1、運籌學庫存論庫存論庫存論中的根本概念庫存論的研究背景： 現(xiàn)代企業(yè)中，物資的管理是一項重要工作，核心是合理解決物資供需配合和調節(jié)問題。物資儲藏量過小，致使不能及時供給生產而產生停頓，所造成的損失將大大超過物資貯存所需的費用；物資儲藏量過大，那么造成物資積壓，過多的占用流動資金。 庫存控制要求管理者在滿足要求的條件下，制定出合理的貯存策略。庫存控制系統(tǒng)及其根本概念庫存控制系統(tǒng)包含以下三個根本環(huán)節(jié)：供給輸入 需 求輸 出儲存存儲物不斷通過輸入、儲存、輸出三個環(huán)節(jié)來滿足需要在這樣的系統(tǒng)中，決策人員可以通過控制物資的購入時間和購入數(shù)量來調節(jié)系統(tǒng)的運行，使供求關系更合理1需求 需求是庫存系統(tǒng)的輸出，它可以

2、是常量，如自動生產線上各個班對某種材料的需求量；也可以是一個隨機變量，如商品的銷售量 需求或輸出的規(guī)律有大致以下幾種情況：連續(xù)均勻斷續(xù)需求無法控制需求確定需求隨機2供給 供給是庫存系統(tǒng)的輸入，庫存的貨物由于不斷輸出而減少，必須及時作補充供給可以通過訂貨、采購和內部生產來進行 根據(jù)物資的來源，物資輸入有以下兩種方式：訂購物資批量輸入物資輸入速率可以視為無窮大通過生產均勻的儲存入庫物資輸入速率 3庫存物 也叫存儲物庫存論中提到的庫存物具有廣泛的意義在生產經(jīng)營活動中，一切暫存在倉庫中的物資以及在生產過程中的在制品都是庫存物，生產結束后的成品也是庫存物貯存模型的分類 為了得出最優(yōu)的庫存策略，就必須首先

3、將實際問題抽象為數(shù)學模型，然后應用數(shù)學方法求出模型的最優(yōu)解 庫存問題經(jīng)長期的研究，已經(jīng)得出了一些行之有效的模型從這些模型來看，大體可為兩類：確定型存貯模型隨機性存貯模型 一類是確定性庫存模型，即模型中的數(shù)據(jù)都是確定的數(shù)值，另一類叫做隨機性庫存模型，即模型中含有隨機變量與庫存有關的根本費用工程 庫存論是研究如何庫存，也就是，庫存多少、何時庫存使庫存費用最小的理論因此，我們必須首先明確與庫存有關的費用工程與庫存有關的根本費用有以下幾項： 1訂購費或生產準備費 這是每訂購一批貨物必須支付的有關費用它包括各種手續(xù)費、電信往來、派人員外出采購的旅差費等這些費用每次訂購都要承擔，與訂購量的多寡無關因此，訂

4、購的次數(shù)越少，訂購的費用越小，訂購的次數(shù)越多，訂購的費用越大 如果庫存供給是由企業(yè)內部生產自行解決的，那么訂購費相當于生產準備費它是在每批產品投產前的工藝準備、設備調整費，與投產批次有關，與批量無關 我們用C1表示一次訂貨的訂購費或生產準備費 2存儲費 也叫庫存費這是與庫存直接相關的費用包括保管費、利息、保險費、稅金、庫存物的變質損失等這類費用與庫存物數(shù)量的多少及庫存時間的長短成正比所以庫存量越少越好 庫存費有一種常用的算法是單位物資在單位時間內的庫存費占該項物資單位本錢的百分比例如一件物資本錢為100元，月庫存費占1，那么月庫存費為1元 我們用C2表示單位貨物在方案期內的庫存費 3缺貨損失費

5、 也叫中斷費用它是由于庫存應付不了需要使供給中斷所造成的經(jīng)濟損失例如由于原材料供給不上而造成的機器和工人停工待料的損失；由于供貨中斷而導致的為顧客效勞水平的下降，以及緊急采購所需要的高費用等 不過，缺貨或供貨中斷，有時那么是一種經(jīng)營策略如在商品銷售中，有時允許一些商品短期少量缺貨這往往是一種經(jīng)營策略因為這樣做可將節(jié)約的一局部資金用于熱門貨的訂購和銷售，加速資金周轉，提高經(jīng)濟效益 缺貨損失費的估計比較困難即它一般難以用精確的數(shù)量來表示這項費用的估計往往具有近似和任意的性質但這并不意味著這項費用可以被無視 我們用C3表示單位貨物的缺貨損失費 4總費用 一般情況下，由于庫存物資的單價都是固定不變的，

