1、分叉理論和方法對(duì)于含參數(shù)的系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)變化并經(jīng)過(guò)某些臨界值時(shí)，系統(tǒng)的定性性態(tài)（如平衡態(tài)和或周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)目和穩(wěn)定性等）會(huì)發(fā)生突然變化，這種變化稱為分叉。分叉是重要非線性現(xiàn)象，與其它非線性現(xiàn)象（如混沌、突變、分形、擬序結(jié)構(gòu)等）緊密相關(guān)。主要研究：（a）相空間中軌線的集合；（b）控制參數(shù)空間中分叉集的性態(tài)。分叉包括兩類：（a）靜態(tài)分叉：討論平衡態(tài)數(shù)目和穩(wěn)定性的變化，常見(jiàn)有：極限點(diǎn)分叉（鞍結(jié)分叉）、叉形分叉、跨臨界分叉、滯后分叉、孤立點(diǎn)分叉等；（b）動(dòng)態(tài)分叉：討論系統(tǒng)在相空間中軌線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化，常見(jiàn)有：Hopf分叉、次諧和超諧分叉、概（準(zhǔn)）周期分叉（不變環(huán)面分叉）、同異宿軌線分叉等。分叉問(wèn)題起源于力

2、學(xué)失穩(wěn)現(xiàn)象的研究。18世紀(jì)中葉，D.Bernoulli和LEuler等人研究了桿件在縱向壓力下的屈曲問(wèn)題。1834年CGJJacobi在研究自引力介質(zhì)的橢球形旋轉(zhuǎn)液體星的平衡圖形時(shí),首次引進(jìn)“分叉”術(shù)語(yǔ)。1885年，Poincare提出旋轉(zhuǎn)液體星平衡圖形演化過(guò)程的分叉理論。1883年，OReynods發(fā)現(xiàn)在臨界雷諾數(shù)時(shí)層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯默F(xiàn)象，從此開(kāi)創(chuàng)了流動(dòng)穩(wěn)定性的研究。本世紀(jì)20年代，vanderPol和安德羅諾夫等在非線性振動(dòng)研究中即已發(fā)現(xiàn)大量分叉現(xiàn)象。本世紀(jì)70年代形成分叉的數(shù)學(xué)理論和方法。分叉揭示系統(tǒng)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，且與失穩(wěn)和混沌密切相關(guān)，是非線性動(dòng)力學(xué)重要組成部分。主要應(yīng)用

3、于：非線性振動(dòng)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)、非線性波、飛行器動(dòng)力學(xué)、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)、化學(xué)動(dòng)力學(xué)、控制、非線性電學(xué)、非線性光學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、交通動(dòng)力學(xué)、轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)等等。主要研究方法有：(1)奇異性方法奇異性研究可微映射的退化性和分類，首先將分叉問(wèn)題化為較簡(jiǎn)單的GS范式進(jìn)行識(shí)別和分類，再通過(guò)“普適開(kāi)折”得到一般擾動(dòng)下可能出現(xiàn)的所有分叉性態(tài)，隨后討論分叉圖的保持性和轉(zhuǎn)遷集等?？梢蕴幚恚红o態(tài)分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。對(duì)于高維問(wèn)題，理論上可借助LS約化方法降維，然后再應(yīng)用奇異性方法。該方法思想及經(jīng)典作品參考：ArnoldVI.BifurcationandSingulariticsinMathema

4、ticsandMechanics.Proc.ofthe17thIUTAM,1988又見(jiàn)：ArnoldVI.數(shù)學(xué)和力學(xué)中的分叉和奇異性.力學(xué)進(jìn)展，1989,19(2):59-66GolubitskyMandSchaefferDG.SingulariticsandGroupsinBifurcationTheory.Vol.1,Springer-Verlag,1985(2)Poincar-Birkhoff規(guī)范形方法如何求PB規(guī)范形方法：矩陣表示法、共軛算子法、李代數(shù)法、共振法等。對(duì)于高維系統(tǒng)需要應(yīng)用計(jì)算機(jī)代數(shù)、定理機(jī)器證明等工具。如何確定規(guī)范形與原方程系數(shù)關(guān)系：直接比較法、計(jì)算機(jī)代數(shù)方法等(目前無(wú)其

5、它更好方法)。思想及經(jīng)典作品參考：(a)ArnoldVI.GeometricalMethodsintheTheoryofODE.Springer-Verlag,1983(b)WangD.AnintroductiontotheNormalFormtheoryofODE.AdvancesInMathematics,1990,30:38-71GuckernheimerJandHolmesP.NonlinearOscillators,DynamicalSystemsandBifurcationsofVectorFields.Springer-verlag,1983(3)冪級(jí)數(shù)法通過(guò)解的漸進(jìn)展開(kāi)，利用投

