1、第4章數(shù)字特征與極限定理4.14.24.3隨隨量的數(shù)字特征量函數(shù)的分布大數(shù)定理及極限定理4.1隨量的數(shù)字特征隨量的取值雖然不可，卻服從一定的分布規(guī)律，這種規(guī)律性往往對應(yīng)于某種穩(wěn)定的數(shù)字特征，從而能通過一定的統(tǒng)計(jì)量來近似。2341#567VWXY#$% X &,-BZP X xk pkk 1,2,. xkpk_35ak1bcZ X &defghEX xkpkk1連續(xù)型的數(shù)學(xué)期望量X 的概率密度設(shè)連續(xù)型隨為f(x)，則當(dāng)積分x f(x)dx絕對收斂時(shí)，稱此積分的值為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望，記作：EX x f(x)dx數(shù)學(xué)期望的幾何意義Me數(shù)學(xué)期望的幾何意義是它的重心！數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1). 設(shè) C

2、 為常數(shù)，則：E(C) C(2). 設(shè) X 為一個(gè)隨任意常數(shù)，則：量，C 為E(CX) C E(X)(3). 假設(shè) X,Y 為兩個(gè)隨量，則：E(X Y) E(X) E(Y)為 n 個(gè)一般情形，假設(shè) X1, X2 ,L , Xn隨量，則有：nnX ExEk k k1k1(4). 假設(shè) X,Y 為兩個(gè)隨量，則：E(kX bY) kE(X) bE(Y)(5). 假設(shè)X1, X2 ,L , Xn為 n 個(gè)相互獨(dú)立的隨量，則有：nnE XEXk kk1k1二點(diǎn)分布E(X) 0 q 1 p pX01Pqp二項(xiàng)分布引入相互獨(dú)立的隨量X1,L , Xn ，件A 發(fā)其中Xi表示在第 i 次實(shí)驗(yàn)生的發(fā)生次數(shù)，即：

3、在第 i 次實(shí)驗(yàn)時(shí)A 發(fā)生在第 i 次實(shí)驗(yàn)時(shí)A 不發(fā)生 1X0i那么，若 Xi 服從參數(shù)為 p 的兩點(diǎn) LXn 服從分布，則2二項(xiàng)分布，從而有：E(X) E(X1 X2 LXn) E(X1) E(X2) LE(Xn) p p Lp np泊松分布kEX k p k ekk!k0k1kk1e e k1 (k 1)!k1 (k 1)! e e 正態(tài)分布(x)2x 1 eEX xf(x)dx 22dx2t2 12t e 2 dt 上側(cè)分位數(shù)對于任意類型的隨如果能找到數(shù) t ，使得P(X t) 量 X ，量 X 的上側(cè) 則稱 t 為隨分位數(shù)，記作 x 。x雙側(cè)分位數(shù)對于任意類型的隨如果能找到數(shù) t ，使

4、得P(| X | t) 量 X ，量 X 的雙側(cè) 則稱 t 為隨分位數(shù)，記作x 2 。/2/2x 2x 2例：已知 X N(0,1)，試求1).上側(cè)分位數(shù)u0.05標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表 (u) 0.95正態(tài)分布的雙側(cè)臨界值表u0.10/22).雙側(cè)分位數(shù)u0.02/2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表 (u) 0.99中位數(shù)的數(shù)學(xué)定義量 X ，如果對于任意類型的隨能找到數(shù) t ，使得下述兩式成立：P(X t) 1 2,P(X t) 1 2則稱 t 為 X 的中位數(shù)，記作 Me。對于連續(xù)型隨量，中位數(shù)是把隨量的概率分布劃分為 2個(gè)相等部分的數(shù)值。F(x) 1 2ABCMe量的期望應(yīng)該在上述哪個(gè)區(qū)域？隨隨量的方差數(shù)

5、學(xué)期望通常描述隨中心特征，但這并量取值的以描述隨機(jī)變量的整體特征。因此，實(shí)際中還經(jīng)常對隨量相對于中心理論值的聚散程度進(jìn)行度量，也即散度。有相同中心值變量的區(qū)分例：兩個(gè)班級學(xué)生的成績。E1 E2 73乙班10657390100Pi0.10.10.50.10.2甲班68727375Pi0.10.30.20.4甲班學(xué)生成績比較整齊，學(xué)生的分?jǐn)?shù)都圍繞在其平均值附近，散布的程度較小。而乙班則反之，其分?jǐn)?shù)的兩極分化較大。這時(shí)，就需要再引入一個(gè)指標(biāo)來刻畫這種散布的程度，也即總體的數(shù)值偏離其中心值均值的程度。偏差的平均值E(xi x) ？iE1 E2 0偏離- 63- 801727Pi0.10.10.50.1

