1、第1章 6 利用三角函數(shù)測高 一、選擇題（共20分）1. 2020 年 3 月 20 日，深圳市民中心及周邊樓宇為當日返回深圳的援鄂醫(yī)療隊員亮燈，歡迎最美逆行者回家小洪在歡迎英雄回家現(xiàn)場，如圖，若他觀測到英雄畫像電子屏頂端 A 和底端 C 的仰角分別為 和 ，小洪所站位置 E 到電子屏邊緣 AC 垂直地面的 B 點距離為 m 米，那么英雄畫像電子屏 AC 高為 A. mtan-mtan 米B. mtan- 米C. mtan-tan 米D. mtan- 米 2. 如圖，課外小組的同學們在校內(nèi)準備測量墻外一手機發(fā)射塔 OH 的高度，小組的同學們首先在校內(nèi)寬敞處選定一點 M，在 M 點測得到塔頂 H

2、 的仰角為 45，然后他們沿與 M 和塔底 O 連線 MO 垂直的方向走了 60 米到達 N 點，在 N 點測得到塔頂 H 的仰角為 30，小組根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算出與發(fā)射塔的高度最接近的數(shù)值是 A. 40B. 45C. 30D. 42 3. 如圖，在離鐵塔 150 米的 A 處，用測傾器測得塔頂?shù)难鼋菫?，測傾器高 AD 為 1.5 米，則鐵塔的高 BC 為 A. 1.5+150tan 米B. 1.5+150tan 米C. 1.5+150sin 米D. 1.5+150sin 米 4. 小明同學想要測量如圖所示的仙女峰的高度，他利用已學的數(shù)學知識設(shè)計了一個實踐方案，并實施了如下操作：先在水平地面

3、A 處測得山頂 B 的仰角 BAC 為 38.7，再由 A 沿水平方向前進 377 米到達山腳 C 處，測得山坡 BC 的坡度為 1:0.6，那么仙女峰的高度約為（參考數(shù)據(jù) tan38.70.8） A. 650 米B. 580 米C. 540 米D. 520 米 5. 小菁同學在數(shù)學實踐活動課中測量路燈的高度如圖，已知她的身高 AB 為 1.5 米，她先站在 A 處看路燈頂端 O 的仰角為 35，再往前走 3 米站在 C 處，看路燈頂端 O 的仰角為 65，則路燈頂端 O 到地面的距離約為（已知 sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4，tan6

4、52.1） A. 3.2 米B. 3.9 米C. 4.7 米D. 5.4 米二、解答題（共10小題；共100分）6. 在數(shù)學綜合實踐活動課上，某小組要測量學校升旗臺旗桿頂端離地面的高度如圖，測得 BCAD，斜坡 AB 的長為 6 米，坡度 i=1:3，在點 B 處測得旗桿頂端的仰角為 70，點 B 到旗桿底部 C 的距離為 4 米（參考數(shù)據(jù)：sin700.94，cos700.34，tan702.75）（1）求斜坡 AB 的坡角 的度數(shù)；（2）求旗桿頂端離地面的高度 ED 7. 如圖所示，平臺 AB 高 20m，在 B 處測得樓房 CD 頂部點 D 的仰角為 46，底部點 C 的俯角為 30，求

5、樓房 CD 的高度（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：tan461.04，31.73） 8. “天空之城”摩天輪位于寧波市杭州灣新區(qū)歡樂世界摩天輪高約 126 米（最高點到地面的距離）如圖，點 O 是摩天輪的圓心，AB 是其垂直于地面的直徑，小明在地面 C 處用測角儀測得摩天輪最高點 A 的仰角為 45，測得圓心 O 的仰角為 30，求摩天輪的半徑（結(jié)果保留根號） 9. 如圖，為測量建筑物 CD 的高度，在 A 點測得建筑物頂部 D 點的仰角為 22，再向建筑物 CD 前進 30 米到達 B 點，測得建筑物頂部 D 點的仰角為 58（A，B，C 三點在一條直線上），求建筑物 CD 的高度（結(jié)果保留整數(shù)參

6、考數(shù)據(jù)：sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin580.85，cos580.53，tan581.60） 10. 某校為檢測師生體溫，在校門安裝了某型號測溫門如圖為該測溫門截面示意圖，已知測溫門 AD 的頂部 A 處距地面高為 2.2m，為了解自己的有效測溫區(qū)間，身高 1.6m 的小聰做了如下實驗：當他在地面 N 處時測溫門開始顯示額頭溫度，此時在額頭 B 處測得 A 的仰角為 18；在地面 M 處時，測溫門停止顯示額頭溫度，此時在額頭 C 處測得 A 的仰角為 60求小聰在地面的有效測溫區(qū)間 MN 的長度（額頭到地面的距離以身高計，計算精確到 0.1m，sin180.

