1、東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿第一章量子力學(xué)的歷史淵源1.1Planck的能量子假說(shuō)經(jīng)典物理學(xué)的成就到19世紀(jì)末，已經(jīng)建立了完好的經(jīng)典物理學(xué)理論：、以牛頓三大定律和萬(wàn)有引力定律為基礎(chǔ)的經(jīng)典力學(xué)(從天空到地上的各種尺度力學(xué)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng))，、以麥克斯韋方程組和洛侖茲力公式表述的電磁場(chǎng)理論(光的顛簸理論、電磁現(xiàn)象的規(guī)律)；、熱學(xué)以熱力學(xué)三大定律為基礎(chǔ)的宏觀理論和統(tǒng)計(jì)物理所描述的微觀理論（大批微觀粒子的熱現(xiàn)象等）。這些理論能令人滿意地解說(shuō)當(dāng)時(shí)所常有的物理現(xiàn)象，讓當(dāng)時(shí)絕大多數(shù)的物理學(xué)家相信物理學(xué)基本理論已經(jīng)完成，剩下的工作在需要在細(xì)節(jié)上作一些增補(bǔ)和修正。經(jīng)典物理學(xué)所遇到的問(wèn)題、黑體輻射現(xiàn)象

2、，(2)、光電效應(yīng)；(3)、原子的光譜線系；(4)、原子的堅(jiān)固性；、固體的低溫比熱。一、黑體輻射的微粒性1、黑體輻射的幾個(gè)物理量黑體：全部落到（或照耀到）某物體上的輻射完好被汲取，則稱該物體為黑體。輻射本事：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)從輻射體表面的單位面積上發(fā)射出的輻射能量的頻率分布，用E(,T)表示。所以在t時(shí)間，從面積S上發(fā)射出頻率在范圍內(nèi)的能量表示為：E(,T)tS作者：張宏標(biāo)1東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿能量所以，E(,T)的量綱為：=焦耳米2。12秒米秒c能夠證明：輻射本事與輻射體的能量密度分布的關(guān)系E(v,T)(v,T)，（(,)vT的單位4為焦耳秒）。米3汲取率：照到物體上的輻射能

3、量分布被汲取的份額，用A(,T)表示。G.Kirchhoff（基爾霍夫）證明：對(duì)任何一個(gè)物體，輻射本事E(v,T)與汲取率A(,T)之比是一個(gè)普適的函數(shù)，即E(v,T)（f與構(gòu)成物體的物質(zhì)沒(méi)關(guān)）。f(,T)A(v,T)關(guān)于黑體的汲取率A(v,T)1，故其輻射本事E(,T)f(,T)（等于普適函數(shù)與物質(zhì)無(wú)關(guān)）。所以只要黑體輻射本事研究清楚了，就把普適函數(shù)（對(duì)物質(zhì)而言）弄清楚了。輻射本事也能夠用E(,T)描述,由于單位時(shí)間內(nèi)從輻射體表面的單位面積上發(fā)射出的輻射能量可寫(xiě)為：E(v,T)dvE(,T)d000c2d由于c知dc2d代入上式得：E(v,T)E(,T)d022E(v,T)E(,T)或E(,

4、T)E(v,T)(焦耳米3秒)cc2、黑體的輻射本事黑體輻射的空間能量密度按波長(zhǎng)（或頻率）的分布只與溫度有關(guān)。實(shí)驗(yàn)測(cè)得的輻射曲線滿足以下定律：、斯忒藩玻爾茲曼定律（Stefan-BoltzmannLaw）黑體輻射能量（單位時(shí)間，單位面積發(fā)射的能量）是與絕對(duì)溫度T4成正比，即作者：張宏標(biāo)2東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿R(T)T425kB45.67108J(K4sm2)，15h3c2此中R(T)E(,T)d為黑體輻射能量。這個(gè)定理是斯托藩1879年實(shí)驗(yàn)測(cè)定的，而1884年玻爾茲曼從熱力學(xué)理論推導(dǎo)出來(lái)。(ii)、Wien位移定律（WienDisplacementLaw）維恩發(fā)現(xiàn)，關(guān)于一