6、0.2偏離- 5- 102Pi0.10.30.20.4偏差的均方 E(x x)2？iE 4.4E 578偏離23969640289729Pi0.10.10.50.10.2偏離225104Pi0.10.30.20.4方差的定義設(shè) X 是一個(gè)隨量，X 的數(shù)學(xué)期望存在：E(X) 。若EX E(X)2存在且為有限值，則稱其為 X 的方差，記作：D(X) EX E(X)2 2方差的計(jì)算量：離散型隨nD(X) x E(X)2 pkkk1連續(xù)型隨量：2D(X) x E(x) f(x)dx方差計(jì)算的常用公式D(X) EX E(X)2 EX2 2 X E(X) E(X)2 E(X2) 2 E(X) E(X) E

7、(X)2 E(X2) E(X)2D(X) E(X2) E(X)2量 X 服從指數(shù)分布，例：設(shè)隨其概率密度為：x 0 x 0 x ef(x)0量 X 的方差 D(X)。試求隨解：由指數(shù)分布的期望有：E(X) 1E(X ) 2x2 f(x)dx2 dx 2xx e202 2 1 1D(X) E(X2) E(X)2 22隨量方差的性質(zhì)(1). 設(shè) C 為常數(shù)，則：D(C) 0(2). 設(shè) X 為一個(gè)隨常數(shù)，則：量，C 為D(CX) C2D(X)(3). 假設(shè) X,Y 為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨量，則：D(X Y) D(X) D(Y)一般情形，假設(shè) X1, X2 ,L , Xn為 n個(gè)相互獨(dú)立的隨量，則：nn

8、DDxXk k k1k1標(biāo)準(zhǔn)差量的取值往往有固定的量隨綱，而方差則是隨量的平方級量綱。因此，為保障運(yùn)算時(shí)量綱的一致性，定義如下的標(biāo)準(zhǔn)差：Sd D(X)變異系數(shù)量有不同的特性，不同的隨例如量綱不同，這時(shí)僅由量值來比較其性質(zhì)就很不合理。因此，這里定義如下的變異系數(shù)：D(X)CV E(X)例如，中國正常青年男子，其身高的均數(shù)為170cm，標(biāo)準(zhǔn)差為6cm。體重的均數(shù)為60kg，標(biāo)準(zhǔn)差為7kg。經(jīng)過計(jì)算，到關(guān)于身高 H 和體重 W的變異系數(shù)分別為：CV(H) 0.035CV(W) 0.1174.2隨量函數(shù)的分布一般地，假設(shè)y f(x)是一元實(shí)值函數(shù)，X是一個(gè)隨量，若 X的取值在函數(shù) y f(x)的定義域

9、內(nèi)，則Y f(X)也為一隨量。在實(shí)際中，也常常需要計(jì)算某特定指標(biāo)的函數(shù)的分布，例如：測量圓球的體積，而關(guān)心的卻有可能是圓球的直徑。統(tǒng)計(jì)物理中，常需要從分子運(yùn)動速度的分布計(jì)算動能的分布。離散隨設(shè) X 為離散型隨量函數(shù)的分布量，分布律為：則 X 的函數(shù)Y f(X)的分布律為Yf(x1)f(x2 )f(xn)pkp1p2pnXx1x2xnpkp1p2pn在計(jì)算離散型隨量的函數(shù)的分布律時(shí)，有可能出現(xiàn)函數(shù)的某f(xi) 和 f(xj) 的取值相同，兩項(xiàng)可將兩項(xiàng)合并，對應(yīng)概率相加。量 X 的分布律為：例：設(shè)隨試求函數(shù)Y 2X2 1的分布律。X 1012pk0.20.30.40.1解： Y 可能的取值為 1

