例1用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理_第1頁(yè)
例1用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理_第2頁(yè)
例1用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理_第3頁(yè)
例1用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理_第4頁(yè)
例1用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理_第5頁(yè)
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例1用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理.即已知:）單調(diào)有界定理成立；）設(shè)U知丄為一區(qū)間套.欲證：且惟一.證證明思想：構(gòu)造一個(gè)單調(diào)有界數(shù)列，使其極限即為所求的.為此，可就近取數(shù)列（或）.由于因此為遞增數(shù)列，且有上界（例如）.由單調(diào)有界定理，存在又因，而，故且因遞減，必使.這就證得最后，用反證法證明如此的惟一.事實(shí)上，倘若另有一個(gè)則由，證畢導(dǎo)致與相矛盾.例2用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理.即已知：）區(qū)間套定理成立.）設(shè)為一遞增且有上界M的數(shù)列.的極限.欲證：存在極限證證明思想：設(shè)法構(gòu)造一個(gè)區(qū)間套，使其公共點(diǎn)即為為此令。記，并取再記，同理取如此無(wú)限進(jìn)行下去，得一區(qū)間套根據(jù)區(qū)間套定理，極限定義證明：，一方面，由于恒為的上界，因此=zn收議例15證明：.證由于這里的級(jí)數(shù)不能肯定是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，故不能用比較判別法.正確的做法是要使用阿貝爾判別法：因收斂，而單調(diào)有界，所以收斂.證畢例16證明：分析由于較難直接求出該級(jí)數(shù)的部分和，因此無(wú)法利用定義來(lái)計(jì)算級(jí)數(shù)的和.此時(shí)可以考慮把該級(jí)數(shù)的和看作幕級(jí)數(shù)在處的值，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)為計(jì)算.這可以通過(guò)對(duì)幕級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)作逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積后，化為幾何級(jí)數(shù)而求得.這是一種十分有效的方法，值得好好掌握.證不難知道上述幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，?jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到這已是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)

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