1、第十二章 函數(shù)項級數(shù)12.1 函數(shù)序列的一致收斂概念1.下列函數(shù)序列在所示區(qū)域的一致收斂性：1x 2 ， x (, ) ；（1） f (x) nn 2x（2） f n (x) sin n ； ） x (l , l) ，） x (, ) ；nx（3） f n (x) 1 nx , x (0 , 1) ；1（4） f n (x) 1 nx ，） x a , ),a 0 ， ） x (0 , ) ；n 2 x 2（5） f n (x) 1 n3 x3 ，） x a , ),a 0 ， ） x (0,) ；nxx 0 , 1 ；（6） f n (x) ，x n 1xn（7） f n (x) 1 xn

2、，） x 0 , b ,b 0 ， ） x 0 , 1 ， ） x a , ), a 0 ；2n ， x 0 , 1 ；（8） f n (n1 ， x 0 , 1 ；（9） f n (xx（10） f n (x) n ln n ， x (0 , 1) ；（11） f (x) 1 ln1 enx ， x (, ) ；nn( xn)2（12） f n (x) e，） x l , l ，） x (, ) 解 （1） x (, ) ，1n2(x) limx 2 x 2 f (x) lim fxnnn 0 ，要使1n 21n 1 ，1f (x) f (x)x 2 xnn2n1n2n2 x x 2 只須

3、n 1 ，取 N 1 1，則當(dāng) n N 時，對一切 x (, ) ，有f (x) f (x) ， n1x 2 在 x (, ) 一致收斂于 f (x) 因此 f (x) x nn 2x（2） x (, ) ， lim f n (x) lim sin 0 f (x) ，nnn） 0 ，由于sin xnlf (x) f (x)，nnnl知只要n ，故N l 1，當(dāng) n N 時，有 ，因此 f (x) sin xf (x) f (x) nnn在(l , l) 一致收斂于 f (x) 0 1n） 0 2 0 ， N , n N 1 1, xn 2 (, ) ，但1f n (xn ) f (xn ) s

4、in 1 0 ，22x所以 f n (x) sin n 在(, ) 不一致收斂到 f (x) 0 （3） x (0 , 1) ，xf n (x) 1 f (x) (n ) 1nx11 0 2 0 , N , n N 1 N ， xn n (0 , 1) ，但nxn1 1 1 ，f (x ) f (x ) 1 nnn1 nx1 102nx在(0 , 1) 不一致收斂到 f x 1所以 f (x) n1 nxx1（4） x (0 , ) ， f n (x) 1 nx 0 f (x) (n ) ） 0 ，要使111 1 nx1 nanaf n (x) f (x)，1a 1 1 ，則只須 n 當(dāng) n

5、N 時，有f (x) f (x) ，對 x a , )，取 N a n1一致地成立，故 f n (x) 1 nx 在a , ) (a 0) 一致收斂于 f (x) 0 11） 0 2 0 , N ， n N 1 N ， xn n (0 , ) ，但11 0 ，2f n (xn ) f (xn )1n1 n1所以 f n (x) 1 nx 在(0 , ) 不一致收斂于 f (x) 0 x 2n 2 x 2n（5） x (0 , ) ， f n (x) 1 n3 x3 0 f (x) (n ) 1n3x3） 0 ，要使n 2 x 211f n (x) f (x) ，nxnan3 x31a 1 1

6、，則當(dāng) n N 時，有 ，對 x a , )只須 n f (x) f (x)，取 N a nn 2 x 2一致地成立，故 f n (x) 1 n3 x3 在a , ) (a 0) 一致收斂于 f (x) 0 11） 0 2 0 , N ， n N 1 N ， xn n (0 , ) ，而1n 2n 2 1 ，f (x ) f (x )nnn0121 n3n3n 2 x 2即 f n (x) 1 n3 x3 在(0 , ) 不一致收斂于 f (x) 0 nxx（6） f n (x) x n 1 1 x x f (x) （ n ）， x 0 , 1 1n 0 ，由于2nx2f n (x) f (x

7、)1 n x x n ，取 N 2 1 ，則當(dāng) n N 時，有f (x) f (x) 對 x 0 , 1 一致地成立，所以， nnxf n (x) x n 1 在0 , 1 一致收斂于函數(shù) f (x) x ix 0, b, b 1iix 0,1iiix a, a 1.0 , 0 x 1, 1xn（7） f n (x) 1 xn 2 , x 1, f (x) (n ) 1, x 1 ,） 0 ，由xnf n (x) f (x)1 xn x b , x 0 , b (b 1) ，nn取 N logb 1 ，則當(dāng) n N 對 x 0 , b (b 1) 一致f n (x) f (x)時，有xn地成立

8、，故 f n (x) 1 xn 在0 , b (b 1) 一致收斂于 f (x) 0 11） 0 0, N ， n N 1 N ， xn 0 , 1 ，但3n21 2 1 f (x ) f (x )，nnn01231 0, 0 x 1 ,xn所以 f n (x) 1 xn 在0 , 1 不一致收斂于 f (x) 1 , x 1 2） 0 ，由xn11f n (x) f (x) 1 , x a , (a 1) ，1 xnan1 xnxn取 N log a 1 ，則當(dāng) n N ，所以 f n (x) f n (x) f (x)時， 在1 xna , (a 1) 一致收斂于 f (x) 0 2n )