10、, 3, 9。PY 1 P2X2 1 1 PX 0 0.3 PY 3 P2X2 1 3 PX 1 0.6 PY 9 P2X2 1 9 PX 2 0.1Y3139pk0.20.30.40.1量 X 服從參數(shù)例：假設(shè)隨為 的泊松分布，試問隨量Y X m(不妨設(shè)m 0) 服從什么分布？還是否為泊松分布？解：由定義如下的概率分布：P(Y k) P(X m k)k m P(X k m) e(k m)!k m kL (k m 1) ek!k (m,m 1,L ) 。這里的參數(shù)連續(xù)隨量函數(shù)的分布量X N( , 2)，則經(jīng)過設(shè)隨下面的標(biāo)準(zhǔn)化變換，有如下結(jié)論：X N( , 2)Y N( 0,1)換Y X 量 X

11、 服從參數(shù)例：假設(shè)隨為 的指數(shù)分布，試問隨量Y 2X的分布密度及分布函數(shù)？解：由 X 及 Y 的函數(shù)變換關(guān)系有： Y t 2X t X t2 Fy (t) 1 P(Y t) 1 P(X t2)t 1dx 1 e xe2t 2tF (t) f(t) e22yy隨量和的分布例： 設(shè)X1, X2均服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布 Bn1,p和Bn2 ,p，若將兩個(gè)隨量分別看作是二點(diǎn)分布的和，則變量Z X1 X2 服從二項(xiàng)分布：Bn1 n2,p例：設(shè)相互獨(dú)立的隨量X1, X2服從參數(shù)為變量Y X1的泊松分布，則, 12X2服從泊松分布：kP(Y k) P(X1 i) P(X2 k i)i0 e 12( )i)k

12、ik(e1e2)k12(12i!(k i)!k!i0例： 設(shè) X1, X2 分別服從正態(tài)分布 , , 22NN和，則隨機(jī)1122變量 Z X1 X2 服從正態(tài)分布：N ,2 22121例： 設(shè) n 個(gè)相互獨(dú)立的隨量2iX,L , XN ,服從正態(tài)分布，1niZ iXi則隨量也服從正態(tài)分布，且分布形式為：22iN , iii若隨量X N(0,1) ，則函數(shù)X2服從卡方分布2 (1)；若隨量Xk (k 1,2,L ,n)服從分布2 (1) ，且相互獨(dú)立，則：nX X 2(n)ii14.3大數(shù)定理和極限定理不同的隨量通常有不同的概率分布函數(shù)或者密度函數(shù)，但在實(shí)際中，當(dāng)不同隨量之間滿足某種性質(zhì)時(shí)，它們

13、有可能有相似的性質(zhì)或可建立近似關(guān)系。大數(shù)定理設(shè)m 是n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p 是每次實(shí)驗(yàn)A發(fā)生的概率，則對任意正數(shù) , 總有mlim P 1pnn 切大數(shù)定理設(shè)隨量X1,L , Xn 相互獨(dú)立且具有相同的數(shù)學(xué)期望 和方差2，若令：X 1nXn ii1則對任意的正數(shù) , 總有：limP| X | 1n切大數(shù)定理的意義當(dāng)n 足夠大時(shí)，算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù)，其值接近于期望。算術(shù)均值數(shù)學(xué)期望二項(xiàng)分布的泊松近似量Xn (n 1,2,L服)設(shè)隨從二項(xiàng) k) Ckp k (1 p)，nk分布：P(Xnnnn這里概率 pn與n 有關(guān)。又設(shè)對于任意的n 總有npn 0 ，則有：k k) el

14、imP(Xnnk!泊松近似的條件二項(xiàng)分布的期望和方差分別為：np,npq ；而泊松分布的期望和方差均為 ；由此判定：只有當(dāng)np npq時(shí)，即或者 p 很??；或者n 很大時(shí)才會有較好效果。中心極限定理假設(shè)被研究的對象可由大量獨(dú)立的總和解釋，其中每個(gè)對于總和的作用都很微小且可比較，則當(dāng)數(shù)目很大時(shí)就可以認(rèn)為這個(gè)對象服從正態(tài)分布的。對此現(xiàn)象還可舉個(gè)有趣的例子釘板試驗(yàn)N(0,n)n 釘子層數(shù)-303Xk (k 1,2,L )如果隨量序列獨(dú)立同分布，并且有：E(Xk ) ，D(Xk ) 2。則有：u2lim P X t 1te2 du /n2n中心極限定理還可以用下面的一般的形式來表示：f(X) Ef(X

