1、 PAGE PAGE 7第三講 柯西不等式與排序不等式(本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)一、選擇題(每小題5分，共60分)1.設(shè)a0，b0，則以下不等式中，不恒成立的是A.(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)4B.a3b32ab2C.a2b222a2b D.eq r(|ab|)eq r(a)eq r(b)答案B2.已知3x22y21，則3x2y的取值范圍是A.0，eq r(5) B.eq r(5)，0C.eq r(5)，eq r(5) D.5，5解析|3x2y|eq r(3x22y2)eq r(（r(3)）2（r(2)）2)eq r(5).所以eq

2、r(5)3x2yeq r(5).答案C3.已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，則a3b3c3與a2bb2cc2a的大小關(guān)系是A.a3b3c3a2bb2cc2aB.a3b3c3a2bb2cc2aC.a3b3c30，則a2b2c20.由排序不等式，順序和亂序和，有a3b3c3a2bb2cc2a.答案B4.已知a，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)，y1eq f(ax1bx2,ab)，y2eq f(bx1ax2,ab)，則y1與y2的大小關(guān)系為A.y1y2 B.y1y2C.y1y2 D.不能確定答案D5.設(shè)m，n為正整數(shù)，m1，n1，且log3mlog3n4，則mn的最小值是A.15B.16C.17D.18答案D6

3、.已知x，y，z都是正數(shù)，且xyz1，則eq f(x2,y)eq f(y2,z)eq f(z2,x)的最小值為A.1 B.2 C.eq f(1,2) D.8解析不妨設(shè)xyz0，則eq f(1,z)eq f(1,y)eq f(1,x)0，且x2y2z20，由排序不等式，得eq f(y2,z)eq f(x2,y)eq f(z2,y)eq f(1,z)z2eq f(1,y)y2eq f(1,x)x2xyz.又xyz1，所以eq f(x2,y)eq f(y2,z)eq f(z2,x)1，當(dāng)且僅當(dāng)xyzeq f(1,3)時(shí)，等號(hào)成立.答案A7.已知a，b是給定的正數(shù)，則eq f(4a2,sin2)eq

4、f(b2,cos2)的最小值為A.2a2b2 B.2abC.(2ab)2 D.4ab解析eq f(4a2,sin2)eq f(b2,cos2)(sin2cos2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4a2,sin2)f(b2,cos2)eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(2a,sin )cos f(b,cos )eq sup12(2)(2ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)sin eq f(b,cos )cos eq f(2a,sin )時(shí)，等號(hào)成立.故eq f(4a2,sin2)eq f(b2,cos2)的最小值為(2ab)2.答案C8.設(shè)a，b，c為正數(shù)，ab4c1，則eq r(

5、a)eq r(b)2eq r(c)的最大值是A.eq r(5) B.eq r(3) C.2eq r(3) D.eq f(r(3),2)答案B9.設(shè)實(shí)數(shù)x1，x2，xn的算術(shù)平均值是x，ax(aR)，并記p(x1x)2(xnx)2，q(x1a)2(xna)2，則p與q的大小關(guān)系是A.pq B.p0，且Ma3(a1)3(a2)3，Na2(a1)(a1)2(a2)a(a2)2，則M與N的大小關(guān)系是A.MN B.MN C.MN D.MN.答案B12.設(shè)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，D，E，F(xiàn)分別為P到BC，CA，AB所引垂線的垂足，如圖.若ABC的周長(zhǎng)為l，面積為S，則eq f(BC,PD)eq f(CA,PE)

6、eq f(AB,PF)的最小值為A.eq f(l2,2S) B.eq f(l2,S) C.eq f(l2,4S) D.eq f(2l2,S)解析設(shè)ABa1，ACa2，BCa3，PFb1，PEb2，PDb3，則a1b1a2b2a3b32S.eq blc(rc)(avs4alco1(f(a3,b3)f(a2,b2)f(a1,b1)(a3b3a2b2a1b1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(a3),r(b3)r(a3b3)f(r(a2),r(b2)r(a2b2)f(r(a1),r(b1)r(a1b1)eq sup12(2)(a3a2a1)2l2，eq f(a3,b3)eq f(a2

7、,b2)eq f(a1,b1)eq f(l2,2S)，當(dāng)且僅當(dāng)b1b2b3，即PEPFPD時(shí)，等號(hào)成立.答案A二、填空題(每小題5分，共20分)13.已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_(kāi).解析(ambn)(bman)abm2(a2b2)mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a22abb2)2(ab)22(當(dāng)且僅當(dāng)mneq r(2)時(shí)等號(hào)成立).答案214.已知x，y，z為正數(shù)，且xyz(xyz)1，則(xy)(yz)的最小值為_(kāi).答案215.若ab0，則aeq f(1,（ab）b)的最小值為_(kāi).