9、 0 f (x) ， x 0 , 1 （8） 顯然， lim f (nn11 0 0, N ， n N 1 N ， xn 0 , 1 ，但4n21 2122 1 ，f (x ) f (x )nnn042n 在0 , 1 不一致收斂于 f (x) 0 所以， f n (n1 ) 0 f (x) ， x 0 , 1 （9）顯然， lim f (nn g(x) ，由于 g (x) xn1n n 1x ，令 g (x) 0 ，f n (x) f (n1nnn時， g (x) 0 ，當(dāng) x 1時， g (x) 0 ，故 g(x) x ，且0 x n 1n 1n 1nn 1在 x 達(dá)到0 , 1 上的最大

10、值，于是x 0 , 1 ， 有n nnnn111g(x) 1 ， n 1n 1 n 1 n 1n 1n 0 ，取 N 1 1，則當(dāng) n N 時， 對0 , 1 上一切 x 一致地成f (x) f (x) nn1 在0 , 1 一致收斂于 f (x) 0 立，故 f n (xx（10） x (0 , 1) ， f n (x) n ln n 0 f (x) (n ) xxx 0 ，當(dāng) 0 x 1 時，由于limln 0 ，故 0 ，使當(dāng)0 時，有n nnnx ln x 1 1，則當(dāng) n N 時，有0 x 1 ，從而， x ln x ，故取 N 對 nnnnnnx (0 , 1) 一致地成立，故 f

11、 (x) x ln x 在(0 , 1) 一致收斂于 f (x) 0 nnn（11）當(dāng) x 0 時， f (x) 1 ln1 enx 0 (n ) ，nn1當(dāng) x 0 時， f n0 ln 2 0 (n ) ，n當(dāng) x 0 時，由于 x 1 ln enx 1 ln1 enx 1 lnenx enx 1 ln 2 x ，而nnnn1ln 2 x x (n ) ，故得 f n (x) x (n ) nf x 0 , x 0 ,所以 f (x) 1 ln1 enx 在(, ) 的極限函數(shù)為 x , x 0nn 1 ln 2 1 ，取 N 1 1 ，則當(dāng) n N 時， 且 0 ，由于f (x) f (

12、x) nnn 對 x (, ) 一致地成立所以 f (x) 1 ln1 enx 在(, )f (x) f (x)nnn一致收斂于 f (x) 2（12）顯然 lim f (x) lim e(xn) 0 f (x) nnn2 e( xn) ，） 0 ，由于當(dāng) x l , l 時，f n (x) f (x)22當(dāng) n l 后，由于e( xn) e( xl ) ，故當(dāng) n l 時，有2 e( xl ) ，f n (x) f (x)要使 ，只須 n ln l ，取 N ln l 1，則當(dāng)n N2 e( xl )f n (x) f (x)( xn)2 對 x l , l 一致地成立，故 f n (x)

13、e在l , l 上一致收f n (x) f (x)時，有斂于 f (x) 0 1 1 ，） 1 0 , N ，取f (x ) f (x )n N 1 N ，x n ，但nnn00n22( xn)2f n (x) e在(, ) 不一致收斂于 f (x) 0 所以，2設(shè) f n (x) (n 1, 2 , ) 在a , b 上有界，并且fn (x)在a , b 上一致收斂，求證：f n (x) 在a , b 上一致有界由于 f n (x) (n 1, 2 , ) 在 a , b 上有界，故 n N , M n 0 ， 使得 證明 x a , b ，有 M n ，又 f n (x) 在a , b 上

14、一致收斂，設(shè)極限函數(shù)為 f (x) ，則對f n (x) 1 0 ， N ，當(dāng) n N 時，有f n (x) f (x) 1，顯然f N 1 (x) f (x) 1，由此推出f N 1 (x) 1 M N 1 1，f (x)f (x) 1 M N 1 2 對一切 n N 成立f n (x)從而取 M maxM 1 , M 2 , , M N , M N 1 2 0 ，則x a, b， n ，有 M ，f n (x)即 f n (x) 在a , b 上一致有界3. 設(shè) f (x) 定義于(a , b) ，令nf (x)nf n (x) (n 1, 2 , ) 求證： f n (x) 在(a ,

15、b) 一致收斂于 f (x) 證明 由于nf (x) 1 nf (x) nf (x) ，所以，(x) nf (x) f (x) 1 ff (x)nnn1因此lim f n (x) f (x) ， x (a , b) 0 ，由于 f n (x) f (x) 0 ，故nn1f n (x) f (x)，n 1 1，n N ，有Nf (x) f (x) 對(a , b) 中一切 x 成立，故f (x) 在(a , b) nn一致收斂于 f (x) 4. 設(shè) f (x) 在(a , b) 內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) f (x) ，且f (x) n f (x 1 ) f (x)，nn求證：在閉區(qū)間 , (a b) 上

16、， f n (x) 一致收斂于 f (x) f (x 1 ) f (x)nf (x) n f (x 1 ) f (x) f (x) (n ) 證明n1nn 0 ，由于 f (x) 在(a , b) 連續(xù)，故 f (x) 在 , (a b) 連續(xù)，因而一致連續(xù)，故 0 ， x, x , ，當(dāng)x x 時，f (x) f (x ) 而n f (x 1 ) f (x) f x f (x 1 ) f (x) ， 0 1，f (x) f (x)nnn11故只要 ，即 n ，就有 ，取 N 1 1，則當(dāng) n N 時，f (x) f (x) nnnf n x f x 對 x , (a , b) 一致地成立，故