6、因此，本章計算的總費用大局部都不包括用于購置物資的費用而是將訂購費、存儲費與缺貨損失費之和稱為總費用，用C表示那么： 庫存總費用C=訂購費+存儲費+缺貨損失費 庫存論要解決的問題便是尋找一個供給周期t0及供給批量Q0，使得庫存問題總費用為最小 庫存策略 決定供給即進貨周期的長度及供貨批量的決策方法，稱為庫存策略 常用的庫存策略有如下兩種：l -循環(huán)策略 有時也稱為定期供給法這種方法是每隔時間 ，就補充供給庫存量Q2，S策略 有時也稱為定點供給法這種方法是當庫存量下降到一定數(shù)量時，就訂貨補充庫存量使庫存量提高到S 代表訂貨點儲存量，即當庫存量Q低于時，就補充訂貨 需要記憶的變量及其含義：變量含義

7、一次訂貨的訂購費用或生產準備費用單位貨物在計劃期內的儲存費（費用、件 時間）缺貨損失費庫存總費用（庫存總費用=訂購費+存儲費+缺貨損失費）R總需求量Q訂購批量t周期r輸出速度10.2 確定性庫存模型模型一：補充供給時間很短，不允許缺貨這類問題的特征是：1一種貨物在某一方案期如一年內的總需求量為常數(shù)R，在該方案期內，以一定的批量Q分假設干批訂購，即最大庫存量為Q2當庫存量下降到零時，可以立即得到充分補充，即在時間t內，當庫存量下降到零時，立即恢復到其最大庫存量Q3沒有缺貨現(xiàn)象意味著短缺損失費用為無限大.4每次訂貨的周期相同這類庫存模型可用圖 表示在上圖中，庫存量由Q以均勻的速度在t時間內下降到0

8、，然后，立即充分補充庫存，使庫存量恢復到Q如此循環(huán)往復現(xiàn)在我們的問題是，如何確定進貨批量和進貨周期，使其庫存費用為最小。這個問題可以用定期供給法即t0-循環(huán)策略來解決 由于不允許缺貨，故方案期內的庫存總費用C=訂 購費+庫存費 顯然，訂購總費用= ， 表示訂貨批數(shù)n 庫存費=平均庫存量 由于貨物是一次輸入均勻輸出，所以平均庫存量為 .因此，庫存費為 故總費用函數(shù)為C= + 顯然，C是關于Q的一元函數(shù)由微積分知識便 可求解此極值問題令 解得1 又因為 故C在Q0到達最小值這時，批數(shù) 2 供給周期 3 最小費用 4 故此問題的最優(yōu)策略為：每隔 供給一批， 每批供給 件，這時總費用最小為 公式1就是

9、著名的經(jīng)濟批量公式，簡稱公式它是英國的哈里斯在1915年提出來的 例1 設某產品的年總需求量為256件，且需求是均勻的設每生產一批不管產量多少需花費于購置工具和模型、設計型式、調節(jié)機器等根本費用80元每生產一件產品的直接本錢為100元每件每年的庫存費用占生產本錢的10%，包括保險費、占有費用的利息和貶值消耗今欲決定生產的最正確批量及每年的生產批數(shù)解 R=256件，C1=80元，C2=10010%=10元，方案期為一年故有： 因此，最優(yōu)批量為64件，每年生產4批，即每3個月生產一批 模型2 補充供給需一定時間，不允許缺貨這類問題的特征是：1一種貨物在某一方案期如一年內的總需求量為常數(shù)R，在該方案

10、期內以一定的批量Q分假設干批訂購2當庫存量下降到0時，可以立即得到補充但庫存量不是由零立即上升到最大庫存量Q1，然后再均勻輸出，而是在時間t1內以速度r1均勻地進貨，同時又以速度r2均勻地出庫，且r1r2直至到達最大庫存量Q1，然后以均勻速度r2輸出3不允許缺貨，且?guī)齑媪坑?緩慢增加到Q14訂貨周期相同 這類庫存模型可用上圖表示在上圖中，庫存量由0以均勻的速度r1-r2增加到最大庫存量Q1，然后又以均勻速度r2輸出，如此循環(huán)往復現(xiàn)在我們的問題是：如何確定進貨批量和進貨周期，使其庫存費用為最小 這個問題可以用定期供給法即t0-循環(huán)策略來解決Q1r1-r2r2 為了求出最優(yōu)解，我們先來建立費用函數(shù)