7、31，cos180.95，tan180.32） 11. 如圖，兩座建筑物的水平距離 BC 為 40m，從 A 點測得 D 點的俯角 為 45，測得 C 點的俯角 為 60求這兩座建筑物 AB，CD 的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，21.414，31.732） 12. 慈氏塔位于岳陽市城西洞庭湖邊，是湖南省保存最好的古塔建筑之一如圖，小亮的身高 CD 為 1.7 米，他站在 D 處測得塔頂?shù)难鼋?ACG 為 45，小琴的身高 EF 為 1.5 米，她站在距離塔底中心 B 點 a 米遠的 F 處，測得塔頂?shù)难鼋?AEH 為 62.3（點 D，B，F(xiàn) 在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：sin62.30.89，

8、cos62.30.46，tan62.31.90）（1）求小亮與塔底中心的距離 BD；（用含 a 的式子表示）（2）若小亮與小琴相距 52 米，求慈氏塔的高度 AB 13. 某“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動他們制定了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個不同測點，分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個測點之間的距離為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點之間的距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表（不完整）：（參考數(shù)據(jù)：sin25.70.43，cos25.70.90，tan25.70.48，sin31

9、0.52，cos310.86，tan310.60）（1）兩次測量 A，B 之間的距離的平均值是 m；（2）根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學校旗桿 GH 的高度；（3）該“綜合與實踐”小組在制定方案時，討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方案，但未被采納你認為其原因可能是什么?（寫出一條即可） 14. 如圖，斜坡 AB 的坡度為 1:2.4，坡面長 26 米，BCAC，現(xiàn)計劃在斜坡中點 D 處挖去部分坡體（用陰影表示）修建一個平行于水平線 CA 的平臺 DE 和一條新的斜坡 BE（請將第（2）小題結(jié)果精確到 0.1 米，參考數(shù)據(jù)：21.732）（1）若修建的斜坡

10、BE 的坡角（即 BEF）恰為 45，則此時平臺 DE 的長為 米；（2）坡前有一建筑物 GH，小明在 D 點測得建筑物頂部 H 的仰角為 30，在坡底 A 點測得建筑物頂部 H 的仰角為 60，點 B，C，A，G，H 在同一平面內(nèi)，點 C，A，G 在同一條水平直線上，問建筑物 GH 高為多少米? 15. 關(guān)于三角函數(shù)有如下公式： sin+=sincos+cossin， cos+=coscos-sinsin， tan+=tan+tan1-tantan1-tantan0，利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如： tan105=tan45+60=tan45+ta

11、n601-tan45tan60=1+31-13=1+31+31-31+3=4+23-2=-2+3. 根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：如圖，直升機在一建筑物 CD 上方 A 點處測得建筑物頂端 D 點的俯角 為 60，底端 C 點的俯角 為 75此時直升機與建筑物 CD 的水平距離 BC 為 42 米，求建筑物 CD 的高答案第一部分1. C根據(jù)題意得 DF=BE=m，在 RtADF 中， tan=ADDF， AD=DFtan=mtan，在 RtCDF 中， tan=CDDF， CD=DFtan=mtan， AC=AD-CD=mtan-mtan=mtan-tan 米， 英

12、雄畫像電子屏 AC 高為 mtan-tan 米2. D設(shè) OH=x 米，在 RtOHM 中，OMH=45， OM=OH=x 米，在 RtOHN 中， HNO=30， ON=OHtan30=3x 米，在 RtMON 中，NMO=90，MN=60 米， 602+x2=3x2，解得 x=302423. A過點 A 作 AEBC，E 為垂足，如圖所示，則四邊形 ADCE 為矩形，所以 AE=CD=150，CE=AD=1.5，在 RtABE 中，因為 tan=BEAE=BE150，所以 BE=150tan，所以 BC=CE+BE=1.5+150tan 米4. B如圖，過點 B 作 BDAC，交 AC 的

