1、 第一章 二、 極限的四則運(yùn)算法則 三、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 一 、無窮小運(yùn)算法則 第五節(jié)極限運(yùn)算法則時, 有一、 無窮小運(yùn)算法則定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小 .證: 考慮兩個無窮小的和 .設(shè)當(dāng)時 , 有當(dāng)時 , 有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時,為無窮小量 .思考: 無限個無窮小之和是否為無窮小 ？例如，類似可證: 有限個無窮小之和仍為無窮小 . 定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證: 設(shè)又設(shè)即當(dāng)時, 有取則當(dāng)時 , 就有故即是時的無窮小 .推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小 .例1. 求解: 利用定理 2 可知說明 : y

2、= 0 是的漸近線 .二、 極限的四則運(yùn)算法則則有證: 因則有(其中為無窮小) 于是由定理 1 可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理 3 . 若推論: 若且則( P45 定理 5 )利用保號性定理證明 .說明: 定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示: 令定理 4 . 若則有提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明 .說明: 定理 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論 1 .( C 為常數(shù) )推論 2 .( n 為正整數(shù) )例2. 設(shè) n 次多項(xiàng)式試證證:為無窮小(詳見P44)定理 5 . 若且 B0 , 則有證: 因有其中設(shè)無窮小

3、有界因此由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得為無窮小,定理6 . 若則有提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) ,故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 . x = 3 時分母為 0 !例3. 設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式 ,試證: 證: 說明: 若不能直接用商的運(yùn)算法則 .例4. 若例5 . 求解: x = 1 時分母 = 0 , 分子0 ,但因例6 . 求解: 時,分子分子分母同除以則分母“ 抓大頭”原式一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù) )( 如P47 例5 )( 如P47 例6 )( 如P47 例7 )三、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理7. 設(shè)且 x 滿足時,又則有證: 當(dāng)時, 有當(dāng)時, 有對上述取則當(dāng)時故因此式成立.例7. 求解: 令已知 原式 =例8 . 求解: 方法 1則令 原式方法 2內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則(1) 無窮小運(yùn)算法則(2) 極限四則運(yùn)算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法時, 用代入法( 分母不為 0 )時, 對型 , 約去公因子時 , 分子分母同除最高次冪“ 抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5思考及練習(xí)1.是否存在 ? 為什么 ?答: 不存在 .否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在 ,與已知條件矛盾.解:原式2.問3.