5、個(gè)確立的溫度T0，相應(yīng)地有一波長(zhǎng)0使E(0,T0)達(dá)到極大值，而0T0常數(shù)。即0T01T12T25.1103(Km)這說(shuō)明跟著溫度高升，熱輻射峰值向短波高頻方向挪動(dòng)。溫度越高，波長(zhǎng)越短的光(即綠光和藍(lán)光)越多；溫度越低，波長(zhǎng)越長(zhǎng)的光(即紅光)越多。3、經(jīng)典物理學(xué)的缺點(diǎn)利用經(jīng)典物理學(xué)理論推導(dǎo)出的理論公式不可以完好地切合實(shí)驗(yàn)，顯現(xiàn)出經(jīng)典物理學(xué)理論的限制性。、黑體輻射譜的維恩（Wien）經(jīng)驗(yàn)公式：維恩(1894)依據(jù)熱力學(xué)第二定律及用一模型可得出輻射本事3c2vT此中c12hc2B-23o是玻爾茲曼常數(shù)。1，而k1.3810JKE(v,T)cvec2hkB維恩公式在高頻率(短波段)與實(shí)驗(yàn)切合，但在中

6、、低頻率（長(zhǎng)波段）區(qū)，特別是低頻率區(qū)與實(shí)驗(yàn)偏離很大。、瑞利-金斯（Rayleigh-Jeans）公式：瑞利(1900)依據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)及金斯(1905)由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)的能均分定理嚴(yán)格獲取黑體輻射本事公式：作者：張宏標(biāo)3東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿E(v,T)8v2kBTc3E(v,T)僅當(dāng)頻率足夠低（或長(zhǎng)波段），溫度足夠高（即vT11010oKS）時(shí)，切合（即kBThv）實(shí)驗(yàn)曲線。但在頻率v很高紫外處域（或很小的短波段）時(shí)，E(v,T)d，即有名“紫外發(fā)散災(zāi)害”。這兩個(gè)公式其實(shí)不完好切合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，但理論上給出的結(jié)論是的確無(wú)疑的?？傊?，用經(jīng)典物理學(xué)理論解說(shuō)黑體輻射譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律完好失

7、敗。二、固體低溫比熱依據(jù)經(jīng)典理論，如一個(gè)分子有n個(gè)原子，而每個(gè)原子有3個(gè)自由度。關(guān)于1摩爾該分子固體有N0個(gè)分子（N06.0210mol稱為阿伏加德羅常數(shù)），故有3nN0個(gè)自由度。所以，23固體定容比熱為：CVE3N0nkB3nR，此中R8.314J(oKmol)是氣體常數(shù)。TV稱為能均分定理（DulogRelit經(jīng)驗(yàn)規(guī)律）。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)單原子固體，在室溫下CvConstant切合能均分定理；但在低溫下，CvT30，因此這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與經(jīng)典理論不符。如何解決這些問(wèn)題呢？在經(jīng)典物理學(xué)框架下，解說(shuō)黑體輻射定律的多次失敗后，物理學(xué)家逐漸地認(rèn)識(shí)到必須引入一個(gè)新的理論。三、Planck假說(shuō)（1900）1、

8、普朗克公式1900/10/19普朗克在柏林物理學(xué)會(huì)會(huì)議上宣告了他經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采納數(shù)學(xué)插值法獲取的公式：()d8h31dc3hekBT1此公式與實(shí)驗(yàn)曲線切合得相當(dāng)好。作者：張宏標(biāo)4東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿1900/12/14普朗克又在柏林物理學(xué)會(huì)上給他的公式以量子說(shuō)明，這就是量子論的生日。2、普朗克的“能量子”假設(shè)頻率為的電磁輻射的能量以h為單位（h是Planck常數(shù)）不連續(xù)地變化。h稱為能量子或光量子。Ennhvnn0,1,2,式中h6.6261034焦耳秒或h21.05451034焦耳秒。注意：能量不連續(xù)的看法與經(jīng)典物理學(xué)中能量是連續(xù)的完好不相容的！利用普朗克假設(shè)求普朗克

9、公式以下：輻射的均勻能量可這樣計(jì)算獲?。涸诮?jīng)典物理學(xué)中，在EEdE區(qū)間內(nèi),經(jīng)典的能量幾率分布:eE(kBT)dEeE(kBT)dE0（玻爾茲曼幾率分布），則關(guān)于連續(xù)分布的輻射均勻能量為EeE(kBT)dEkBTEeE(kBT)00eE(kBT)dEE0kBT；eE(kBT)dEeE(kBT)dE00而關(guān)于普朗克假設(shè)下的能量分布幾率，則為量為eEn(kBT)eEn(kBT)，故分立的均勻輻射能n0EneEn(kBT)nhenh(kBT)hhdenydy)1kBT(1eydynhdyEn0n00eEn(kBT)enh(kBT)eny(1ey)1。n0n0n0h(1ey)2eyhe(1ey)11ey