17、 f n (x) 一致收斂于 f (x) 就有5設(shè) f1 (x) 在a , b 上 Riemann 可積，定義函數(shù)列x(x) f n (t)dt(n 1, 2 , ) ，fn1a求證： f n (x) 在a , b 一致收斂于 0證明 由于 f1 (x) 在a , b 上 Riemann 可積，故必有界，即M 0 , x a , b ，有 M 所以，f1 (x)xxf1 (t) dt M (x a) ，f 2 (x)f1 (t)dtaax1f (t) dt M (t a)dt M (x a)2 ，xxf (x)f (t)dt3222aaa如此，用數(shù)學(xué)歸納法，易證 1 M (x a)n , n

18、1, 2 , ，f(x)n1n!故x a , b ，有 1 M (x a)n 1 M (b a)n 0 (n ) ，f(x)n1n!n!所以， f n1 (x) 0 (n ) 即lim f n (x) 0 f (x) ， x a , bn 1 M (b a)n 0 (n ) ，故 0 ， N ，同樣， n N ，由f(x) 0n1n! ，所以 f n (x) 在a , b 一致收斂于 0當(dāng) n N 時，有f n1 (x) 06. 問參數(shù) 取什么值時，nxf n (x) n xe,n 1, 2 , 1在閉區(qū)間0 , 1 收斂？在閉區(qū)間0 , 1 一致收斂？使limf n (x)dx 可在積分號下

19、取極限？n 0解 ，當(dāng) x 0 時， f n (x) 0 , n 1, 2 , ，當(dāng)0 x 1 時，n xf n (x) n xenx 0 (n ) ，enxnx故不論參數(shù) 取何值， f n (x) n xe在閉區(qū)間0 , 1 收斂于函數(shù) f (x) 0 因為f (x) n enx enx (n) n enx (1 nx) ，nn 1111 1e1 ，即所以 f (x) 在 x 取最大值 f ( ) ne nnnnnnn 1 1x 0 , 1， f n (x) ne 故當(dāng) 1 時，因為 n 1e1 0 (n ) ，所以 f (x) 在0 , 1 一致收斂于 f (x) 0 n 0 ， N ，

20、n N 1 n ， x 1 0 , 1，但當(dāng) 1時， e10nnn 11 1e1 e1 ，f (x ) f (x ) ne nnnnn0n故 f n (x) 在0 , 1 不一致收斂由于1f0111(x)dx n xenx dx n 1xd (enx ) n 1en enx dxn000 n 1en 1 en 1 n 2en (n 1) n 2 ，nn11所以， 當(dāng) 2時， limf (x)dx 0 ， 2 時， limf n (x)dx 1 ， 2 時， nn0n0111limf (x)dx ，而f (x)dx 0 ，因此當(dāng) 2 時， limf n (x)dx 可在積分號下nn 00n 0取

21、極限nx27證明序列 f n (x) nxe(n 1, 2 , ) 在閉區(qū)間0 , 1 上收斂，但11lim f (x)dx limf n (x)dx n0 nn 0nx2證明 當(dāng)0 x 1 時， f n (x) nxe1 0 (n ) ，當(dāng) x 0 時， f n (x) 0 ，所1以， lim f (x) 0 ， x 0 , 1 故 lim f(x)dx 0dx 0 ，而nnn0 n0121 121(x)dx nxenx dx enx d (nx 2 ) (1 en ) ，1f0n2200所以，1111limf (x)dx lim(1 e) 0 lim f (x)dx nnnn 22n 00

22、 n8. 設(shè) f n (x) (n 1, 2 , ) 在(, ) 一致連續(xù)，且 f n (x) 在(, ) 一致收斂于f (x) 求證： f (x) 在(, ) 上一致連續(xù)f n (x) 在(, ) 一致收斂于 f (x) ，故 0 ， N ，當(dāng) n N 時，證明 由于 3f (x) f (x)， x (, ) 成立nf N 1 (x) 在(, ) 一致連續(xù)，故對上述 0 ， 0 ，x1 , x2 (, ) ，又由 ，就有x1 x2只要 3(x ) ff(x )，N 11N 12 ，就有從而x1 , x2 (, ) ，只要x1 x2f (x1 ) f (x2 )f (x1 ) f N 1 (x

23、1 ) f N 1 (x1 ) f N 1 (x2 ) f N 1 (x2 ) f (x2 ) ，333f (x1 ) f N 1 (x1 ) f N 1 (x1 ) f N 1 (x2 ) f N 1 (x2 ) f (x2 )所以 f (x) 在(, ) 上一致連續(xù)9 設(shè) fn (x) 是 a , b 上的連續(xù)函數(shù)序列，且 fn (x) 一致收斂于 f (x) ；又 xn a , b (n 1, 2 , ) ，滿足 lim xn x0 ，求證 lim f n (xn ) f (x0 ) nn證明 由已知 f (x) 是a , b 上的連續(xù)函數(shù)，因而 0 ， 0 ，當(dāng) x a , b 且 時

24、，就有x x0f (x) f (x0 )，2 ，因又 lim xn x0 ， xn a , b ，故對上述 0 ， N1 ，當(dāng) n N1 時，有xn x0n而當(dāng) n N1 時，f (xn ) f (x0 )，2而fn (x)在a , b 上一致收斂于 f (x) ，故對上述 0 ， N 2 ，當(dāng) n N 2 時， 2f (x) f (x)n對 x a , b 一致地成立取 N maxN1 , N 2 ，則當(dāng) n N 時，同時成立2f n (xn ) f (xn )f (xn ) f (x0 )，2，所以，當(dāng) n N 時，f n (xn ) f (x0 )f n (xn ) f (xn ) f