11、: 由于不允許缺貨，那么庫存總費用C=訂購費+庫存費 顯然，訂購費= 為了計算庫存費，需求出最大庫存量Q1： Q1=批量Q - 進貨時間內的出庫量=Q t1 r2 又t1=Q/ r1,故 于是平均庫存量= 所以庫存費= 從而總費用 C是Q的一元函數(shù)，故由微積分知識即可求得問題的最優(yōu)解. 得 5 令訂貨周期為 , 6 最小費用 . 7 假設令r20那么式5，6，7與1，3，4分別合為同一公式即在進貨時間內假設沒有貨物出庫，那么模型2就變成了模型1 例2 某廠每月需某種產品100件，由內部生產解決，設每月生產率為600件，每批裝配費為10元，每件每月產品庫存費為元求最正確批量及生產周期一年按300

12、個工作日計 解 由題知，方案期T=1月，R=100件，r1=600件月，r2=100件月，Cl=10元，元月件故最正確批量為 最正確生產周期 由于每年 300個工作日，故每月 300/12=25天為工作日對，個月相當于 0.69 2517天故最正確生產周期為17天 模型3 進貨時間很短，允許缺貨 我們在第一個模型的根底上，建立一個存在缺貨現(xiàn)象時，補充供給時間很短或稱瞬時供給的庫存模型這里所謂的缺貨，是指庫存為零以后仍存在輸出需要的情況這類問題的特征是：1最大庫存量為Q2庫存量由Q以速度r均勻輸出，在時間t1時庫存量降為0，而在仍存在輸出需要的情況下，將補充庫存時間推遲一個時期，然后，再立即將庫

13、存恢復到最大庫存量 Q3允許有缺貨現(xiàn)象和存在缺貨損失4每次訂購周期相同 這類庫存模型可用圖來表示庫存量由Q以均勻的速度r輸出，在時間t1時庫存量降至0，但沒有立刻補充庫存，而是拖后t2時間，然后再立刻將庫存補充到最大庫存量Q如此循環(huán)往復現(xiàn)在我們的問題是：尋求一個最優(yōu)策略，即求出最正確庫存量Q0及供給周期t0，使得庫存總費用最小 由于允許缺貨，故總費用函數(shù)為：C=訂購費+庫存費+缺貨費設供給周期t，那么在一個方案期內的訂購次數(shù)為1/ t次，故訂購費為C1/ t 由于Q只能滿足t1時間內的需求，故0，t1內的平均庫存量為Q/2因此，0，t內的平均庫存量為Qt1/2t ，這也是整個方案期內的平均庫存

14、量又由于貨物的輸出率為r，故直線l的斜率為-r，所以t1=Q/r,故平均庫存量為 因此，庫存費為 設在t1，t時間內的缺貨量為Q，那么在0，t時間內的平均缺貨量為 又在圖 中的左數(shù)第一個陰影三角形中知Q=r(t-t1)所以，平均缺貨量為 故缺貨費用為 因此，總費用函數(shù)為 上式中C1，C2，C3均為，故總費用函數(shù)為Q與t的二元函數(shù) 由微積分中二元函數(shù)極值的求法，只需解如下方程組： 即 解之得：最正確最高庫存量 8 最正確訂購周期 9 最小總費用 10 假設令C3，這時即為不允許缺貨由于 那么 與模型1中公式完全一樣 在模型3中，由于允許缺貨，求出的周期為模型1中不允許缺貨情況下求出的周期 的 倍

15、由于 1，所以兩次訂貨間隔的時間延長了 在模型3中，假設在供給周期t0內不允許缺貨，那么在理論上，訂貨批量應為： (11) 假設允許缺貨，那么訂貨批量只需 S0與Q0關系為： (12) 顯然，S0Q0，其差值S0Q0即為缺貨量Q即 例3 某工廠每年需要某種原料1000噸，每次訂購費為6000元，每噸每月庫存費50元在不允許缺貨與允許缺貨兩種情形下，求工廠對該原料的最優(yōu)訂貨批量、每年訂貨次數(shù)及費用缺貨費為900元噸解 設方案期為一年，那么r=1000噸，Cl=6000元，C2=5012=600元年，C3=900元噸 1不允許缺貨時， 訂貨次數(shù)為 最小費用 但由于訂貨次數(shù)應為正整數(shù)，故可以比較訂貨