10、hhyey1eh(kBT)1上式計(jì)算中取eyx并用到冪級(jí)數(shù)張開(kāi)公式：1xn。1xn0所以，用電動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)導(dǎo)出的Rayleigh-Jeans2v2kBT應(yīng)改為公式：E(v,T)c2作者：張宏標(biāo)5東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿E(v,T)2hv31c2hv(kBT)1e這就是Planck假設(shè)下的輻射本事，它與實(shí)驗(yàn)完好切合。由輻射本事與能量密度的c關(guān)系E(v,T)(v,T)4知，普朗克公式：8h31d,()dc3h/(kBT)e1此中()d是表示黑體輻射的頻率在d內(nèi)的空間能量密度、c光速、kB玻爾茲曼常數(shù)、T絕對(duì)溫度。Planck公式與實(shí)驗(yàn)完好切合。對(duì)普朗克公式進(jìn)行以下談?wù)?極限狀

11、況：當(dāng)kBThv（高頻區(qū)）：E(v,T)2hv3ehv(kT)3cvTc12hh,即Wien公式;c2Bc1ve2c2,c2kB當(dāng)kBT2hv3122kBT,即Rayleigh-Jeans公式。hv（低頻區(qū)）：E(v,T)c2hv(kBT)1c2e斯托藩-玻爾茲曼定律2h312hkBT4R(T)E(,T)dd3x1)1dxc2h(kBT)1c2hx(ee42kB412kBT3enxdxT462h3xc234cn1hn1n作者：張宏標(biāo)6東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿維恩位移定律222h312hc21E(,T)E(,T)2h(kBT)5hc(kBT)ccc1e1e關(guān)于一個(gè)固定的溫度值T

12、0,求導(dǎo)dE,T：dhchc(kBT)E(,T)2hc251kT2e0T固定hc(kT)165hc(kT)10eBeB從而有hc1ehc(kBT)50T00.2898102(Km)。kBT固體的低溫定容比熱（詳細(xì)見(jiàn)固體物理學(xué)（黃昆著）P122-130）由總輻射能量密度（單位：焦耳米3）W(T)(,T)d4E(,T)d85kB4445kB442c15c33T33T3h15chc(橫波2所受)可推出固體中原子振動(dòng)能量密度為45kB4T421，333315chuTuL此中uT和uL分別為固體中的橫向聲速和縱向聲速。低溫下，CVT3。該公式只適用于低溫，因固體中原子振動(dòng)有最高頻率的限制（聲波在固體中波

13、長(zhǎng)不短于晶格距離的2倍，即u2au2a），而在低溫下，高頻其實(shí)不激發(fā)，所以，影響可忽視（推導(dǎo)輻射總能時(shí)高頻是計(jì)及的，但低溫下高頻影響可忽視，所以這樣推出的公式只適用于低溫）。1.2Einstein的光子說(shuō)一、愛(ài)因斯坦“光量子”假說(shuō)(1905)1、光電效應(yīng)現(xiàn)象1887赫茲(Hertz)作者：張宏標(biāo)7東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿光電效應(yīng)的主要現(xiàn)象：當(dāng)單色光照耀到金屬表面上，有這樣一些現(xiàn)象（令人迷惑的特色）：A、發(fā)射光電子依賴于頻率，而與光強(qiáng)度沒(méi)關(guān)。要有光電子發(fā)射，光頻率就一定大于某一值，即有一最低頻率min。B、當(dāng)照耀光的頻率min時(shí)，發(fā)射出的光電子動(dòng)能大小與光強(qiáng)度沒(méi)關(guān)。這從經(jīng)典物理

14、學(xué)角度是特別難以理解的，由于光的能量是正比于強(qiáng)度而與頻率沒(méi)關(guān)。所以認(rèn)為光波強(qiáng)度增添時(shí)，光波中電場(chǎng)振幅增大，應(yīng)該會(huì)加速電子達(dá)到較高的速度和較大的動(dòng)能，從而走開(kāi)金屬，所以光強(qiáng)度越大，飛出的電子動(dòng)能越大，而能有光電子產(chǎn)生，也其實(shí)不需要大于必定頻率，即與頻率沒(méi)關(guān)。所以，經(jīng)典理論與實(shí)驗(yàn)絕然相反。2、Einstein(1905)的“光量子”假設(shè):Einstein（1905）創(chuàng)辦了狹義相對(duì)論，并在這年將Planck“能量子”假設(shè)推行為“光量子”的看法。、“光量子”的看法：一束單色光由輻射能量大小為hv的光量子構(gòu)成，即假設(shè)光與物質(zhì)粒子交換能量時(shí)，是以“微?！毙问匠霈F(xiàn)，這類“微?！睅в心芰縣v。、光子的動(dòng)量與波

