1、中考數學輔導之圓和圓的位置關系一、教材簡析本單元主要研究圓和圓的位置關系，內容主要包括兩個圓；相交、相切兩圓的性質以及兩個圓的公切 線。其中兩個圓不同位置關系的概念及相交、相切時的性質是本單元的重點。同學們在學習過程中要注意與前面所學的圓的有關知識的聯(lián)系。當一條直線與兩個圓相切時，這條直線就是這兩個圓的公切線，而對于每一個圓來說，這條直線都是他們的切線。因此，研究兩圓的公切線 問題，就是圓的切線的判定和性質在兩個相關的圓中的應用。由圓的軸對稱性可以推出，任意兩個圓組成 的圖形，一定是以連心線為軸的對稱圖形。兩圓相交、相切的性質，都是由這個對稱性得到的。所以在學 習這一單元時，要隨時復習鞏固前面

2、所學知識，并逐步學會運用這些知識來解決兩圓位置關系中的新問題。本單元學習過程中，涉及實際應用的問題較多，有計算題，也有作圖題，要學會把實際問題抽象成數學問題，在關于兩圓公切線長的計算中，要學會把它轉化為解直角三角形的問題。二、基本內容及應注意的問題1、圓和圓的位置關系的分類，既考慮了數(兩圓公共點的個數)，又考慮了形(兩圓的相對位置)，兩圓的五種位置關系按公共點的個數(0,1, 2)可分為三類：(1)沒有公共點相離 卜離k含(包括同心)；(2)有1個公共點相切夕，切G切；(3)有2個公共點相交2、與點和圓、直線和圓的位置關系相類似，兩圓的位置關系(形的關系)與兩圓的半徑、圓心距的大小(數量關系

3、)有關。(1)兩圓外離dR+ r(2)兩圓外切d=R+ r(3)兩圓相交R rdr)(4)兩圓內切d=R r(R r)(5)兩圓內含dR r(R r)這個結論是雙向的，”是由兩圓位置的關系，得到兩圓半徑與圓心距之間特定的數量關系，這是兩圓位置關系的性質，利用這些性質可以把形的問題轉化為數的問題來解決；“”是根據兩圓半徑與圓心距之間的某種數量關系來判定兩圓的位置關系，從而把判定形的問題，轉向為數的問題來解決。這 在解決兩圓的位置關系的問題時特別方便。應當注意的是，判定兩圓相交時，必須具備 RrvdR+ r的條件。這是因為只有當 dRr時，兩 圓可能相交、外切或外離；而當 dr)是方程x2 3x

4、1 0的兩個根，兩圓的圓心距為d,(1)若d= 4,試判定兩圓的位置關系；(2)若d= 2,試判定兩圓的位置關系；(3)若兩圓相交，試確定 d的取值范圍；(4)若兩圓相切，求d的值。解： R, r是方程x2 3x 1 0的兩根. R+ r=3, R - r = 1貝U R r |R r j(R r)23(R r)2 4Rr v9 4 拆,. = 4，dR+ r,則兩圓外離；. = 2. -dRt- r,則兩圓內含；:兩圓相交，R rvdvR+ r,即：V5 d 3.兩圓相切，d=R+ r d=Rt- r,即：d=3 或 d= J5注意：兩圓相切有兩種可能(內切或外切)例2:如圖(4) , O

5、01與。02相交于 A B,直線 A。交。01于C,交O 02于D, CB的延長線交。02于E, 若 CD= 10, DE= 6,求。02的長。解：連結AB AEAC為。01 的直徑ABC 900D 900ABC*接于。02ABC DdAE為。02的直徑02為AE中點0i02iCE0102 , 34i為AC中點在Rt CDE中,CE2 CD2DE 2CE 2、34CD= 10, DE= 6注意：兩圓相交時，常添公共弦、 起到“橋梁”作用。例3:如圖（5） , O 0i與O 02相交于 A連心線等作為輔助線， 這些輔助線能把兩圓中的角或線段聯(lián)系起來,B, CE切。oi 于 C,交O 02于 D

6、E求證：分析：因CAD CBE i800CAD ACD ADC i800,所以只需證ACD ADC CBE ,聯(lián)想到兩圓相交時常添的輔助線，再運用弦切角定理及圓內接四邊形性質, 問題易得證。證：連結ABCDBEDA切。0i于C內接于。02ACD CBAACDCDACBA ABEACDCDAACD注意：如果。CDA0i的切線CDA ABECBE CAD 1800 - CE與O 02也相切于CADCBEi800E(D、E重合），則CAE CBED Aci800成立嗎？B - E 圖圖例4:如圖AB AEAC(6) , O 0iAD與。02內切于 A,作大圓的弦 AD AE分別交小圓于 B、Co求證

7、:分析:要證AB AEAC AD ,只需證ABAC,即要證 BC/ DE，AD AE證明:過點EA作。0i與。02的公切線AT,則:DAT, BCABCADATBC/ DEABADACAE,即：AB AE AC AD例5:如圖，0 0i與。02外切于A, BC分別切。0i和。02于B、C, CA交。0i于D,求證：BC2 CA CD 證明：過點 A作。0八。02的公切線 AE交BC于E,連結ABER EA為。0i的切線EB= EA同理：EC= EA1EC= EB= EABADBAC 900BAC i800 一 0. 一 ，一BAD 90 BD為。0i的直徑BC為。0i的切線BD BCABCDCB2CA CDCB CACBA s CDB 一 一 CD CB注意：當兩圓外切線內切時，公切線是常添的輔助線。圖例6:如圖（8）,兩圓內切于點C, Ooi的弦 AB切。02于E, CE的延長線交。oi于點 D,求證:AE CD BD AC分析：要證AE CD BD AC只須證 ”即要證 AECs DBC ,因兩圓內切，所以可過點AC CD公切線MN從而證得：DBC DCN ECN EFC AEC又因為 D A,從而問題得以解決。證明：過點C作。oi與。02的