16、次數(shù)分別為7次和8次的費用 假設每年訂貨7次，那么訂貨批量為，費用為7ClC2假設每年訂貨8次，那么訂貨批量為1000/8=125，費用為8Cl 125C2=85500由此可見，取每年訂貨次數(shù)為7次，批量為噸，費用為，費用最省2允許缺貨時 每年訂購次數(shù)為r/S0，缺貨量Q= S0Q0 最小費用 由于訂貨次數(shù)應為正整數(shù)，故分別取5次或6次來比看哪個方案較好假設訂貨5次，那么理論批量為1000/5=200，最大庫存量為C3/(C2+C3)200=120，將Q=120及代入總費用函數(shù) 中，得總費用為66000元 假設訂貨6次，那么理論批量為，最大庫存量為C3/(C2+C3) 166.67100將Q=

17、100，t=1/6代入總費用函數(shù) 中，得總費用為66000元 由此可見，無論年訂貨次數(shù)為5還是6，總費用都是一樣的故取訂貨次數(shù)為5，批量為120，費用最少為66000元， 比不允許缺貨時的總費用少了18857元因此，允許缺貨，有時可以作為一種經(jīng)營策略 模型4 生產需要一定時間，允許缺貨這種問題的特征是：1最大庫存量為Q2庫存量由Q以速度r2均勻輸出至庫存量為零而在仍存在輸出需要的情況下，將補充庫存的時間推遲一個時期，然后再以速度r1均勻進貨，同時又以速度r2均勻出庫，且r1r2，直到庫存量到達Q 3允許存在缺貨現(xiàn)象4訂貨周期相同這類庫存模型可用以下圖表示 圖中，庫存量由Q以均勻速度r2輸出，在

18、時間t1時，庫存量降至0，但沒有立即補充庫存，而是拖后了t3t1時間，在t3時刻以均勻速度r1補充庫存，從而使庫存以勻速r1r2增加到最大庫存量Q如此循環(huán)往復現(xiàn)在我們的問題是，如何確定最優(yōu)最大庫存量及進貨周期，使庫存的總費用最小 為此，我們仍需要先建立費用函數(shù)由于允許缺貨，故 總費用C=訂購費+庫存費+缺貨費顯然，訂購費=C1/t有庫存的時間為0 , t1 及 t 3 , t ，故t時間內的平均庫存量為 由于入庫速度為r1，出庫速度為r2，故庫存增長速度為r1r2直線l2的斜率為r1r2，故tt3= Q/(r1-r2), 又因為出庫速度為r2 , 故直線l1 的斜率為 r2 ，因此 t1=Q/

19、r2所以平均庫存量為： 令 那么庫存費為 有缺貨的時間為 t1 , t3 ，最大缺貨量為，那么t時間內平均缺貨量為 在圖中，依相似三角形性質有： 因此平均缺貨量為 在圖中三角形里， 而 故 又前面已求出 從而 所以 因此 所以，平均缺貨量為 因而，平均缺貨費為 綜上所述，總費用為： 是Q與t的二元函數(shù)根據(jù)二元函數(shù)求極值方法，只要解下面方程組： 即 解之得最正確訂購周期 13 最正確庫存量為 14 其中 為了保證t0時間內的需求,理論最正確訂購量為 (15) 最正確缺貨量為 :Q=S0 Q0 最小費用 16 在上述公式中，假設令r1，即進貨速度很大，那么進貨時間很短，這時k1/r1，公式13，1

20、4，15變?yōu)槟Ｐ?的公式假設令r1，C3那么13，14，15變?yōu)槟Ｐ?的公式假設令C3，那么13，14，15變?yōu)槟Ｐ?的公式因此，模型4是綜合模型，模型1，2，3都是它的特殊情況 模型5 批量折扣模型，瞬時進貨，不允許缺貨上述幾種確定性庫存模型中，都是假定庫存物資的單價固定不變因此考慮最小總費用時，對用于購置物資的費用不加考慮但是在大批購置物資時，物資出售單位，為了鼓勵用戶多購物，對于購貨較多的用戶，在價格上會給予一定的優(yōu)惠因此，貨物的單價u，便成了購貨量Q的函數(shù)uQ故在考慮最小費用時，必須考慮用于購貨的費用由模型1可知這時總費用應為 一般地，u(Q)是一個階梯函數(shù)，不妨設 01，稱為價格折扣