25、(xn ) f (x0 ) ，22f n (xn ) f (xn ) f (xn ) f (x0 )因此lim f n (xn ) f (x0 ) n10.設(shè)f n (x)是在(a , b) 內(nèi)一致收斂于 f (x) ， x0 (a , b) 且lim f n (x) an (n 1, 2 , ) x x0證明： lim an 和) 存在且相等，即nlim lim f n (x) lim lim f n (x) n x x0 x x0 n證明 由于fn (x)是在(a , b) 內(nèi)一致收斂于 f (x) ，故由函數(shù)列 Cauchy 收斂準(zhǔn)則， 0 ， N ，當(dāng) n , m N 時，有 f (x

26、) f (x)nm2對 x (a , b) 一致地成立注意到 lim f n (x) an (n 1, 2 , ) ， 在上式中令 x x0 左右x x0 取極限，就有 an amCauchy 收斂準(zhǔn)則，知lim an 存在，設(shè)極限值，由數(shù)列的2n 為 a ，故 0 ， N ，當(dāng) n N 時，有 a a11n3又fn (x)是在(a , b) 內(nèi)一致收斂于 f (x) ，故對上述 0 ， N 2 ，當(dāng) n N 2 時，對 3x (a , b) 一致地有f (x) f (x)n取 N maxN1 , N 2 ，則以下兩式同時成立 3 3f(x) f (x)aa，N 1N 1又 lim f N 1

27、 (x) aN 1 ，故 0 ，當(dāng) x (a , b) 且 時，有x x0 x x0f N 1 (x) aN 1 時，有，3故當(dāng) x (a , b) 且x x0f (x) af (x) f Na 333 f(x) f (x) f(x) a aaN 1N 1N 1N 1所以 lim f (x) a ，即lim lim f n (x) lim lim f n (x) x x0n x x0 x x0 n11. 設(shè) f n (x) (n 1, 2 , ) 在a , b Riemann 可積，且fn (x)在a , b 一致收斂于f (x) ，證明： f (x) 在a , b Riemann 可積由于f

28、n (x)在a , b 一致收斂于 f (x) ，故 0 ， N ，當(dāng) n N 時，有證明 f (x) f (x)n4(b a)對 x a , b 一致地成立，所以， f(x) f (x)N 14(b a)對 x a , b 一致地成立，因而f(x) f (x) f(x) N 1N 14(b a)4(b a)對 x a , b 一致地成立由于 f N 1 (x) 在a , b Riemann 可積，故對上述 0, 0 ，對一切分劃 ，當(dāng)分劃的小區(qū)間的最大長度 時，就有 2n ( N 1) x，iii1其中 ( N 1) M ( N 1) m( N 1)supf(x) f(x) (i 1, 2

29、, , n) infN 1N 1iiiii若設(shè) Mi supf (x) ，而 mi if (x) ， i Mi mi ，則infiMi Mi( N 1)4(b a)， mi m( N 1)，4(b a)i所以， ，（ i 1, 2 , , n ） ( N 1)ii2(b a)故當(dāng) 時，有 nni1n i1n i1 ( N 1) ( N 1) xi(2(b a)xixixi1ii2(b a)i1(b a) ，22(b a)f (x) 在a , b Riemann 可積12.2 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及其判別法1求出下列函數(shù)項級數(shù)的收斂區(qū)域（和條件的）：xnn1（1）；1 x2nnnx（2） ；n

30、1 n 1 2x 1 1 x n(1)n（3） ；n1 2n 1 1 x 11（4） n1n 1 a 2n xn 1 時，x解（1）由于nxnx，1 x 2n1 x 2nxn而 xn1n1n 1 時收斂，故在 x 1 時絕對收斂；x當(dāng)1 x2n1時，當(dāng) xn 1 xn1 ，1 x 2n1 n 1 xn 1時收斂，故1時絕對收斂；當(dāng) x在 x而n1 1 x2nn11(1)nxnn1x 1 時，級數(shù)的一般項分別為 和2的絕對收斂區(qū)域為(, ) 1, 1 ，故發(fā)散所以，函數(shù)項級數(shù)1 x2n2xxnxnx11112 1，得 1 x 或 x ，因而當(dāng) 1 x （2）解不等式或2x 1223n11nx x

31、 時，級數(shù)的一般項當(dāng) n 時不趨向于零，故這時級數(shù)發(fā)散；n 1 2x 123n1xn而當(dāng) x 1或 x 時，由于絕對收斂，單調(diào)上升且有界，由 Abeln 12x 13n1 nnnx判別法知 n1n1收斂，即絕對收斂 所以絕對收斂域為n 1 2x 11(, 1) ( 3 , ) 1 x1 ， 得 x 1 或 1 x 0 ，因而當(dāng) x 1 或 1 x 0 時， （ 3 ） 由1 x 1 x n 1 x n(1)n ，且 (n ) ，故級數(shù)發(fā)散； 1 x 2n 1 1 x (1)nn1當(dāng) x 0 時，級數(shù)為條件收斂；2n 1 1 x n1 x1 1 ，因而級數(shù)(1)n 當(dāng) x 0 時，由于絕對收斂，