13、延長線于點 D， 山坡 BC 的坡度為 1:0.6， BDCD=10.6，則 CD=0.6BD， BAC 為 38.7， AD=BDtanBAC=BDtan38.71.25BD， AC=377， 1.25BD-377=0.6BD，解得 BD=580（米）故選B5. C如圖，過點 O 作 OEAC，交 AC 的延長線于點 E，延長 BD 交 OE 于點 F，設(shè) DF=x 米， BF=3+x 米， tan65=OFDF， OF=xtan652.1x 米， tan35=OFBF， OF=3+xtan350.73+x 米， 2.1x=0.73+x， x=1.5， OF=1.52.1=3.15（米），

14、OE=3.15+1.5=4.654.7（米），故路燈頂端 O 到地面的距離約為 4.7 米故選C第二部分6. （1） 如圖所示，過點 B 作 BFAD 于點 F， i=tanBAF=BFAF=13=33， BAF=30，即 =30（2） BAF=30，AB=6， CD=BF=12AB=3，在 RtBCE 中， EBC=70，BC=4， EC=BCtanEBC=4tan7011，則 ED=EC+CD=11+3=14（米）答：旗桿頂端離地面的高度 ED 約為 14 米7. 過點 B 作 BECD，垂足為 E，在 RtBEC 中，CBE=30，CE=AB=20，tanCBE=CEBE， BE=CEt

15、anCBE=2033=203，在 RtBED 中，DBE=46，tanDBE=DEBE， DE=BEtanDBE=203tan46201.731.04=35.984. DC=DE+EC56m答：樓房 CD 的高度約為 56m8. 如圖，延長 AB 與地面所在直線交于點 D，根據(jù)題意可知 ADCD， ADC=90， ACD=45， CD=AD=126， OD=126-OB，在 RtCOD 中，OCD=30， OD=CDtanOCD=423， 126-OB=423， OB=126-423 米答：摩天輪的半徑為 126-423 米9. 在 RtBDC 中， tanDBC=CDBC， 1.60=CDB

16、C， BC=CD1.60，在 RtACD 中， tanDAC=CDAC， 0.40=CDAC， AC=CD0.40， AB=AC-BC=CD0.40-CD0.60=30，解得：CD=16（米）答：建筑物 CD 的高度為 16 米10. 延長 BC 交 AD 于點 E，則 AE=AD-DE=0.6，在 RtABE 中，BE=AEtanABE1.875m，在 RtACE 中，CE=AEtanACE0.346m，所以 BC=BE-CE=1.529m，所以 MN=BC1.5m答：小聰在地面的有效測溫區(qū)間 MN 的長度約為 1.5m11. 如圖，延長 CD 交 AF 于點 E，則 DEAF，在 RtAE

17、D 中，AE=BC=40m，EAD=45， ED=AEtanEAD=40m，在 RtABC 中，BAC=30，BC=40m， AB=40369.3m，則 CD=EC-ED=AB-ED=403-4029.3m答：這兩座建筑物 AB，CD 的高度分別約為 69.3m 和 29.3m12. （1） 由題意得，四邊形 CDBG 、四邊形 HBFE 為矩形， GB=CD=1.7，HB=EF=1.5， GH=0.2在 RtAHE 中，tanAEH=AHHE，則 AH=HEtanAEH1.9a， AG=AH-GH=1.9a-0.2，在 RtACG 中，ACG=45， CG=AG=1.9a-0.2， BD=1

18、.9a-0.2 米答：小亮與塔底中心的距離 BD 為 1.9a-0.2 米（2） 由題意得，1.9a-0.2+a=52，解得 a=18，則 AG=1.9a-0.2=34， AB=AG+GB=35.7（米）答：慈氏塔的高度 AB 為 35.7 米13. （1） 5.5由題意可得，兩次測量 A，B 之間的距離的平均值是 5.5m（2） 設(shè) EG=xm，在 RtDEG 中，DEG=90，GDE=31， tanGDE=EGDE， DE=xtan31m在 RtCEG 中，CEG=90，GCE=25.7， tanGCE=EGCE， CE=xtan25.7m， CD=CE-DE， xtan25.7-xtan31=5.5， x13.2， GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7m答：學校旗桿 GH 的高度約為 14.7m（3） 答案不唯一，如：沒有太陽光或旗桿底部不可能到達等14. （1） 7 斜坡 AB 的坡度為 1:2.4， BCAC=12.4，設(shè) BC 為 x 米，則 A