15、長(zhǎng)的關(guān)系：phch。光子的靜止質(zhì)量m00，依據(jù)狹義相對(duì)論的光的能量-動(dòng)量關(guān)系：E2m02c4p2c2p2c2；又由于Eh,所以phch（c是光的波長(zhǎng)）。對(duì)解說(shuō)光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)以下：電子要飛離金屬，一定戰(zhàn)勝吸引而做功W0（逸出功），所以飛出光電子電子的動(dòng)能Ke:KehW0,W0電子在金屬中的脫出功由于電子吸引兩個(gè)光量子的幾率幾乎為0，故要想飛離金屬，則最少Ke0；hvminW0，即有一最低頻率。而KehvW0hvvmin。作者：張宏標(biāo)8東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿我們能夠看到，核心的問(wèn)題是一束單色光能夠轉(zhuǎn)移給一個(gè)電子的能量除以頻率v為一個(gè)常數(shù)，即h常數(shù)v而這個(gè)常數(shù)h與光的頻率v、光的強(qiáng)

16、度、電子以及金屬資料都沒(méi)關(guān)。該常數(shù)其實(shí)不可以由經(jīng)典物理學(xué)中常數(shù)所給出。所以，hv是一個(gè)與經(jīng)典物理學(xué)完好不相容的關(guān)系式。意義：證明電磁場(chǎng)的能量子h能夠和單電子互相作用，從而它自己也可視為一種粒子，稱為“光子”。3、密立根(Millikan)實(shí)驗(yàn)(1916)密立根在1910開(kāi)始研究光電效應(yīng)，到1916經(jīng)過(guò)實(shí)考據(jù)實(shí)了愛(ài)因斯坦的光電方程，并計(jì)算出普朗克常量h6.561034Js。這為愛(ài)因斯坦的光量子理論供給了第一個(gè)直接而全面的實(shí)考憑據(jù)。1921年愛(ài)因斯坦由于光電效應(yīng)等理論工作獲取諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，密立根也于1923年榮獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。4、康普頓散射（ComptonScattering）Compton實(shí)

17、驗(yàn)(1923)是光在自由電子上的散射(或稱光子-電子的碰撞)。證明了光具有粒子性。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，單色x射線與電子作用使電子發(fā)生散射，散射x射線的波長(zhǎng)增大：A1cos實(shí)驗(yàn)結(jié)果和特色經(jīng)典物理沒(méi)法解說(shuō)。康普頓引入“光子”的看法并利用相對(duì)論力學(xué)對(duì)散射過(guò)程成功地進(jìn)行理論解說(shuō)以下：依據(jù)愛(ài)因斯坦假設(shè)：x射線在與電子互相作用時(shí)是以“微?！毙问匠霈F(xiàn)，所以它們交換能量和動(dòng)量。設(shè)x入射波長(zhǎng)為，則入射的x射線的能量和動(dòng)量為作者：張宏標(biāo)9東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿Ehhc。Ehphnnncc假設(shè)電子開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài)，其初始能量為mec2。當(dāng)x射線與電子發(fā)生互相作用后，x射線以動(dòng)量p沿著方向射出，此時(shí)波長(zhǎng)為，

18、能量和動(dòng)量分別為EhhcpEnhnhncc而電子的反沖角為，能量為Eec2pe2me2c4和動(dòng)量為pe：依據(jù)散射前后的能量、動(dòng)量守恒有hmec2Eehh()mec2Ee(1)pppepppe(2)由(1)2c(2)2得:hmec222Ee2c2pe2me2c4c2pph2()22mec2h()c2p2c2p22c2pp0利用phch,上式變成meh()h21cosphchc2mehcch21cosh(1cos)mec即h(1cos)，此中chmec2.431012m稱為電子的康普頓散射波長(zhǎng)。mec例題1當(dāng)光對(duì)自由質(zhì)子散射時(shí)，求它的波長(zhǎng)的改變。作者：張宏標(biāo)10東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課

19、程講稿解：依據(jù)康普頓散射公式h(1cos)得mc關(guān)于質(zhì)子，m1840me18409.11031kgh(1cos)2hsin2(2)26.62610341082.651015sin2(2)m。mcmc18409.110313例題2當(dāng)氫原子放射一個(gè)頻率的光子時(shí)，求它的反沖，并求當(dāng)反沖時(shí)由于把能量傳達(dá)給原子而產(chǎn)生的的改變。解：設(shè)氫原子的質(zhì)量為m，不反沖光陰子的頻率為，反沖光陰子的頻率為。由能量和動(dòng)量守恒得：1mv2222mc2。mv2()2mc222c0綜上所述，從黑體輻射，固體低溫比熱，光電效應(yīng)和康普頓散射的實(shí)驗(yàn)事實(shí)談?wù)撝械贸鼋Y(jié)論：輻射除了顯示其顛簸性外，在與物質(zhì)的能量和動(dòng)量交換時(shí)，還顯示出微粒性