32、而單調(diào)遞1 x 1 x 2n 1n1 1 x n(1)n減有界，由 Abel 判別法，這時級數(shù)絕對收斂；n1 2n 1 1 x 1 x n(1)n絕對收斂域 (0 , ) ，條件收斂域 x 0 ，收斂域所以級數(shù)n1 2n 1 1 x 0 , ) nn111111，由于級數(shù)n11時，由于（4）當(dāng) a對n 1 a 2n x 222nx 2anx 2a111一切 x 0 收斂，故n1對一切 x 0 收斂，而當(dāng) x 0 時，級數(shù)為發(fā)nn 1 a 2n xnn1散1111，而級數(shù)2 對一切 x 發(fā)散，n (1 x ) 1 時，由于當(dāng) an 1 a 2n x 2n (1 x 2 )n1nxn 12x 11

33、1因而n1n 1 a 2n xn對一切 x 發(fā)散1時，收斂域也是絕對收斂域為 R 0 ，當(dāng) a 1 時，收斂域為 綜上，當(dāng) a2按定義下列函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性：（1） (1 x)x n ， x 0 , 1 ；n0(1)n1 x 2n1， x (, ) （2）(1 x )2 n 1, ,n1解（1） sn (x) (1 k 0（ n ) 13 0 2 0 ， N ， n N 1 N ， xn n0 , 1 ，但43 n31 1 n4sn (xn ) s(xn ) 1 0 ，42所以(1 x)x n 在0 , 1 不一致收斂n0n 111 2 1 x1 x2k(1)k1 x 2nnk 1（2）

34、s (x) 2n(1 x )2 k 1 1 1 x 2 n1x 22 x 2) (n ) 2 x 2x 2由于 sn (x) s(x)2 ) ，則 2x(x 2 n 1 n2 1)(x 2 n 1 n 2 1)f (x) ，(2 x 2 )2 (1 x 2 )n1求得 f (x) 的穩(wěn)定點 x 0 ， x n2 1 n 1 ，可判定 x 0 為極小值點 f (0) 0 ，又 f (x) 0 ，故 f (0) 0 為最小值，而 x 點，最大值為n 2 1 n 1 為極大值點，也是最大值n2 1 n 11f (n 1 n 1) 2 n2 1 n 3 (n2 1 n 2)2 2n n 2 1 n 3

35、 n 2 1 n 2n 2 1n （當(dāng) n 1時）3n 4(4n 3)n3n 2 1 n 1 0 (n ) ，所以，2 1nn 2 1 n 1) sn (x) s(x) f (x) f (（ n 1），3故 0 ， N 1， n N 時， sn (x) s(x) 對 x (, ) 一致地成立，因而(1)n1 x 2n1在(, 在(, sn (x) 一致收斂于 s(x) ，因此函數(shù)項級數(shù)) 一致收(1 x 2 )nx 2斂于和函數(shù) s(x) 2 x 23下列函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性：sin nx（1） ， x (, ) ；n1 3 n 4 x 4xn1， x (, ) ；（2）1 n x4 2(1

36、)n (1 enx )（3） n1， x 0 , ) ；n 2 x 2（4） sin nx， x (2, ) ；n1 x 2nnxn1， x (, ) ；（5）1 n x5 2n21（6） n1nn x) ， 2 2 ；(xn!x（7） x 2enx , x 0 , ) ；n1xn ln n x（8） n1， x 0 , 1 ；n!11（9） ， x (, ) ；x n 2(n 1)222xn2 nn1 r 1 ；， x（10）nxln1 nxnxn（11） n1， x a , ), a 1sin nx11對一切 x (, ) 成立，而收斂，由 M 判別法解（）因為n 4 x 44n 34n1

37、 n 3sin nx知級數(shù)在(, ) 一致收斂n1 3n 4 x 4對一切 x (, ) 成立，而12n 21（）由于收斂，1 n4 x 2n1 2n2n4 x 22xn1在(, ) 一致收斂故級數(shù)1 n x4 2(1)n (1 enx )(1)n (1 enx )1n2對一切 x 0 , ) 成立，故（）因為在n 2 x 2n 2 x 2n10 , ) 一致收斂sin nx111(n 2) 對一切 x (2 , ) 成立，（）由于2n 2n12n1x 2n2n 2而級數(shù) 1 收斂，因而 sin nx在(2 , ) 一致收斂n1 2n1n1 x 2n對 x (, ) 一致地成立，所以 nx（）

38、由1nx在n1 1 n5 x 21 n5 x 252n 252n 2x(, ) 一致的收斂n 2 2n1n 2n21nn (x x)n!nn) 對于 2 一致地成立， ( xn!xx（）由2n!(n 1)2 2(n1)1n2 2n12(n 1)2n 2 2n1 0 ，所以級數(shù)n1 lim且由于lim收斂，(n 1)!2n 1nn!n nn!nxxxn21因而(x x) 在 n!2nn 2 一致收斂xn1（）當(dāng) x 0 時， enx 1 nx 1 n 2 x 2 1 n 2 x 2 ，所以enx 2，故 x 0 時，n2 x 22222n1收斂，用 M 判別法，知級數(shù) x ex en 22 nx

39、x 02 nx，該式對顯然也成立，故由2nn1在0, ) 一致收斂，則 f (x) ln x 1 ，求得穩(wěn)定點 x 1 ，且在 x 1 取極（）設(shè) f (ee11 0 ， f (1) 0 ，所以 f (x) 在 x 0 , 1 上最大值為 （補充定義大值 又eef (0) 0 因而x 0 , 1 ， f (x) 1 e| xn ln n x |(x ln x)n11n1所以，而級數(shù)由DAlembert 判別法知其收斂，n!n!ne n!ne n!xn ln n x故由 M 判別法，級數(shù)在0 , 1 一致收斂n!n111（）因為2n 22(n 1)2xxn2 11n21 1 )(1 1 )(n

