1、運(yùn)動(dòng)問題分析：乒乓球在運(yùn)動(dòng)員出手后，主要受三個(gè)力：（1）重力Gmg,在整個(gè)的飛行過程中將始終受到重力的影響，重力的方向豎直向下；（2）空氣阻力F，乒乓球的直徑為D，旋轉(zhuǎn)角速度為，空氣粘滯系數(shù)為,（見表1），R空氣密度為P，乒乓球向前平動(dòng)的速度為v，乒乓球受到的空氣阻力的大小主要由雷諾數(shù)R和平動(dòng)速度v決定；雷諾數(shù)是流體中慣性力與粘滯力比值的量度，兩個(gè)幾e何相似流場(chǎng)的雷諾數(shù)相等，則對(duì)應(yīng)微團(tuán)的慣性力與粘性力之比相等。雷諾數(shù)越小意味著粘性力影響越顯著，越大則慣性力影響越顯著。雷諾數(shù)很小的流動(dòng)（如潤滑膜內(nèi)的流動(dòng)），其粘性影響遍及全流場(chǎng)。雷諾數(shù)很大的流動(dòng)（如一般飛行器繞流），其粘性影響僅在物面附近的邊界層

2、或尾跡中才是重要的。RPDve,表1不同溫度下的粘滯系數(shù)溫度（oC）粘滯系數(shù)017.2xlO-61017.8x10-62018.3x10-63018.7x10-64019.2x10-65019.6x10-66020.1x10-6我們?nèi)∈覝貫?0oC，因此粘滯系數(shù)，為17.8106，p=1.205kg/m-3,因此我們首先計(jì)算出乒乓球運(yùn)動(dòng)的雷諾數(shù)：RPVD某個(gè)值e,阻力F的大小與平動(dòng)速度大小的平方成正比，R1FCpAv2，R2A為乒乓球的橫截面積C為阻力系數(shù)，按照不同的雷諾數(shù)的范圍，有DC24r(r1)DRee24R2C_(1,Re)(1R1000)DR6eeC0.44(1000R2x105)D

3、e3)乒乓球旋轉(zhuǎn)造成的馬格努斯力Fm馬格努斯效應(yīng)是一種粘性效應(yīng)，它是由于旋轉(zhuǎn)的物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的乒乓球在空氣中的運(yùn)動(dòng)過程，可以看做是均勻分布的球體在流體中的運(yùn)動(dòng)過程。一般來說，在流體中運(yùn)動(dòng)的物體主要受到升力，阻力，側(cè)壓力的作用，即，乒乓球在旋轉(zhuǎn)時(shí)，在它周圍的附面層產(chǎn)生了環(huán)流，前方回流和環(huán)流的共同作用結(jié)果就是來流和環(huán)流相同方向時(shí)流速加快，相反是流速減慢；根據(jù)伯努利原理，流速加快的一側(cè)壓力小，流速減慢的一側(cè)壓力大，兩側(cè)的壓力差對(duì)乒乓球產(chǎn)生的作用成為馬格努斯力。由如可夫斯基環(huán)流理論，可以求出馬格努斯力為8F=_poD3vM38令g=pD3=某個(gè)值，貝yF=GovM具體方向可以通過右手定貝確

4、定：右手拇指，食指中指兩兩垂直，拇指指向旋轉(zhuǎn)角速度方向，食指指向運(yùn)動(dòng)速度方向，那么中指方向就是馬格努斯力的方向。(4)空氣的浮力F，方向豎直向上，由動(dòng)力學(xué)，易得:U1F=_pgD3U6模型求解:以乒乓球臺(tái)的底端邊為x軸，垂直臺(tái)面方向?yàn)閥軸，底端邊中心點(diǎn)為原點(diǎn)0做平面,過0點(diǎn)作xOy平面的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖根據(jù)牛頓第二定律，我們可以得到mdVxFcossin申+(sin,sincos(p+cos,coscp)FdtRmTOC o 1-5 h zdv1my=_Fsin+兀pgD3-mg HYPERLINK l bookmark6dtR6mdVzFcoscos(p+F(sin,si

5、nsin申一cos,sin申)dtRm別且有：dx丫_Vdtxdy_Vdtydzy_Vdtz其中，m為乒乓球的質(zhì)量，V,V,V分別表示乒乓球的運(yùn)動(dòng)速度在x,y,z軸的分量；9為軌xyz跡角，是乒乓球速度方向與xz平面成角；,為方位角，是乒乓球速度在xz平面上的投影與z軸正方向成角；a為傾側(cè)角，是F力與其在xOz平面上的分量所成的角度(如圖)；x,y,zM表示乒乓球所在的空間位置；上述方程中V，V，V，x，y，z，9,a,都是時(shí)間t的函數(shù),xyz因此，我們?cè)诮o定的初值后，就可以得到求出V,V,V，進(jìn)而求出x,y,z，從而可以確xyz定乒乓球的軌跡；因此，由乒乓球運(yùn)動(dòng)的方程模型，需要，首先確定一些

6、參數(shù)，這些參數(shù)包括：乒乓球在脫離球拍或者發(fā)球裝置時(shí)的空間位置S(x,y,z)；平移運(yùn)動(dòng)的初速度v；0旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)速度；初始時(shí)刻的軌跡角9，方位角,和傾側(cè)角a；000根據(jù)平移運(yùn)動(dòng)速度v和9，,和a等3個(gè)角度的就可以得到乒乓球在初始狀態(tài)下在0000三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量，參數(shù)關(guān)系如下：+V2+V2；y0z0,Vtan,+xo;V00Vz0Vtan9+y0sin,Vx00V0在運(yùn)動(dòng)的過程中，相應(yīng)的參數(shù)的時(shí)時(shí)更新也采用本公式獲?。豢諝庾枇r沿xy,z軸的分量分別為:TOC o 1-5 h z1mgF=CAvvRx2DxF=1CAvvRy2dy廠1.F=CAvvRz2Dz設(shè)初速度v沿坐標(biāo)軸的分量分別為v,v,v,它與xOy平面的夾角為,它在oxoyozoxOy的投影與x軸的夾角為卩。球的旋轉(zhuǎn)軸w與z軸的夾角為。如圖：自轉(zhuǎn)頻率向量w=(0,wsin,wcos),因此可以得到馬格努斯力在坐標(biāo)軸的分量分別為：F=C,D3丫(vsinvcos)；TOC o 1-5 h zMxLzyF=C,D37(vsin);MyLxF=C,D37vsin;MzLz因此容易得到x,y,z軸各自的合力為dv1F=m十=C,D37(vsin-vcos)一C,Avv；xdtLzy2Dxdv1F=m產(chǎn)=C,D37(vsin)-C,Avv；yd