20、，二者之間的關(guān)系EhpEhh2nnnkkcc式中起側(cè)重要作用，很小，在很多場(chǎng)合，這類量子效應(yīng)不顯示，這時(shí)不連續(xù)連續(xù)，輻射的微粒性消逝。1.3玻爾舊量子論一、原子結(jié)構(gòu)的堅(jiān)固性1、原子“行星模型”（1911Rutherford）盧瑟福（Rutherford）組用粒子轟擊原子發(fā)現(xiàn)，粒子以必定幾率散射在大角度方向上，每?jī)扇f(wàn)個(gè)粒子約有一個(gè)粒子返回，飛向源的方向，從而提出原子的行星模型。以這一模型計(jì)算散射微分截面，與實(shí)驗(yàn)切合得特別好。作者：張宏標(biāo)11東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿對(duì)原子行星模型，按經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)看法：原子中電子繞原子核加速運(yùn)動(dòng)，電子會(huì)不斷向外輻射電磁波(即發(fā)光)以致其運(yùn)動(dòng)的總能量

21、減少而減速，從而從軌道半徑逐漸減小將發(fā)生“原子坍塌”(106秒)。但事實(shí)上原子基態(tài)是出奇地堅(jiān)固，也沒(méi)有輻射發(fā)生(因負(fù)電荷粒子加速)，這給經(jīng)典理論帶來(lái)了困難。2、氫原子光譜的經(jīng)驗(yàn)公式氫原子特色譜線的頻率為：（1885Balmer）11，mn1,2,3,，此中RH10967758.1m1-Rydberg常數(shù)。cRH2n2m分為五個(gè)線系：遠(yuǎn)紫外區(qū)（賴曼(Lyman)系）、可見(jiàn)光和近紫外區(qū)（巴爾末(Balmer)系）、近紅外區(qū)（帕邢(Paschen)系）、較遠(yuǎn)紅外區(qū)（布喇開(kāi)(Brackett)系）、遠(yuǎn)紅外區(qū)（普逢得(Pfund)系）。每個(gè)線系均擁有以下規(guī)律性：沿波長(zhǎng)減小的方向，譜線越來(lái)越密集且譜線強(qiáng)度

22、愈來(lái)愈弱。譜線公式中的每一項(xiàng)稱為“光譜項(xiàng)”：ncRH1，能夠?yàn)槊總€(gè)光譜項(xiàng)對(duì)應(yīng)著氫原子n2的一種能量狀態(tài)。這樣，氫原子的能量就是不連續(xù)地變化的，其可能的值為：EnhnhcRH12這稱為氫原子的能譜。n里茲“并合規(guī)則”：若1和2在特色光譜中，則有時(shí)12和12也在特色光譜中。其意義是氫原子的任何一條譜線的波數(shù)都等于斷續(xù)系列中的某兩項(xiàng)之差。為認(rèn)識(shí)釋上邊的現(xiàn)象，玻爾將盧瑟福的原子結(jié)構(gòu)模型與普朗克-愛(ài)因斯坦的光子理論結(jié)合，提出了原子結(jié)構(gòu)的舊量子論。二、Bohr模型(1913N.Bohr)作者：張宏標(biāo)12東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿1、玻爾模型的基本假設(shè)：、定態(tài)假設(shè)電子在原子中只好沿著某些特別

23、軌道運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電子在這些軌道上時(shí)，既不發(fā)出也不汲取光輻射。、躍遷假設(shè)當(dāng)電子由一個(gè)定態(tài)“跳”（躍遷）到另一個(gè)定態(tài)時(shí)會(huì)發(fā)出或汲取光輻射，其頻率為：(EnEm)h，式中En和Em為躍遷前、后的能量。、角動(dòng)量量子化條件：電子在原子中的同意軌道上滿足下邊的條件：它的軌道角動(dòng)量是的整數(shù)倍,即Jrpnn1,2,（關(guān)于圓形軌道）。2、經(jīng)典力學(xué)加玻爾假設(shè)可成功解說(shuō)氫原子光譜氫原子中電子繞核運(yùn)動(dòng)的方程為：Fmv2e2mv24e2er40r2e0r總能量：12e2e2ETV2mev40r80r再利用玻爾量子化條件：Jnrpmevrmev2n224e2rn40n22mer20rmee2Enmee41hcRH1n1,2,