21、率 這時CQ也是個分段函數(shù)，在各段上，對CQ求導得： 此式只有在Q*點可能不成立 然后將CQ0與CQ*進行比較，最小者相應的批量即為最優(yōu)批量 10.3 隨機性庫存模型 上一節(jié)研究確實定性庫存模型，都是假設需求量及供給時間是確定不變的，是理想化了的模型實際上，在生產或經(jīng)營活動中，有很多偶然因素會影響到需求量及供給周期比方商店銷售某種商品，會因各種原因而影響到它的銷售量因而需求量不是一個確定的常數(shù)，而是一個隨機變量因此，必須用概率方法來研究本節(jié)將介紹兩種隨機性的庫存模型 模型6 進貨時間很短，需求是隨機離散模型為了說明這類問題，先看一個例子：某店出售電風扇，銷售量是一個離散隨機變量設每臺利潤為30

22、元，如賣不出去，就要等到下一年夏季才能賣出，那么需支付庫存費每臺10元換句話說，假設商店備貨比實際需要少一臺，就要損失利潤30元，如果多備一臺，就要損失庫存費10元那么這種情況下，如何確定訂購量，才能使得損失最少？由于庫存量及缺貨量都是隨機離散的，那么總費用也是隨機的因此，我們討論的損失最少是損失費的數(shù)學期望值最小 一般地，某貨物隨訂隨到，需求量 r是離散型隨機變量，其概率為 Prr=0，1，2，訂購量為Q，單位庫存費為C2，單位缺貨費為C3，訂購費C1=0求出最優(yōu)訂貨量，使得總損失費的數(shù)學期望最小1當供過于求時，r Q，損失費為庫存費Q - rC2，數(shù)學期望為： 2當供不應求時，rQ，損失費

23、為缺貨費r - QC3，故數(shù)學期望為 因此，總損失費的數(shù)學期望值為： 下面確定Q0，使ECQ0最小由于ECQ0最小，故滿足： 即 整理得 因此，Q0為滿足 的整數(shù)令 稱M為臨界值 下面我們解決所謂“報童問題它是這類庫存模型的典型例子例1 報童問題某報童每天向郵局訂購報紙假設干份，并且一提出訂購，就可立即拿到報紙每天報紙的零售量是個隨機離散變量，其概率分布如下表： 需求量r(單位：千張)91011121314概率P(r)0.050.100.250.350.150.10并且，他每賣出一份報紙，便可賺元；假設賣不出去時，退回郵局每份需賠償元問他需訂購多少報紙，才能保證損失最小而賺錢最多？解 C2元每

24、份，C3元每份，所以臨界值 而 Q0=12，即12為最正確訂購批量 報童問題是管理中很重要的一個模型，它對于季節(jié)性商品或易腐爛易變質的商品訂購具有特殊重要的價值在數(shù)理統(tǒng)計中可以證明：假設需求量是隨機離散的，那么它在某段時間間隔內是服從泊松分布的，即 為平均售出數(shù) 例2 某商店擬出售甲商品每單位甲商品本錢60元，售出價80元如不能售出必須減價為50元，減價后一定可以售出根據(jù)過去經(jīng)驗平均售出數(shù)為6單位問該店訂購量應為多少？ 解 由題目知，每單位缺貨損失為C3=80 60=20元，每單位滯銷損失為C2=60- 50=10元，又=6，所以 臨界值為 由統(tǒng)計表知： 故Q0=7，即訂貨7單位時，損失最小對

25、于需求量r是連續(xù)型隨機變量的情況，可類似地討論，最正確訂購量Q0由 來確定其中P(r)為r的密度函數(shù) 前面介紹的幾種庫存模型采取的都是t0-循環(huán)策略下面我們將介紹一種，S型庫存策略模型7 需求是隨機離散的，S型庫存策略前面已經(jīng)定義了定點庫存法，亦即，S型策略這種方法是庫存量有一個最高的和最低的界限，每隔一段時間檢查一次庫存量，當庫存量低于最低限時，那么補充庫存至S，假設庫存量高于時，那么不補充庫存量設某階段開始時原有庫存量為h，由于需求量是隨機的，故事前難以知道需求的準確數(shù)值，因而決策者就無法決定訂貨量Q假設訂貨量缺乏，那么需承擔缺貨費；假設供貨有余，那么需承擔庫存費因此，有必要求出一個最優(yōu)的，S策略，從而決定訂貨量，使總費用最小 下面我們來討論如何確定最優(yōu)的與S先求S：設在一段時間內，需求量r的概率為Pri=Pi，i=1，2，n，其中0 r1r2rn是 r可能取到的數(shù)值， 在本階段開始時，庫存量為h，設訂貨量為Q，那么庫存量S=hQ各種費用為訂購費：Cl購貨費：uQ=u(S-h)，u為貨物單價庫存費：當rS時，需支付庫存費為C2S-r因此，庫存費的數(shù)學期望為 缺貨費：當 r