40、1)21n2n 1nn 1n2 x111n21x 2 x 2 nn 1(n 1)211， x (, ) ，n(n 1)(n 1)21n2收斂，故原級數(shù)在(, ) 一致收斂而(n 1)2 n 1n 1nnnn1n 1 ，故收斂，而limn lim（10）n1nnnnxrn rrrnrn1 rxnn r 1 一致收斂在 x因而nxn1(11) 由于x 2 1(n 1)2lim ln(1 nx) limln(1 (n 1)x) ln(1 nx) lim ln1 x1 nx nnnn1 lim ln1 0 ，1 n nxln(1 nx)對 x a , ) (a 1) 一致地成立，故N ，當(dāng) n N 時

41、， 1，從而當(dāng) n N 時，nln(1 nx)11，nxnxnanln1 nx1收斂，因而在a , )(a 1) 一致收斂而nnxnan1n14下列函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性：cos 2n3（1） n1， x (, ) ；n 2 x 2sin x sin nx（2） n1， x 0 , 2 ；n x(1)n（3） n1， x (1, ) ；x n(1)nn1， x (, ) ；（4）n sin x1（5） 2 sin 3n x ,nx (0 , ) ；n1nn12(1)（6） a ；x，n1 3 n 2 exxn（7） ， x 1, 0 ；nn1x 2n1（8） (1) 2n 1 ， x 1, 1

42、 nn12n解（1）由于級數(shù) cosn1的部分和序列3sin sin 2n 1 cos 2k 3n33 k 12 sin21有界，因而在(, ) 一致有界，對每一固定的 x (, ) ，數(shù)列 3n 2 x 2 1是單調(diào)下降的，且當(dāng) n 時，函數(shù)序列 一致趨向于 0，因而有Dirichletn 2 x 2 cos 2n判別法,知 3 在(, ) 一致收斂n 2 x 2n1（2）由于級數(shù)sin x sin nx 的部分和序列n1sin x sin kx cos 2 sin x sin kx sconn2 2 k 1 k 11有界 2，因而在0, 2 一致有界，對每個固定的 x 0 , 2 ，數(shù)列

43、單調(diào)遞減且n x 1sin x sin nx 一致趨向于 0，由 Dirichlet 判別法，知當(dāng) n 時，函數(shù)序列n x n xn1在0, 2 一致收斂n（3）級數(shù)(1)n 的部分和序列(1)k 有界1，因而在(1, ) 一致有界，而序n1k 1(1)n1) 單調(diào)遞減且一致趨向于 0，故對每個 x (1, 在(1, ) 一致列x nx nn1收斂n1n11（ 4）取 bn (x) (1) ， an (x) n sin x ，則顯然 bx (x) (1)nk 1 ，而k 2k 21對每個 x (, ) 單調(diào)遞減，且對所有 x (, ) ，有 an (x) n sin x111 0 ，因此 a

44、(x) 在(, ) 一致趨向于 0，據(jù) Dirichletn sin xn 1nn sin x(1)nn1在(, ) 一致收斂判別法，知n sin xn1 2 n1 11，而級數(shù)收斂，故 2n sin在（5） 2n sin 2n 3n 3 n1 x 3 3n xn1x (0 , ) 絕對收斂，從而收斂但由于 0 1 0 ， N ， n N 1 N ，2xn 3n (0 , ) ，而2n sin 212n sin2n sin 2n 1，3n xn11而 2 sin 3n x 在(0, )因而級數(shù)的一般項2 sin在 x (0 , ) 不一致趨于0，因3n xnnn1不一致收斂nn11（6）取bn

45、 (x) (1)， an (x) 則顯然23n 2 exnn12nnbk (x)k 1 (1) 2(n) ，k 11an (x) 對每一個 x : a 單調(diào)遞減，且x3n 2 ex11 0 (n ) ，a (x)n3n 2 ex3 n 2nn12因此數(shù)列a (x) 1(1) a 一致趨于 0，因此，函數(shù)項級數(shù)x 在在nn 2 exn 2 ex3n1 3 a 一致收斂xx(1 xn )1nn（7）取an (x) ， bn (x) x ，則n ，有 bk (x)n xnk 2 ，1 xk 1k 1xn1而 an (x) 單調(diào)下降且趨于 0，因此在1, 0 一致趨于零，所以在1, 0 一致nnn1收

46、斂13n23n 1，則a (x)單調(diào)下降且在1, 1 一致趨（8）取b (x) (1)n x 2n1 ， a (x) nn2n 1n于零，顯然， n 有nnb (1)k x 2k1 2 ，(x)k1 x 2k 1k 1x 2n1由 Dirichlet 判別法，級數(shù)(1) 2n 1 在1, 1 一致收斂nn115證明級數(shù)(1)n1n關(guān)于 x 在(, ) 上為一致收斂，但對任何 x 并非絕對n x 2x 2n1雖在(, ) 上絕對收斂，但并不一致收斂收斂；而級斂(1 x )2n1nn取bn (x) (1)， an (x) n x2 ，則n ， bk (x) (1)n1k 1 1 ，而證明k 1k