24、3,2(4222,20)nn此中定義精良結(jié)構(gòu)常數(shù)e2137，是電子質(zhì)量，e是電子電荷。因此me2cRH4cme02h與實(shí)驗(yàn)數(shù)值完好切合。3、玻爾模型的實(shí)考憑據(jù)、氫原子光譜和類氫原子光譜，(ii)、Franck-Hertz實(shí)驗(yàn)(1913)也證了然原子能量的不連續(xù)性；作者：張宏標(biāo)13東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿、斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)(1921)證明角動(dòng)量量子化的，(iv)、X射線的特色輻射等。三、威爾遜-索末菲（Sommerfeld）量子化條件(1915)索末菲推行了玻爾的角動(dòng)量量子化，重新表述為:關(guān)于任何周期運(yùn)動(dòng)的自由度pi,qi，有量子化條件pidqinhn1,2,此中qi廣義坐標(biāo)

25、，pi廣義動(dòng)量。例考慮一個(gè)電子繞電荷為Ze的原子核在一平面中運(yùn)動(dòng)，求其可能的定態(tài)能量。22解系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為H1(pr2p)Zer22m40r由存心力下角動(dòng)量守恒，知p常數(shù)pH0。由量子化條件pdnh得pn。2p22p22由EprZe得pr2mE2mZer22m2mr240r40rAp20令B2mZe20，則prABCrBA4C2rCr2BrACr2BrArCr2BrA0rC2mEdx1arcsinBx2AxABxCx2xB2A4AC利用公式dx1arcsin2CxBC0得ABxCx2B24ACCxdxABxCx2BdxABxCx2C2CABxCx2BdrrrrdCr2BrApdrCAAma

26、xdrBmindr1maxrr2rrCr2BrA2rminCr2BrA2rminCr2BrArminABr2AB2CrBrmaxABrCr2arcsin2arcsinArB24ACCB24ACrmin此中rmax和rmin由積分Cr2BrA決定，即rmaxBB24AC且C0rdr0B2。min2C4AC0作者：張宏標(biāo)14東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿BrrmaxBr2Armax由2A1得arcsin2arcsin1B2B2r4ACrminr4ACrmin由2CrrmaxrmaxB1得arcsinBr2A2arcsin1B24ACrminrB24ACrmin故由量子化條件prdrnr

27、h(nr1,2,)得BnrhAC22B2nrh2p2Ze2m2nrhA42EC02242Zem(2nrn)n(n1,2,)EZe1(n1,2,)，此中a0。402E80an2mZe2舊量子理論固然在解說(shuō)氫原子和類氫原子上獲得必定成功，但也存在著嚴(yán)重的缺點(diǎn)：、對(duì)含有多個(gè)電子系統(tǒng)的復(fù)雜原子光譜、半整數(shù)角動(dòng)量等等力所不及，(ii)、不可以求解譜線的強(qiáng)度；(iii)、只好做周期運(yùn)動(dòng)；、沒(méi)法理解人為假設(shè)(加速不輻射和量子化條件等)。所以，一定有嶄新的理論來(lái)解說(shuō)客觀存在的物理現(xiàn)象與經(jīng)典物理學(xué)理論矛盾的事實(shí)。1.3物質(zhì)粒子的顛簸性一、德布羅意的“物質(zhì)波”假設(shè)(deBroglie/1923)德布羅意依據(jù)對(duì)輻射

28、擁有微粒性的研究，提出“物質(zhì)波”假設(shè)：、擁有必定動(dòng)量的粒子和必定波長(zhǎng)的波相聯(lián)系hp即pk（|k|2）稱為德布羅意關(guān)系(ii)、能量E與頻率關(guān)系:Eh（稱為Einstein關(guān)系）。這兩個(gè)關(guān)系把表征粒子性的動(dòng)力學(xué)變量（能量和動(dòng)量）與顛簸性的特色量（頻率和波矢）聯(lián)系起來(lái)。也就是說(shuō)，對(duì)一個(gè)擁有確立能量和動(dòng)量的自由粒子，相應(yīng)地有確定的頻率和波矢（波數(shù)及必定的流傳方向npp）。作者：張宏標(biāo)15東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿而我們知道，擁有一個(gè)固定頻率和波長(zhǎng)的波（并有必定的流傳方向）是一個(gè)平面波Aei(krt)Aei(prEt)pk，Ek2n物質(zhì)波：把擁有必定動(dòng)量的自由粒子所聯(lián)系的平面波稱為德布