8、答案316.邊長(zhǎng)為a，b，c的三角形，其面積為eq f(1,4)，外接圓半徑為1，若seq r(a)eq r(b)eq r(c)，teq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)，則s與t的大小關(guān)系是_.解析三角形的面積Seq f(abc,4R)eq f(abc,4)eq f(1,4)，即abc1，所以tabbcca，t2(abbcca)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)f(1,c)(eq r(a)eq r(b)eq r(c)2s2，又a，b，c0，所以st.答案st三、解答題(共70分)17.(10分)已知xyz1，求2x23y2z2的最小值.解析利用

9、柯西不等式由(2x23y2z2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)1)(xyz)2，得2x23y2z2eq f(（xyz）2,f(11,6)eq f(6,11)，所以，2x23y2z2的最小值為eq f(6,11).18.(12分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證p2q2r23.解析(1)因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)

10、(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23(當(dāng)且僅當(dāng)pqr1時(shí)，等號(hào)成立).19.(12分)設(shè)f(x)lgeq f(1x2x（n1）xanx,n)，若0a1，nN且n2，求證：f(2x)2f(x).證明f(2x)lgeq f(12x22x（n1）2xan2x,n)，要證f(2x)2f(x)，只要證lgeq f(12x22x（n1）2xan2x,n)2lgeq f(1x2x（n1）xanx,n)，即證eq f(12x22x（n1）2xan2x,n)eq blcrc(avs4alco1(f(1x2x（n1）xanx,n)eq sup12(2)也即證n12x22x(n1)2xan2x1x2x

11、(n1)xanx2，(*)0a1，aa2，根據(jù)柯西不等式得n12x22x(n1)2xan2x(121212,sdo4(n個(gè))(1x)2(2x)2(n1)x2(anx)21x2x(n1)xanx2，即(*)式顯然成立，故原不等式成立.20.(12分)設(shè)x1，x2，xnR，求證：eq f(xeq oal(2,1),x2)eq f(xeq oal(2,2),x3)eq f(xeq oal(2,n1),xn)eq f(xeq oal(2,n),x1)x1x2xn.證明x1，x2，xn0，故由柯西不等式，得(x2x3xnx1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(xeq oal(2,1),x2)

12、f(xeq oal(2,2),x3)f(xeq oal(2,n1),xn)f(xeq oal(2,n),x1)eq blc(rc)(avs4alco1(r(x2)f(x1,r(x2)r(x3)f(x2,r(x3)r(xn)f(xn1,r(xn)r(x1)f(xn,r(x1)eq sup12(2)(x1x2xn1xn)2.eq f(xeq oal(2,1),x2)eq f(xeq oal(2,2),x3)eq f(xeq oal(2,n1),xn)eq f(xeq oal(2,n),x1)x1x2xn.21.(12分)設(shè)a、b、cR，且滿足abc1，試證明：eq f(1,a3（bc）)eq f(

13、1,b3（ac）)eq f(1,c3（ab）)eq f(3,2).證明abc1，原式即為eq f(b2c2,abac)eq f(a2c2,babc)eq f(a2b2,acbc)eq f(3,2).又(abbcca)2eq blc(avs4alco1(f(ab,r(acbc)r(acbc)f(bc,r(abac)r(abac)eq blc rc)(avs4alco1(f(ac,r(babc)r(babc)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2b2,acbc)f(b2c2,abac)f(a2c2,babc)(acbc)(abac)(babc)，eq f(a2b2

14、,acbc)eq f(b2c2,abac)eq f(a2c2,babc)eq f(1,2)(acbcab)eq f(1,2)3eq r(3,a2b2c2)eq f(3,2).原不等式得證.22.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，1)，B點(diǎn)在直線y3上，M點(diǎn)滿足eq o(MB,sup6()eq o(OA,sup6()，eq o(MA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BA,sup6()，M點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值.解析(1)設(shè)M(x，y)，由已知得B(x，3)，A(0，1).所以eq o(MA,sup6()(x，1y)，eq o(MB,sup6()(0，3y)，eq o(AB,sup6()(x，2).再由題意可知(eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(AB,sup6()0，即(x，42y)(x，2)0.所以曲線C的方程為yeq f(1,4)x22.(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線C：yeq f(1,4)x22上一點(diǎn)，因?yàn)閥eq f(1,2)x，所以l的斜率為eq f(1,2)x0.因此直線l的方程為yy0eq f(1,2)x0(xx0)，即x0