1、幾何證明的拐杖-輔助線編制人：李金澤編制日期：2016.6.6 培訓師：李金澤 目錄 CONTENTS132溫故知新趣味引入知識梳理4典題探究目錄 CONTENTS576當堂練習休息時間一（可展示一頁PPT，內容：休息10分鐘！）該模塊可自由穿插進前五部分。休息模塊（二）同上8游戲活動模塊入門考10分鐘 努力！每一個成功者都有一個開始。勇于開始,才能找到成功的路。溫故知新探究三角形全等的思路（1）已知兩邊（2）已知一邊一角（3）已知兩角溫故知新答案：趣味引入唐僧師徒摘桃子 一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不長時間，徒弟三人摘完桃子高高興興回來。師父唐僧問：你們每人各摘回多

2、少個桃子？ 八戒憨笑著說：師父，我來考考你。我們每人摘的一樣多，我筐里的桃子不到100個，如果3個3個地數(shù)，數(shù)到最后還剩1個。你算算，我們每人摘了多少個？ 沙僧神秘地說：師父，我也來考考你。我筐里的桃子，如果4個4個地數(shù)，數(shù)到最后還剩1個。你算算，我們每人摘了多少個？ 悟空笑瞇瞇地說：師父，我也來考考你。我筐里的桃子，如果5個5個地數(shù)，數(shù)到最后還剩1個。你算算，我們每人摘多少個？ 唐僧很快說出他們每人摘桃子的個數(shù)。你知道他們是怎么算出來的嗎？趣味引入輔助線之歌 圖中若有角分線，可向兩邊作垂線。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩邊把線連。三角形

3、中有中線，延長加倍等中線。知識梳理常見輔助線的作法有以下幾種：一、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”二、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”三、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理四、過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”五、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長

4、，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目 典題探究一、倍長中線（線段）造全等（“8”字模型） 例1求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半證：AD=DE,BD=CD，ADB=CDEABDEDC 從而 AB=CE 在ACE中 AC+CEAE 即 AC+AB2AD 2AD(AC+AB)典題探究二、角分線，分兩邊，對稱全等要記全截取等長構全等典題探究例2已知，AB2AC，12，DADB。求證：DCAC。證明： 取AB的中點E,連接DE AB=2AC AE=AC 1=2,AD=AD ADEADC AED=ACD DA=DB,E是A

5、B中點 DEAB AED=90 ACD=90 ACCDE典題探究三、只要看到平分線上的點，要想到向兩邊作垂線了（角平分線上的點到角兩邊距離相等）例3.已知，在ABC中，A90，ABAC，12。求證：BCABAD。證：作DE垂直于BC BD是ABC的角平分線,AD=DE,BD=BD ABDEBD 則AB=BE,由條件知道DEC為等腰直角三角形,DE=EC=AD 因此BC=BE+EC=AB+ADE典題探究例4.已知，ABAD，12，CDBC。求證：ADCB180。證：作CE垂直于AB,作CF垂直于AD；1=2,CFA=CEA,AC共邊 ACEACFCE=CF 又BC=CD,CEB=CFD BCED

6、CF B=CDF,故B+ADC=180EF休息10分鐘！休息時間一典題探究四、角平分線垂線，角平分線平行線，等腰三角形要呈現(xiàn)，線段和差倍分都實現(xiàn)。（等腰三角形的好伙伴 ）典題探究例5.已知，ABAC，BAC90，12，CEBE。求證：BD2CE。證：延長CE、BA,相交于點F. 在BCE和BFE中, BEC = 90= BEF ,BE為公共邊,CBE = FBE ,BCE BFE , 可得：CE = EF ,即有：CF = 2CE ；在CAF和BAD中, ACF = 90-AFC = ABD ,AC = AB ,CAF = 90= BAD ,CAF BAD , 可得：CF = BD ,則有：B

7、D = 2CE .F典題探究五、過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”例6：已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線.求證：AB=AC.證明：做BE平行AC交AD延長線于E. 易證：2=E得BDE CDA 由2=1 得AB=EB.得AB=AC. 圖1圖2學能訓練答案：學能訓練學能訓練答案：學能訓練當堂練習練1、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.解：延長AE到M,使EM=AE,連結DM 易證DEM CEA C=MDE,DM=AC 又BD=DC=AC DM=BD,ADC=CAD 又AD

8、B=C+CAD ADM=MDE+ADC ADM=ADB ADM ADB BAD=MAD 即AD平分BAE 又BD=DC=AC DM=BD,ADC=CADM當堂練習練2、已知，四邊形ABCD中，ABCD，12，34。求證：BCABCD。以BE為對稱軸,作AB的對稱軸線EF交BC于F. 1=2,BE=BE,BAE=BFE. ABEBFE. AB=BF ABCD,BAD=180-CDE EFC=D. ,3=4 ,CE=CE. CFECDE CD=CF BC=AB+CDF當堂練習練3、已知，在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB2AC。求證：C90證明： 過E作EDAB于D,則AB=

9、2AD,AE平分CAB,CAB=2BAE, CAB=2B,EAB=B,EA=EB, AB=2AC,AD=AC, 在AED與AEC中, AD=AC,EAD=EAC,AE=AE, AEDADC, C=ADE=90.D當堂練習練4、已知如圖1，ABC中，AD是BC 邊上的中線 ,求證：AD解：如圖1，延長AD到E,使DE=AD , ADC=BDE,BD=DC ,BDECDA ,BE=CA . 在ABE中,AEAB+BE ,2ADAB+AC AD 圖1圖1當堂練習練5、如圖所示ADDC，BCDC，E是DC上一點，AE平分DAB，BE平分ABC，求證：AB=AD+BC。解析：過E作FEAB AE平分DA

10、B,ADDC ED=EF ADEAFE AD=AF 同理可證：BC=BF AB=AD+BCABCDEF當堂練習附加題：已知，CE、AD是ABC的角平分線，B60。求證：ACAECD。解：在AC上取點F，使AF=AE AD是A的平分線 EAOFAE AO=AO AEOAFO EO=FO ，AOEAOF CE是C的平分線 DCOFCO B60 A+C18060120 COD=CAOOCAA2C260 OCF180AOF-COD180606060 OCFCOD OC=OC OCDCFOCF=CD AC=AF+CFAE+CD 即：AE+CD=ACF當堂練習附加題：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。解：過D作EMAF交