29、羅意波（物質(zhì)波）。而一般可計(jì)算獲取：物質(zhì)微粒的波長(zhǎng)1010?，氧原子0.4?、DNA分子104?、電子波長(zhǎng)1?。只有當(dāng)物質(zhì)波的波長(zhǎng)大于或等于光學(xué)儀器的特色尺度時(shí)，才會(huì)觀察到干涉或衍射現(xiàn)象。平常物質(zhì)微粒的質(zhì)量和動(dòng)量較大，因此德布羅意波長(zhǎng)特別短超出了可測(cè)的范圍而不顯示顛簸性，僅在原子尺度下才能顯示出顛簸性。關(guān)于德布羅意波長(zhǎng)的計(jì)算：在非相對(duì)論狀況下：Ekp22mp2mEkh2mEk；hp當(dāng)粒子是電子時(shí)，me9.1081031kg，從而e12.5?。Ek(eV)當(dāng)粒子是質(zhì)子或中子時(shí)，mpmn1.671027kg，從而有p,n0.286?。Ek(eV)在相對(duì)論狀況下：Eec2pe2me2c4EEkm0c

30、2p2m0EkEkE2p2c2m02c412h2m0c。hEk2m0Ekp122m0c當(dāng)m0c2Ek，則h2m0Ek。德布羅意提出“物質(zhì)波”時(shí)并無(wú)實(shí)驗(yàn)依據(jù)，不過(guò)一個(gè)假設(shè)。其目的是為了用電子的顛簸性解說(shuō)玻爾量子化理論的困難，他把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系，即把約束運(yùn)動(dòng)實(shí)物粒子的能量量子化與有限空間中駐波的波長(zhǎng)的分立性聯(lián)系。比方：氫原子中電子作者：張宏標(biāo)16東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿做堅(jiān)固的圓周運(yùn)動(dòng)，把玻爾理論中的定態(tài)對(duì)應(yīng)于電子在圓周軌道上的駐波，即相當(dāng)于物質(zhì)波沿著圓形軌道流傳，只有波的首尾相連時(shí)波的流傳才處于堅(jiān)固狀態(tài)。此時(shí)，軌道周長(zhǎng)等于波長(zhǎng)的整數(shù)倍，即駐波條件2rn(n1,2,3,)np

31、nhJrpn，這樣就獲取了玻爾的量子化條件。22德布羅意的“物質(zhì)波”思想直接以致了量子力學(xué)的出生。1925年11月薛定諤在蘇黎世的一個(gè)談?wù)摃?huì)上給出了德布羅意假設(shè)波的解說(shuō)，德拜向他提出一個(gè)問(wèn)題：“波所滿足的方程在哪?”。與此同時(shí)，1925年海森堡以矩陣力學(xué)的形式建立了量子力學(xué)，隨后1926年薛定諤就以顛簸力學(xué)的形式創(chuàng)辦了量子力學(xué)。二、實(shí)物粒子的顛簸性實(shí)考憑據(jù)1、戴維遜、革末電子衍射實(shí)驗(yàn)(1927)（DavissonandGermer,Nature119(1927)558）當(dāng)可變電子束(30600eV)照耀到拋光的金屬鎳單晶上，發(fā)此刻某角度方向有強(qiáng)的反射（即有許多電子波吸收），而滿足asinnhp

32、（a是晶面上相鄰原子間距）若hp，則上式與Bragg光柵衍射公式同樣(asinn)，證明電子入射到晶體表面發(fā)生散射，擁有顛簸性而相應(yīng)波長(zhǎng)hp這現(xiàn)象沒(méi)法用粒子的圖象來(lái)解說(shuō)。2、G.P.Thomson(小湯姆遜)實(shí)驗(yàn)(1927)電子經(jīng)過(guò)單晶粉末，出現(xiàn)衍射圖象，這一衍射圖象反響了電子的顛簸性(1040keV，波長(zhǎng)0.40.06?可穿透厚度為1000?的箔)。如象x射線照到單晶粉末壓成的金箔上，滿足2dsinn一樣，作者：張宏標(biāo)17東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿電子入射滿足2dsinnhp，而產(chǎn)生衍射。（注意此刻不是明暗相間，而是電子數(shù)多少。）注意，這是小晶粒（金屬箔）構(gòu)成，所以晶面方向是

33、無(wú)規(guī)的，總有一些晶粒的面與入射電子夾角滿足衍射條件2dsinn，而又由于是無(wú)規(guī)的（所以，對(duì)繞入射束一周，而又保持晶面與入射束的夾角不變的晶粒總是存在。）。所以，形成衍射環(huán)。這一特色，不但電子有顛簸性，此后熱衷子試驗(yàn)都有，即物質(zhì)粒子還有顛簸性，當(dāng)然，經(jīng)典物理學(xué)是沒(méi)法解說(shuō)的。一、本章小結(jié)基本內(nèi)容1、黑體輻射、光電效應(yīng)等現(xiàn)象揭露了光的波粒二象性。Planck的假說(shuō)：解決了黑體輻射的困難。Planck公式：8h3ddehkT1c3Einstein的光量子假說(shuō)成功地解說(shuō)了光電效應(yīng)?？灯疹D效應(yīng)進(jìn)一步證明了光擁有粒子性。2、原子結(jié)構(gòu)的玻爾理論、1913年玻爾對(duì)氫原子光譜線系的巴爾末（Balmer）公式11m