6、影關(guān)系和Fredholm擇一性進(jìn)行分叉分析?？蓱?yīng)用于：靜態(tài)分叉、Hopf分叉、次諧分叉和概周期分叉領(lǐng)域。參考：(a)IoosGandJosephDD.ElementarystabilityandBifurcationTheory(2nded.).Springer-Verlag,1999(4)攝動(dòng)法包括：平均法、多尺度法、KBM法、內(nèi)諧波平衡法等，應(yīng)用于：周期或概周期領(lǐng)域。次諧Melnikov方法研究二維擾動(dòng)Hamilton系統(tǒng)的m/n階次諧周期分叉。后繼函數(shù)法和Shilnikov法研究二維和高維系統(tǒng)的同宿分叉問(wèn)題，此外還有隱函數(shù)定理、變分方法和拓?fù)涠确椒?。?jiàn)：(a)WigginsS.Globa

7、lBifurcationandChaos:AnalyticalMethods.Springer-Verlag,1988數(shù)值方法除攝動(dòng)方法外，都屬于定性研究。數(shù)值方法和模擬方法進(jìn)行定量研究，特別是在確定分叉點(diǎn)位置、追蹤分叉解等方面，數(shù)值方法是必要的。見(jiàn)：(a)KubicekMandMarkerM.ComputationalMethodsinBifurcationTheoryandDissipativeStructures.Springer-Verlag,1983關(guān)于最大LE求解的問(wèn)題(b)蔡大用，白峰杉.現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算.北京：科學(xué)出版社，2000(8)群論方法研究對(duì)稱分叉問(wèn)題。金棟平教授，非線性動(dòng)

8、力學(xué)課程講義重點(diǎn)關(guān)心問(wèn)題，幾個(gè)基本概念：流形、相圖、軌跡、穩(wěn)定、不穩(wěn)定與分岔混沌、及LE討論等說(shuō)明：1、流形、相圖、軌跡是否具有共同的概念呢？流形就是相圖？這3個(gè)概念一樣嗎？2、穩(wěn)定有好多種的定義，什么漸進(jìn)穩(wěn)定，一致穩(wěn)定，全穩(wěn)定等等。這些概念，有沒(méi)個(gè)具體的形象的總結(jié)性呢？3、穩(wěn)定一分岔一不穩(wěn)定一混沌。這是一個(gè)系統(tǒng)隨著分岔參數(shù)變化的局部一般過(guò)程吧？首先從工程意義上講，分析了分岔之后有什么用？得到不穩(wěn)定的臨界點(diǎn)即是分岔點(diǎn)吧？研究了分岔之后再研究通過(guò)混沌的過(guò)程，有什么意義？為啥要做這個(gè)研究呢？那分岔之后的不穩(wěn)定和混沌之間有什么關(guān)系呢？是不是有些系統(tǒng)，在參數(shù)變化到某個(gè)值的時(shí)候，發(fā)生了分岔，然后可能有穩(wěn)

9、定周期解，也可能有不穩(wěn)定周期解，再者就是不穩(wěn)定了，但是就是沒(méi)有混沌發(fā)生呢？這個(gè)時(shí)候，是不是不穩(wěn)定不夠不穩(wěn)定”還沒(méi)達(dá)到混沌的程度呢？混沌意味著，系統(tǒng)的解是無(wú)規(guī)律發(fā)散，或者不動(dòng)點(diǎn)是無(wú)規(guī)律發(fā)散。那么不穩(wěn)定呢？不穩(wěn)定和混沌之間到底是什么關(guān)系？如果是從最大lyapunov指數(shù)上看，大于0的，則為不穩(wěn)定，還是混沌出現(xiàn)呢？(我發(fā)現(xiàn)論壇里有講，最大LE大于0就發(fā)生混沌)。那這個(gè)時(shí)候，混沌應(yīng)該怎么判斷呢？怎么綜合相圖，龐加萊圖和最大LE圖判斷呢？參閱了論壇的帖子。有幾個(gè)疑問(wèn)。首先想知道的是，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的LE求解方法是否一樣？從定義上講，一個(gè)有限維的，雅克比矩陣可以求出來(lái)的，甚至發(fā)現(xiàn)這個(gè)雅克比矩陣是個(gè)只關(guān)于