AE平面PCD.11AE45.故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45.利用向量證明平行與垂直問題如圖7-7-4所示，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，PAAB1，BC2.【導

6、學號：01772274】(1)求證：EF平面PAB；(2)求證：平面PAD平面PDC.4所以E2，1，2，F(xiàn)0，1，2，EF2，0，0，AP(0,0,1)，AD(0,2,0)，DC圖7-7-4證明以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，1111(1,0,0)，AB(1,0,0).3分1(1)因為EF2AB，所以EFAB，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.6分(2)因為APDC(0,0,1)(1,0,0)0，ADDC(0,2,

7、0)(1,0,0)0，所以APDC，ADDC，即APDC，ADDC.9分又因為APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因為DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC.12分規(guī)律方法1.利用向量證明平行與垂直，充分利用已知的線面垂直關系構5建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算其中靈活建系是解題的關鍵2運用向量知識判定空間位置關系，不可忽視幾何定理滿足的條件，如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，必需強調(diào)直線在平面外變式訓練1(2017北京房山一模)如圖7-7-5，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側棱PA底面ABCD，且PAAD

8、2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點求證：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.圖7-7-5證明建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.BPEFA(0,0,0)，(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，(0,0,2)，(0,0,1)，(0,1,1)，H(1,0,0).3分(1)PB(2,0，2)，EH(1,0，1)，PB2EH，PBEH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB平面EFH.6分6PDAF0021(2)10，9分PDAH0120(2)00，(2)PD(0,2，2)，AH(1,0,0)，AF(0,1,1)，PDAF，PDAH.又AFAHA，PD平面AHF.

9、12分線面角與異面直線所求的角角度1求異面直線所成的角將正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，異面直線AD與BC所成的角為()【導學號：01772275】A.6C.3B.4D.2C不妨以ABC為底面，則由題意當以A，B，C，D為頂點的三棱錐體積最大，即點D到底面ABC的距離最大時，平面ADC平面ABC.設點O是AC的中點，連接BO，DO.則易知BO，CO，DO兩兩互相垂直以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，令BOCODO1.則O(0,0,0)，A(0，1,0)，D(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，于是AD(0,1,1)，BC

10、(1,1,0)，7因此cosAD，BC2.22(3)代入公式|cos1，2|1|2|求解2兩異面直線所成角的范圍是0，2，兩向量的夾角的范圍是0，ADBC11|AD|BC|所以異面直線AD與BC所成的角為3.規(guī)律方法1.利用向量法求異面直線所成的角(1)選好基底或建立空間直角坐標系；(2)求出兩直線的方向向量1，2；|12當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角角度2求直線與平面所成的角(2015全國卷)如圖7-7-6所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點E，F(xiàn)分別在A1B1

11、，D1C1上，A1ED1F4.過點E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形圖7-7-6(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求直線AF與平面所成角的正弦值解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.5分8以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(xiàn)(0,4,8)，F(xiàn)E(10,0,0)，HE(0，(2)作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EMAA18，因為四邊形EHGF為正方形，所以EHEFBC10.于是MHEH2EM26，所以AH10.6，8).8分nFE0，nHE

12、0，yz設n(x，)是平面EHGF的法向量，則所以可取n(0,4,3)10 x0，即6y8z0，又AF(10,4,8)，故|cosn，AF|nAF|4515.|n|AF|45所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為15.12分規(guī)律方法1.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影，直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角2(1)求直線與平面所成的角，不要誤認為是直線的方向向量與平面法向量的夾角9(2)若求線面角的余弦值，要利用平方關系sin2cos2

13、1求值利用空間向量求二面角(2016全國卷)如圖7-7-7，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60.圖7-7-7(1)證明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值解(1)證明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.2分又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.4分以G為坐標原點，GF的方向為x軸正方向，|GF|為單位長，建立如圖所示(2)過D作DGEF，垂足為G.由(1)知DG平面ABEF.的空間直角坐標系G-xyz.6分|由(1)知DFE為二面角D-AF

14、-E的平面角，故DFE60，則|DF|2，DG|3，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，3)由已知得ABEF，所以AB平面EFDC.8分又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，10所以EC(1,0，3)，EB(0,4,0)，AC(3，4，3)，AB(4,0,0)所以CEF為二面角C-BE-F的平面角，CEF60.從而可得C(2,0，3)設n(x，y，z)是平面BCE的法向量，nEC0，nEB0，則x3z0，即4y0，mAC0，mAB0，所以可取n(3,0，3).10分設m是平面ABCD的法向量，則同理可取m(0，

15、3，4)nm219則cosn，m|n|m|19.219故二面角E-BC-A的余弦值為19.12分規(guī)律方法1.求解本題要抓住幾點：(1)充分利用垂線，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼担?2)確定二面角D-AF-E與二面角C-BE-F的平面角；(3)從空間圖形能判定二面角E-BC-A為鈍角2利用向量計算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直11且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小變式訓

16、練2(2017鄭州質(zhì)檢)如圖7-7-8，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，四邊形BFED為矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.圖7-7-8(1)求證：AD平面BFED；(2)點P在線段EF上運動，設平面PAB與平面ADE所成銳二面角為，試求的最小值解(1)證明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，AB2.BD2AB2AD22ABADcos603.AB2AD2BD2，ADBD.2分平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，則DEAD.又DEBDD，AD平面BFED.5分(2)由(1)知可

17、建立以直線DA，DB，DE為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標系，令EP(03)，12則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，3，0)，P(0，1)，AB(1，3，0)，BP(0，3，1)設n1(x，y，z)為平面PAB的法向量，nAB0，由n1BP0，1x3y0，得3yz0，取y1，則n1(3，1，3).10分n2(0,1,0)是平面ADE的一個法向量，cos|n1|n2|nn|121313211.324103，當3時，cos有最大值2.的最小值為3.12分利用空間向量解決探索性問題如圖7-7-9所示，正ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將A

18、BC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖7-7-9所示13圖7-7-9(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；(2)求二面角E-DF-C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點P，使APDE？證明你的結論解(1)如圖，在ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.3分DFn0，DEn0，(2)以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,23，0)，E(0，3，1)，F(xiàn)(1，3，0)，易知平面CDF的法向量為DA(0,0,2).5分設平面EDF的法向量為n(x，y，z)，則x3

19、y0，即3yz0.取n(3，3，3)，DAn21cosDA，n7，|DA|n|21二面角E-DF-C的余弦值為7.8分(3)設P(x，y,0)，則APDE3y20，143，0，使APDE.12分323y3.又BP(x2，y,0)，PC(x,23y,0)BPPC，(x2)(23y)xy，3xy23.10分234把y3代入上式得x3，1BP3BC，423在線段BC上存在點P，規(guī)律方法1.根據(jù)題目的條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，并用向量表示出來，然后再加以證明，得出結論2假設所求的點或參數(shù)存在，并用相關參數(shù)表示相關點，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關系，構建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在變式訓練3如圖7-7-10，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD中點解以A為原點，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向圖7-7-10(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由15建立如圖所示