34、1,2,3,nmRcn2m2n2,3,4,做出理論解說(shuō)。玻爾在原子的核模型（行星模型）的基礎(chǔ)上引入定態(tài)的看法，并提出量子化假設(shè)和頻率條件：JrpnEnEmh作者：張宏標(biāo)18東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿并利用經(jīng)典力學(xué)推導(dǎo)出Balmer公式。索末菲（Sommerfeld）為辦理多自由度系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)的分立能級(jí)將玻爾的量子化條件推行為：pidqinihni1,2,3,3、微觀粒子的波粒二象性假設(shè)、1924年德布羅意(deBroglie)提出了微觀粒子擁有顛簸性的假設(shè)，從而把光(波場(chǎng))的波粒二象性推行到實(shí)物粒子擁有波粒二象性：德布羅意假設(shè)：與必定能量E和動(dòng)量p的實(shí)物粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波的頻

35、率和波長(zhǎng)分別為Ehh-德布羅意公式pk、德布羅意把原子中的定態(tài)與駐波聯(lián)系起來(lái)，即把粒子能量的量子化問(wèn)題與有限空間中駐波的頻率及波長(zhǎng)的不連續(xù)性聯(lián)系起來(lái)。在氫原子中作堅(jiān)固圓形軌道運(yùn)動(dòng)的電子所相應(yīng)的德布羅意駐波的一種波形。駐波條件要求繞原子核流傳一周后應(yīng)圓滑地連接起來(lái)，這對(duì)軌道有所限制，即軌道的周長(zhǎng)應(yīng)為波長(zhǎng)的整數(shù)倍：2rnn1,2,3,，利用德布羅意關(guān)系h可獲取粒子的角動(dòng)量Jn，這正是p玻爾的量子化條件。德布羅意波：與自由粒子聯(lián)系的波是平面波AeiprEt1927年戴維遜與革末在電子衍射實(shí)驗(yàn)中直接證明了德布羅意波的存在。二、題型分析三、思慮題本章習(xí)題解答作者：張宏標(biāo)19東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子

36、力學(xué)課程講稿1、利用普朗克的能量分布函數(shù)證明輻射的總能量與絕對(duì)溫度的四次方成正比，并求比率系數(shù)。證明由普朗克公式：8hv3dv得vdvc3ehvkT1Uvdv8hv3dv8k4T4x3dxxhvkTc30ehvkT1h3c30ex10 x3dxx3exxdxx3enxdx13ydy(ynx)x1en1n4ye0e100n10利用積分公式nexdxn!得3ydy3!，又有14x3dx4。xyen1n4；所以0ex11500905454于是，獲取U83k3T4T4，式中83k3。15hc15hc2、由黑體輻射公式推導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)max與溫度T成反比，即maxTb(常數(shù)

37、)并近似計(jì)算b的數(shù)值，正確到二位有效數(shù)字。證明在頻率間隔vvdv之間的能量為vdv8hv3dv，用波長(zhǎng)表示的能量為c3ehvkT1dvdv由vc得dvcd代入上式得d8hcd125ehckT為了使能量密度取極大值，有d0即8hc1ehckThc50d6ehckT1ehckT1kTehckThc50ehckT1kT令xhc，則上式變成：xexx50exx10是一個(gè)超越方程，其根為x4.9651。kTe15所以，maxThcb2.897103m0Kkx作者：張宏標(biāo)20東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿3、利用玻爾-索末菲的量子化條件求：、一維諧振子的能量，(ii)、在均勻磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的

38、電子軌道的可能半徑。解(i)、能量為p2122，即p2q2這是一個(gè)以(p,q)為變量的橢圓E2mq2mE2Em212m方程。p2mEcos取極坐標(biāo)為q2E2sin代入量子化條件pdqnh得m22E2E22E22E02mEcosdm2sin0cosd01cos2dnh即En,n1,2,3,。、電子做圓周運(yùn)動(dòng)，取轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo),而對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量為角動(dòng)量p，由廣義動(dòng)量的定義得：pH1mR22mR2mRv，式中R為電子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，vR是線速2度。由玻爾-索末菲量子化條件：pdnh得2nhnpdmRvd2mRvnhv。02mRmR另一方面，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中所遇到的洛侖茲力，即FeBvmv2veBRRmeB