47、11n x2 1 0 (n ) ， 故 a (x) 在a (x) 對每個 x 單調(diào)遞減，且由于a (x)nnnn1(, ) 一致趨于 0，由 Dirichlet 判斷法，級數(shù)(1)n1關(guān)于 x 在(, ) 一nn x 2致收斂但x (, ) ， N ，當(dāng) n N 時，有 n x 2 ，所以，當(dāng) n N 時，有111(1)n1，2nn x 2n x 212n11n1n1發(fā)散，即(1)n1(nn1)對任何 x 并非絕對收斂而發(fā)散，因此n x 2n x 2x 2n1，若 x 0 ，則顯然收斂；若 x 0 ，則由于，而對級數(shù)(1 x )2nx 2x 21 1，limn (1 x 2 )n1(1 x 2

48、 )n1 x 2x 2n1對一切 x (, ) 絕對收斂而由于所以級數(shù)(1 x )2nx 2x 21n11 x 2 1 s(x) ，(1 x ) 11 x 22n1 x3 (1 (x 2 )n )所以，11sn (x) s(x) 1 1 (1 x )2 n(1 x )2n1 n1 n1由lim1 e 3 ，故N1 ，當(dāng) n N1 時，有1 3 0 0 ，N ，nn n 31 (, ) ，但nn maxN 1, N N ， x 1n11sn (xn ) s(xn ) 0 ，31 n1 n x 2n1在(, ) 不一致收斂因此(1 x )2n6設(shè)每一項n (x) 都是a , b 上的單調(diào)函數(shù)，如果

49、n (x) 在a , b 的端點為絕對收n1斂，那么這級數(shù)在a , b 上一致收斂證明 由于 n (x) 都是a , b 上的單調(diào)函數(shù)，不妨設(shè)為單調(diào)增函數(shù)，則x a , b ， max (a)n, n (b) ，由于有 n (a) n (x) n (b) ，因此x a , b ， 有 n (x)n1 (x) 在a , b 的端點為絕對收斂，因此級數(shù)max, (b) 收斂，由 判別(a)nnnn1法，知級數(shù)n (x) 在a , b 一致收斂n17若un (x) 的一般項 un (x)n1 cn (x) ， x X ，并且cn (x) 在 X 上一致收斂，n1證明un (x) 在 X 上也一致收斂

50、且絕對收斂n1證明 由于cn (x) 在 X 上一致收斂，由Cauchy 原理， 0 ，存在與 x 無關(guān)的 N ，n1n pn pck (x) ck (x) ，因此當(dāng) n N 時，p ，k n1只要 n N ，p ，x a , b ，都有k n1n pn pn puk (x) uk (x)k n1 ck (x) ，同樣由Cauchy 原理，知級數(shù)k n1x a , b ，都有k n1un (x) 在 X 上一致收斂；又由于x Xn1 cn (x) ，而cn (x) 收斂，因而n1， un (x)un (x) 絕對收斂n112.3 和函數(shù)的分析性質(zhì)1. 研究下列級數(shù)所表示的函數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)

51、性：（1） xn ，n01 x 1 ；xn（2） ，1 x 1 ；nn1xnn1 1；x（3），2n1n10 x ；（4），(x n)(x n 1)1n10 ；x（5），1 n x22sin nx（6） n1 ；x，n nnxn10 ；x（7），1 n x42x 2n1x （8），(1 x )2n解（1） x0 (1, 1) ，有 1 ，取 r 1 ，則級數(shù)在 r 一致收斂于和函x0 x0 x數(shù) s(x) ，而每一項函數(shù) xn 在 r 連續(xù)，由和函數(shù)的連續(xù)性知 s(x) 在 r 連續(xù)，因而在xxx0 連續(xù)，由 x0 (1, 1) 的任意性知級數(shù)所表示的函數(shù)在(1, 1) 連續(xù)（ 2） x0 1

52、, 1) ，取 r 0 ，使 x0 r 1 ，則在1, 1) ， 取 bn (x) x，na (x) 1nk 1n 2 ，而a (x) 1 單調(diào)遞減趨于 0，nxkb (x) ，則n，有nkn1 r nk 1xnxn因而在1, r) ， 一致收斂于其和函數(shù) s(x) ，又級數(shù)的每一項函數(shù)在1, r) 連nnn1續(xù)，因而 s(x) 在1, r) 連續(xù)，特別地 s(x) 在 x0 1, r) 連續(xù)，由 x0 1, 1) 的任意性知級數(shù)所表示的函數(shù)在1, 1) 上連續(xù)xnn 2x nn11收斂，故由 判別法知n1n 2x 1, 1 成立，（3）由于，n 22nn1x 2xnn 2在區(qū)間1, 1 一致

53、收斂，而級數(shù)的每一項在1, 1 連續(xù)，因而所表示的函數(shù)在nn1 1連續(xù)x1111n1（4） x (0 , ) ，有(x n)(x n 1)n(n 1)n 2，而收斂，因此2n11n1在(0 , ) 一致收斂，級數(shù)的每一項在(0 , ) 連(x n)(x n 1)(x n)(x n 1)1n1所表示的函數(shù)在(0 , ) 連續(xù)續(xù)，由連續(xù)性定理，級數(shù)(x n)(x n 1) 0 ， 0 ，滿足 ，在 上考慮問題由于 時，（5） x0 ： x0 x0 xx11111n1n1 一致收斂，有1 n 2 x 21 n 2 2n 2 2x，因為收斂，故在n 2 21 n x22 連續(xù)，因而 n11在1 n 2