15、) (t)limPnnn tDf(X )n中心極限定理可理解成中心化以及化的結(jié)合。二項(xiàng)分布的正態(tài)近似量X 服從參數(shù)為 n,p的設(shè)隨二項(xiàng)分布，則對任意的 t ，總有：2u X np1t t limPe 2 dunpq2n投擲硬幣試驗(yàn)Experiment: Flipcoins compared with theoryNumber of trials Number of flips1020(Use 1 to 1000)(10, 20,or 40)Experiment:Flip 20 coins 10 timesExperimental4Theoretical332211001234567891920

16、Num ber of headsFrequency投擲硬幣試驗(yàn)FrequencyExperiment: Flip coins compared with theoryNumber of trials Number of flips10020(Use 1 to 1000)(10, 20, or 40)Experiment: Flip 20 coins 100 timesExperimental1050Theoretical5678910 1112 1314 1516 1718 1920Num ber of heads投擲硬幣試驗(yàn)Experiment: Flip coins compared wi

17、th theoryNumber of trials Number of flips30020(Use 1 to 1000)(10, 20, or 40)Experiment:Flip 20 coins 300 timesExperimental70Theoretical6050403020100012345678910 1112 13141516 1718 1920Num ber of headsFrequency投擲硬幣試驗(yàn)Experiment: Flip coins compared with theoryNumber of trials Number of flips100020(Use

18、 1 to 1000)(10, 20,or 40)Experiment:Flip 20 coins 1000 timesExperimentalTheoretical1401201008060402002345678910 11 1213 1415 16 1718 19 20Num ber of headsFrequency泊松分布的正態(tài)近似2u X 1x t limPe 2 du2nP(a X b) b a n中心極限定理的應(yīng)用當(dāng)樣本量比較大時(shí)，可以用來對給定的隨量的分布進(jìn)行近似。當(dāng)研究對象可以表示為獨(dú)立同分布的總和時(shí)，可以用來近似計(jì)算。例：售報(bào)員在某報(bào)攤上賣報(bào)，已知每個(gè)過路人在報(bào)攤上買報(bào)的

19、概率為1/3，令 X 是出售了100 份報(bào)時(shí)過路人的數(shù)目，求 P (280 X 320)。解：令表示售出了第i 1份報(bào)紙Xi后到售出第i份報(bào)紙時(shí)的過路人數(shù)，其中，i 1,2,L 100，則有：P(Xi k) p1 pk1k 1,2,L,p1/3也即，Xk 服從幾何分布。根據(jù)幾何分布的性質(zhì)，有：E(X ) 1 3, D(X ) 1 p 6iip2pp1/3p1/3假設(shè) X 表示賣完 100 份報(bào)紙的過往人數(shù)，則有：100X Xk E(X) 300,D(X) 600k1由獨(dú)立同分布隨量的中心極限定理，近似地有：X N(300,600) ，也即：P(280 X 320) 320 300 280 30

20、0 60060020 2 1 0.5878600 例：檢驗(yàn)員逐個(gè)檢查某產(chǎn)品，假設(shè)每查一個(gè)需用10秒鐘，但有的產(chǎn)品需重復(fù)檢查一次，再用去10秒鐘，若產(chǎn)品需重復(fù)檢查的概率為 0.5，求檢驗(yàn)員在 8 小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品的總數(shù)多于 1900 個(gè)的概率。解：令 Xi表示檢查第i 個(gè)產(chǎn)品所需的時(shí)間(秒)，其中，i 1,2,L 1900，則 Xi 的概率分布列表為：P(Xi 10) 0.5,P(Xi 20) 0.5進(jìn)而有：E(Xk ) 15,D(Xk ) 25假設(shè) X 表示檢查 1900 個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(秒)，則有：1900X Xk E(X) 28500,D(X) 47500k1由獨(dú)立同分布隨定理，近似地有：量的中心極限X N(28500,47500)根據(jù)題意，檢查 1900 個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間應(yīng)該小于 8 小時(shí)，從而有：P(10 1900 X 3600 8) 28800 28500 19000 28500 4750047500 1.376 43.589 0.91628941#567VopY#$% X &qrstZf(x)aun,x f(x)dxiGjklbmn,&5Z#$% X &defghEX x f(x)dx(4). V X,Y Z_#$%aE(kX bY) kE(X) bE(Y)(5)