54、 x 2 上連續(xù)，特別在 x0 連xxx又級數(shù)每一項在：001n100 連續(xù)續(xù)由 x0 ：x0 x的任意性，知級數(shù)所表示的函數(shù)在1 n x2 2n1sin nxn nsin nxn n 1 1 3n 2n，級數(shù)在(, ) 連續(xù)，又（6）級數(shù)的每一項收3n 2sin nxsin nx斂，故級數(shù) n1在 (, ) 一致收斂，因而級數(shù) n1所表示的函數(shù)在n nn nxn(, ) 連續(xù) 0 ， 0 ，使0 時，有（7） x0 ，滿足x0 x0 x，當(dāng)11n3，1 n 4 x 2n 4 x 21nxnxn1n1 一致收斂，又級數(shù)的每一項在1 n4 x2 連xx而收斂，故在n 1 n x342nxn1 連

55、續(xù)，特別地在 x0 連續(xù)，由 x0 ： x00 的x續(xù)，故級數(shù)所表示的函數(shù)在1 n x42nxn10 連續(xù)所表示的函數(shù)在 x任意性知級數(shù)1 n x42x 21（8）和函數(shù)為 s(x) 1， x 0 ；而 x 0 時，和為 s(0) 0 ，顯1 x 2 1 11 x 2x 2n1x 0 x 0然 s(x) 在連續(xù)，在間斷，且為可去間斷點，即級數(shù)所表示的函數(shù)(1 x )2n在(, 0) (0 , ) 連續(xù)，在 x 0 間斷，且為可間斷點sin nx2求證 f (x) n1在(, ) 內(nèi)連續(xù)，并有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)n3sin nx在(, ) 內(nèi)連續(xù)，且x (, ) ，有證明由于級數(shù)的每一項n31n3n31s

56、in nxn1收斂，使用 判別法，知級數(shù)n1在(, ) 內(nèi)一致收斂，因而函數(shù)而3n3nf (x) sin nx 在(, ) 內(nèi)連續(xù)n3n1 sin nx 111n cos nx cos nx ，同樣，cos nx 對每一個 n 在(, ) 連n3n 2n 2又n3 1 ，x (, ) 一致收斂，因此 f (x) 可導(dǎo)，且 f (x) 1 cos x 1 續(xù)，cos nxn 2n 2n1 n 2sin nxn3xnxnx連續(xù)enxn13設(shè) f (x) ，求證：1 n2（1） f (x) 在 x 0 上連續(xù)；（2） f (x) 在 x 0 內(nèi)無窮次可微證明（1）當(dāng) x 0 時， enx 1，故n

57、，enx11，1 n21 n 2n 2enxenx1n1n1收斂及 判別法知在0 , ) 一致收斂，級數(shù)的每一項都在1 n2由1 n22nenxn10 , ) 連續(xù)，因此 f (x) 在0 , ) 連續(xù)1 n2enxnenx(2) x (0 , ) , r ，滿足 0 r x ，而 ，由于n ，當(dāng)001 n21 n 2nenxnenx(n 1)e (n1)rne nrnnrrx r , ) 時， e 1，e， lim1 n1 n1 n1 (n 1)1 n22222nenxnenxn故enr 收斂，由 判別法知 n1在r , ) 一致收斂，所n1 1 n 21 n21 n 2n1nenx以 f

58、(x) 在r , ) 連續(xù)，特別在 x 連續(xù)，由 x (0 , ) 的任意性知 f (x)1 n 200n1在 x 0 可微(1) k nk enx若設(shè) f(x) 在 x 0 存在，即 f (x) 在 x 0 k 次可微，則 (k )1 n 2n1 (1)k nk enx (1)k 1 nk 1enxx0 (0 , ) ，同樣 0 ，使 0 r x0 ，而r , ) 連續(xù)，且由n ，當(dāng) x r , ) 時，在1 n 21 n 2(1) k 1 nk 1e nxnk 1nre，1 n 21 n 2及(n 1)k 1 e(n1)rnk enr e 1，rlim1 (n 1)21 n2nnk 1(1

59、)k 1 nk 1enxn1e收斂，由M 判別法知，級數(shù)nr在r , ) 一致收斂，知級數(shù)1 n1 n 22n1因此有f (k) (x) f (k 1) (x) (1)k 1 nk 1enx存在且連續(xù)于r , ) ，特別地在點1 n 2n1x0 (0 , ) ， f (x) 的 k 1階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，由 x0 (0 , ) 的任意性，知 f (x) 的k 1階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，由歸納法原理， f (x) 在 x 0 任意次可微4. 證明 nenx 在(0 , ) 內(nèi)連續(xù)n1證明x0 0 ， 0 ，使 x0 ，在 x , ) 時級數(shù)的項 ne連續(xù)，且nx數(shù) nen n1收斂，因而用 M 判別法知

60、級數(shù) nenx 在 , ) 一致收斂，n1nenx nen ，級所以 nenx 在 , ) 連續(xù)，特別地在 x ( , ) 連續(xù)，由 x 0 的任意性，知00n1 nenx 在(0 , ) 內(nèi)連續(xù)n15設(shè)un (x) 在(a , b) 內(nèi)一致收斂， un (x)（ n 1, 2 , ）在a , b 上連續(xù)，求證：n1（1） un (x) 在a , b 上一致收斂；n1（2） s(x) un (x) 在a , b 上連續(xù)n1證明（1） 0 ，由于un (x) 在(a , b) 內(nèi)一致收斂，N 與 x 無關(guān)，n N ，p ，n1在 x (a , b) 一致地有un1 (x) un2 (x) un